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§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在工程中的應(yīng)用1平面運(yùn)動(dòng)剛體在工程中的應(yīng)用2§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩Lz=
J
zw動(dòng)量矩定理在z軸上投影ni=1
zdtdL=
J
za
=
M
z
(Fi
)2ndtJ
z=
M
z
(Fi
)
(1)i
=1d2j2Jz
=mr
r
稱(chēng)為剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑平行軸定理:J
zA2=
J
zC
+
mdz1FiFFnxyw3a問(wèn)題:如果z軸為動(dòng)軸,方程(1)在什么條件下還成立?§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)例:求質(zhì)量為m
半徑為R的均質(zhì)半圓板對(duì)O軸(垂直于圖示平面)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。ORO2
22
RJ
=
1
mR2
r
=例:系統(tǒng)如圖所示,OA桿長(zhǎng)L,質(zhì)量為m,阻力系數(shù)為c,扭簧剛度系數(shù)為k,OA^BC時(shí),彈簧無(wú)變形,已知BC桿的轉(zhuǎn)動(dòng):j
=b
cos
t
,qABCmgj建立OA桿的運(yùn)動(dòng)微分方程。O4§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)解:研究OA桿,進(jìn)行受力分析kOmg
+
Mc
+
MJ
q
=
McM
=
-cqni=1JO
dt
2=
MO
(Fi
)d2qqjOAmgFxyFM
kMcLmgM
=
mg
2
sinqMk
=
-k(q
-j)1mL2q
+
cq
+
kq
-
1
mgLsinq
=
kbcost非線性微分方程325常系數(shù)非齊次6q
/
radt/s00(1)
:
q
=
0.0rad,
q=
0.0rad/s,
(2)
:
q0
=
1.0rad,
q
=
0.0rad/s,0§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)m
=
3kg,
L
=
1m,
k
=
14.0
Nm/rad,
b
=
0.02rad,
c
=
1.3Nms/rad7q
/
radt
/
s§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)m
=
3kg,
L
=1m,
k
=14.0Nm/rad,b
=
0.02rad,c
=
0.64Nms/rad(1)
:q
=
0.0rad,q
=
0.0rad/s,(2)
:q
=
0.001rad,q
=
0.0rad/s,0
0
0
0混沌(Chaos):在確定的系統(tǒng)中出現(xiàn)類(lèi)似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)1963年美國(guó)科學(xué)家洛倫茲(Edward
N.Lorenz)從簡(jiǎn)化大氣對(duì)流的動(dòng)力學(xué)方程得到一組三階的非線性常微分方程。即:發(fā)現(xiàn):該方程在一定參數(shù)下為周期解,在某些參數(shù)下為混沌解。8§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)龍運(yùn)佳教授(力學(xué)教師)
將混沌振動(dòng)應(yīng)用于壓路機(jī),提高功效30%混沌振動(dòng)在工程中的應(yīng)用9§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)靜碾光輪串聯(lián)式壓路機(jī)1011§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)mgAB例:已知AB=2L=R,m,建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解:研究桿,受力與運(yùn)動(dòng)分析FABFqni=1JO
dt
2=
MO
(Fi
)d2q12OJ
=
1
m(2L)2
+
m(R2
-
L2
)OM
=
-mg
R2
-
L2
sin
q310mL2q
=
-mg
3Lsinq10Lq
+
3
3g
sinq
=
0問(wèn)題:如何求約束力?§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)二、剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè):剛體具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面S,此平面在某一固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),作用在剛體上的力系可簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)平面力系。xyoz(xM
,
yM
,
zM
)MS問(wèn)題:用什么方法建立剛體的平面運(yùn)動(dòng)與力之間的關(guān)系?12§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)yx'y'cj1FFiFn利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(e)ciFma
=(e)(e)iyccycx
c
ixFFma
=
=ma
=
=mymxni
=1(
e)dt
C
=
M
C
(
Fi
)dLrni
=1icz
'c(
F
(
e)
)J
j
=
Mo
x利用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理13§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題:試分析作用在車(chē)輪摩擦力。14FxMcmgFy§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)例:質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)在水平面上純滾動(dòng),其上作用有力Fx
,Fy和力偶M
,求圓盤(pán)角加速度,質(zhì)心加速度和摩擦力。FNfFca解:受力分析和運(yùn)動(dòng)分析a
=
Racmac
=
Fx
+
Ff
N
y0
=
F
-
mg
-
FRfmR
a
=
M
-
F212ac3mR=
2(
M
+
Fx
R
)3mR
2a
=
2(
M
+
Fx
R
)fF=
2M
-
Fx3R
315FOmg16mgA§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)例:質(zhì)量為m
,半徑為R
的均質(zhì)圓盤(pán)在質(zhì)量為m
的水平板A
上純滾動(dòng),板在主動(dòng)力F的作用下沿光滑水平面直線平移。求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,圓盤(pán)的角加速度和板的加速度。解題的基本步驟:1、選取研究對(duì)象2、受力分析和運(yùn)動(dòng)分析3、有幾個(gè)未知量4、建立動(dòng)力學(xué)方程5、求解方程17§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)FOmgmgAAaOar解:1、取整體為研究對(duì)象受力分析和運(yùn)動(dòng)分析Oarmaa
=
mg
+
F
+
FO
f
NfmR
a
=
-F
R212OaaO
A
NAmaa
+
ma
=
F
+
mg
+
mg
+
FOO=
RaOaaOA=
ae
+
ar
=
a
+
arFA4m3F2mR,
a
=a
=
-x
:
maa
+
ma
=
FO
Am(aA
+
Ra
)
+
maA
=
FNAFmgOFNf2、取圓盤(pán)為研究對(duì)象x
:
maa
=
FO
ffAF
m(a
+
Ra
)
=
F18§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)思考題:已知均質(zhì)桿AB上的A點(diǎn)以勻速u(mài)
鉛垂運(yùn)動(dòng),均質(zhì)圓盤(pán)在地面上純滾動(dòng)。試確定當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí),地面作用在圓盤(pán)上的摩擦力的方向。A:水平向右B:水平向左BFBu
u情況1
情況2A
AF§2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)思考題:已知均質(zhì)桿AB上的A點(diǎn)以勻速u(mài)
鉛垂運(yùn)動(dòng),均質(zhì)圓盤(pán)在地面上純滾動(dòng)。試確定當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí),滑塊
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