動態(tài)幾何中的定值問題

#分析：(1)由C在二次函數(shù)y=a(x2-2mx-3m2)上，則其橫縱坐標(biāo)必滿足方程，代入即可得至1」a與c的關(guān)系式.(2)求證噌為定值，一般就是計算出AD、AE的值，然后相比.而求其長，過E、D作x軸的垂線段，進(jìn)而通過設(shè)邊長，利用直角三角形性質(zhì)得方程求解，是求解此類問題的常規(guī)思路，如此易得定值.(3)要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且(2)中程=|,則可考慮若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可.由AD、AE、F點(diǎn)都易固定，且G在x軸的負(fù)半軸上，則易得G點(diǎn)大致位置，可連接CF并延長，證明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可.歸納小結(jié)：解答動態(tài)幾何定值探索問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.結(jié)束語：數(shù)學(xué)因運(yùn)動不再枯燥，數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力。希望同學(xué)們能夠把握動態(tài)幾何的解題規(guī)律?！菊n堂小結(jié)】問：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一類怎么樣的問題？用什么方法解決？答：動態(tài)幾何中的定值問題特點(diǎn)：圖形中的某個元素，按某種規(guī)律在運(yùn)動類型：(1)點(diǎn)動(2)線動(3)旋轉(zhuǎn)、平移(4)形變解題思路：不要被"動"、"變"迷惑，通過觀察，分析，動中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，找至解題的途徑。作業(yè)：1.閱讀材料：如圖1,在4AOB中，NO=90°,0人=08,點(diǎn)P在AB邊上，PEXOA于點(diǎn)E,PFXOB于點(diǎn)F,則PE+PF=OA.(此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用)(1)【理解與應(yīng)用】如圖2,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在AB邊上，PEXOA于點(diǎn)E,PFXOB于點(diǎn)F,則PE+PF的值為.(2)【類比與推理】如圖3,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=4,AD=3,點(diǎn)P在AB邊上，PE〃OB交AC于點(diǎn)E,PF〃OA交BD于點(diǎn)F,求PE+PF的值；

如圖4,00的半徑為4,A,B,C,D是。O上的四點(diǎn)，過點(diǎn)C,D的切線CH,DG相交于點(diǎn)M,點(diǎn)P在弦AB上，PE〃BC交AC于點(diǎn)E,PF#AD于點(diǎn)F,當(dāng)NADG=NBCH=30°時，PE+PF是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由..(2014?宿遷)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x軸于點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)C,設(shè)過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為D.(1)如圖1,已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(0,-4)；①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M為拋物線上的一動點(diǎn)，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；(2)如圖2,若a=1,求證：無論b,c取何值，點(diǎn)D均為頂點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)..如圖，在AABC中，/ABC=90。，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AC切于點(diǎn)D,與AB交于點(diǎn)E,若AD=2,AE=1,求tg/ADE的值和四邊形BCDE的面積。

參考答案：1.考點(diǎn)： 圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題；探究型.分析：（1）易證：OA=OB,NAOB=90°,直接運(yùn)用閱讀材料中的結(jié)論即可解決問題.（2）易證：OA=OB=OC=0D=|，然后由條件PE〃OB,PF#AO可證△AEPs^AOB,4BFPs^BOA,從而可得需饋=H端=1，進(jìn)而求出EP+FP=|.(3)易證：AD=BC=4.仿照(2)中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定值.解：(1)如圖2,：四邊形ABCD是正方形，???OA=OB=OC=OD,NABC=NAOB=90°.VAB=BC=2,AAC=2.2；.OA=.1. _VOA=OB,ZAOB=90°,PE±OA,PF±OB,APE+PF=OA=.2.(2)如圖3,二?四邊形ABCD是矩形，.，.OA=OB=OC=OD,NDAB=90°.2空望.A型①羽國=1.OAABOB^AB、VAB=4,AD=3,ABD=5.AOA=OB=OC=OD=-.VPE2空望.A型①羽國=1.OAABOB^AB、.,.△aepmaobjbfpmboa..,里望OBAB.\EP+FP=-^.\EP+FP=-^.APE+PF的值為^.?,下+T=1.1,(3)當(dāng)NADG=NBCH=30°時，PE+PF是定值.理由：連接OA、OB、OC、OD,如圖4.VDG與。O相切，ANGDA=NABD.,/ZADG=30°,AZABD=30°./OA=OD,

/PE〃BC,

/OA=OD,

/PE〃BC,

-peapBC-AB/.△AOD是等邊三角形.AAD=OA=4.同理可得：BC=4.APE+PF=4.=1．PF〃AD,?APE+PF=4.=1．理身.A罵工步F=1..A當(dāng)NADG=NBCH=30A當(dāng)NADG=NBCH=30°時，PE+PF=4.點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了類比聯(lián)想的能力，由一定的綜合性.要求PE+PF的值，想到將相似所得的比式相加是解決本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析：（1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明ZACB=90°,由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點(diǎn)C、D關(guān)于AB對稱，由此得出

點(diǎn)D的坐標(biāo);②求出△BDM面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.解答中提供了兩種解法，請分析研究；(3)根據(jù)拋物線與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形求解.解答：解：(1)二?拋物線產(chǎn)ax2+bx+c過點(diǎn)A(-2,0),B(8,0),C(0,-4),'4a-2b+c=0 *7??，?+比+二=0,解得，拋物線的解析式為：4x2--|x-4;.lc=-4??OA=2,OB=8,OC=4,?'.AB=10.如答圖1,連接AC、BC由勾股定理得：AC=/20,BC=/80.VAC2+BC2=AB2=100,AZACB=90°,??AB為圓的直徑.由垂徑定理可知，點(diǎn)C、D關(guān)于直徑AB對稱，???D(0,4).(2)解法一：設(shè)直線BD的解析式為尸kx+b，?/B(8,0),D(0,4),.??｛：｝：=0,解得,卜一 ..直線BD解析式為：尸-稱x+4.設(shè)M(x,x2x2-弓x-4),如答圖2-1,過點(diǎn)M作ME〃y軸，交BD于點(diǎn)E，則E(x，-,x+4).?，?ME?，?ME=-xx+4)(卷2一微x-4)=4x2+x+8.B-xD)=4ME,葭BDM=葭MED+MEB=^ME(xE-xD)+^jME(xB-xB-xD)=4ME,??%BDM=4(-*x+8)=-x2+4x+32=-(x-2)2+36.?.當(dāng)x=2時，△BDM的面積有最大值為36；解法二：如答圖2-2,過M作MN±y軸于點(diǎn)N.設(shè)M(m,mm2--|m-4),丁S△OBD=^OB?OD=1xSX4=16,S梯形obmnW(MN+OB)?ON=(=(m+8)[-qm2一1n-4)]=4mqm2一日帆-4)-4am冶m-4),S△MND='MN?DN=3m[4-('m2S△MND='MN?DN=3m[4-('m2-m-4)]=2m--^m([m2-mm-4),,SDE,二S△BDM=16-—m12△OBD+S(工m2--S梯形OBMN △MND3m=16-4(m2-2mn-4)-4(—m2-—m4 2-4)弓m2-1n-4)-4)-2m=-m2+4m+32=-(m-2)2+36；?.當(dāng)m=2時，△BDM的面積有最大值為36.(3)如答圖3,連接AD、BC.由圓周角定理得：/ADO由圓周角定理得：/ADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO,A△AOD^^COB,^=-^，設(shè)A(x1，0),B(x2,0),，「已知拋物線y=x2+bx+c(c<0),OC=-c,x1x2=c,；.^= ，二OD= =1,??無論b,c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)D(0,1).點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式,直角三角形的判定及性質(zhì),圖形面積計算,三角形相似的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的系數(shù)與x軸的交點(diǎn)的關(guān)系等.3.分析：求tg/ADE的值，需要用轉(zhuǎn)化的思想，因?yàn)锳ADE不是直角三角形，所以要轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決問題。因?yàn)?ADE=/DBA，所以可以把問題轉(zhuǎn)化到RtADBE中解決問題。求四邊形可以用割補(bǔ)的方法，把四邊形分割成RtADBE和等腰ADCB兩個三角形分別求解。解：連結(jié)BD,過D點(diǎn)作DF1BC于點(diǎn)F,

半徑OB1BC于點(diǎn)BDEBDvAC切。O于點(diǎn)DZ1=Z2,/A=ZA,DEBDvAC切。O于點(diǎn)DZ1=Z2,/A=ZA,AD=2,AE=1??.CD=CB??.NADE?NABDvAC切。O于點(diǎn)D,BE是直徑DEAE1..?/1=/2,/BDE=90°BDAD2:.tg/ADE=tg/2=ED1BD2設(shè)CD=CB=x(x>0)又得AD2=AE?ABAD2AB=ae=4v^ABC=90°即42+x2=(2+x)2BC=x=3vDF.1BC,AB1BC??.DF//AB?.CF:FB=CD:AD=3:2/3=/2tg/3tg/3BE1DF2?.DF=2BF=—51c12 ”—x3x—=3.653