數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史課件

數(shù)學(xué)概論（大學(xué)文科數(shù)學(xué)）

1第九章數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史

§1.1科學(xué)史的分期§1.2

數(shù)學(xué)概念及特點(diǎn)

§1.3純數(shù)學(xué)的形成和古希臘的數(shù)學(xué)成就§1.4初等數(shù)學(xué)的形成以及埃及、中國(guó)的數(shù)學(xué)成就§1.5近代數(shù)學(xué)的誕生§1.6世界數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移§1.7中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)代化進(jìn)程2

§1.1科學(xué)史的分期3前言科學(xué)史的奠基者和創(chuàng)始人，美國(guó)著名學(xué)者薩頓（G.Sarton,1884—1956）曾深刻地指出：“在任何學(xué)科中任何一個(gè)不知道它的歷史概況的人是不能被承認(rèn)為大師的…”。近代數(shù)學(xué)的開創(chuàng)者之一，偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茲（Leibnitz，1646—1716）早就指出：“數(shù)學(xué)史的用處不僅在于歷史公正地衡量每一個(gè)人，使得后人可能得到同樣的稱贊，而且還在于促進(jìn)發(fā)展的藝術(shù)，而它的方法是通過有名的范例為大家所了解.”4前言由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的復(fù)雜性，導(dǎo)致了科學(xué)技術(shù)史分期的復(fù)雜性.一般來說，?？剖罚〝?shù)學(xué)史、物理學(xué)史，化學(xué)史、生物學(xué)史、計(jì)算機(jī)發(fā)展史）可以根據(jù)科學(xué)或技術(shù)發(fā)展本身的重大轉(zhuǎn)折作為分期的標(biāo)志.但對(duì)于綜合科技通史，分期就困難多了.因?yàn)榫C合通史包含許多學(xué)科，由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的不平衡性，以至于它們?cè)诟鱾€(gè)時(shí)期發(fā)展參差不齊，因此綜合通史只能根據(jù)科學(xué)技術(shù)整體在各個(gè)發(fā)展階段所展現(xiàn)出來的性質(zhì)和特點(diǎn)，同時(shí)兼顧社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)因素作為大致的分期原則.根據(jù)這一原則，就綜合通史而論，大致可劃分為古代科學(xué)技術(shù)、近代科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)三大歷史時(shí)期.

5古代科學(xué)技術(shù)（16世紀(jì)以前）這個(gè)時(shí)期大致包括下述幾個(gè)部分：（1）古希臘羅馬科學(xué)技術(shù).

（2）中世紀(jì)科學(xué)技術(shù).

（3）中國(guó)古代科學(xué)技術(shù).6這個(gè)時(shí)期科學(xué)技術(shù)發(fā)展的主要特點(diǎn)是：（1）內(nèi)容基本屬于現(xiàn)象的描述和經(jīng)驗(yàn)的總結(jié).此時(shí)，雖然已經(jīng)總結(jié)出許多帶有普遍性的自然規(guī)律，但一般說來還是停留在經(jīng)驗(yàn)定律階段，尚未上升為系統(tǒng)的理論.

（2）相對(duì)來說，古代科學(xué)技術(shù)往往是以一個(gè)個(gè)比較孤立的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、論斷、定律出現(xiàn)的，屬于比較零散的知識(shí)，彼此缺乏必要的聯(lián)系，沒有形成相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科體系，而且它們與哲學(xué)結(jié)合在一起，以自然哲學(xué)形態(tài)出現(xiàn).

（3）研究方法主要是直觀的觀察和思辨性的猜測(cè)以及形式邏輯的演繹，正如恩格斯所指出的，是一種“天才的自然哲學(xué)的直覺”.

（4）早期的自然觀是自發(fā)的唯物主義和樸素的辯證法，后來被神學(xué)自然觀代替.7近代科學(xué)技術(shù)（16世紀(jì)~19世紀(jì)）15世紀(jì)下半葉，在近代資產(chǎn)階級(jí)革命和資本主義大生產(chǎn)推動(dòng)下，近代自然科學(xué)也大踏步地前進(jìn)了.哥白尼的《天體運(yùn)行論》和維薩留斯的《人體構(gòu)造》兩本著作的出版，是這個(gè)時(shí)期的里程碑.這個(gè)時(shí)期大致可分為如下幾個(gè)階段：（1）近代自然科學(xué)理論興起和以牛頓為代表的經(jīng)典力學(xué)體系形成（17世紀(jì)）．（2）產(chǎn)業(yè)革命和熱力學(xué)理論的發(fā)展（18世紀(jì)）．（3）電磁理論和電力技術(shù)革命（19世紀(jì)）．8這個(gè)時(shí)期科學(xué)技術(shù)發(fā)展的主要特點(diǎn)是：（1）近代科學(xué)技術(shù)在收集材料的基礎(chǔ)上，從現(xiàn)象深入到本質(zhì)，從經(jīng)驗(yàn)定律上升為系統(tǒng)的科學(xué)理論.

（2）在形式上，科學(xué)與哲學(xué)分離，走上了獨(dú)立發(fā)展道路，達(dá)到了系統(tǒng)的全面的發(fā)展.

（3）在研究方法上，近代自然科學(xué)強(qiáng)調(diào)有目的的實(shí)驗(yàn)，是建立在貫徹實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的實(shí)驗(yàn)科學(xué)，并廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)方法使科學(xué)知識(shí)日益精確化，同時(shí)發(fā)展了以實(shí)驗(yàn)事實(shí)為根據(jù)和以歸納推理為主要手段的分析和邏輯推理方法.

（4）18世紀(jì)的蒸汽技術(shù)是在生產(chǎn)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而19世紀(jì)的電力技術(shù)則是在科學(xué)理論的指導(dǎo)下形成的，科學(xué)技術(shù)對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐的指導(dǎo)作用日益顯示出來.

（5）自然科學(xué)全面發(fā)展，揭示了自然界本來的辨證發(fā)展本質(zhì)，導(dǎo)致了辯證唯物主義自然觀代替形而上學(xué)自然觀.9現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)（20世紀(jì)至今）19世紀(jì)末、20世紀(jì)初的物理學(xué)革命標(biāo)志著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的產(chǎn)生.現(xiàn)代自然科學(xué)的一系列重大突破，開創(chuàng)了20世紀(jì)科學(xué)技術(shù)革命的新紀(jì)元.這個(gè)時(shí)期可分為如下兩個(gè)階段：（1）19世紀(jì)末、20世紀(jì)上半葉的科學(xué)技術(shù)革命.

（2）世界新科學(xué)技術(shù)革命.10這一時(shí)期科學(xué)技術(shù)發(fā)展的主要特點(diǎn)是：（1）物理學(xué)革命導(dǎo)致科學(xué)理論的重大突破，引起人們觀念的深刻變革，顯示了唯物辯證法的無比正確性.

（2）自然科學(xué)改變了過去單純分化的發(fā)展趨勢(shì)，日益顯示出既高度分化又高度綜合的整體化趨勢(shì)，形成了一系列邊緣科學(xué)和大科學(xué).

（3）科學(xué)社會(huì)化、社會(huì)科學(xué)化是當(dāng)代科技發(fā)展的重要特點(diǎn)，科學(xué)技術(shù)引起人類社會(huì)生活極其廣泛而深刻的變化，科學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代國(guó)家綜合國(guó)力不可缺少的重要組成部分.

（4）科學(xué)技術(shù)是生產(chǎn)力，是現(xiàn)代化社會(huì)大生產(chǎn)最活躍的生產(chǎn)力因素.

（5）科學(xué)研究方法除了傳統(tǒng)的系統(tǒng)論、信息論和控制論的科學(xué)方法外，又出現(xiàn)了建立在新科學(xué)理論基礎(chǔ)上的系統(tǒng)論、信息論和控制論的科學(xué)方法.11

§1.2數(shù)學(xué)概念及特點(diǎn)12數(shù)學(xué)（希臘文，，來自──知識(shí)，科學(xué)）──關(guān)于與內(nèi)容相脫離的形式和關(guān)系的科學(xué)。一、什么叫數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)的最初和基本的對(duì)象是空間形式和數(shù)量關(guān)系。13一般說來，現(xiàn)實(shí)世界的任何形式和關(guān)系都可以成為數(shù)學(xué)的對(duì)象，只要它們?cè)诳陀^上與內(nèi)容無關(guān)，能夠完全舍棄內(nèi)容，并且能用清晰、準(zhǔn)確、保持著豐富聯(lián)系的概念來反映，使之為理論的純邏輯發(fā)展提供基礎(chǔ)。除此而外，數(shù)學(xué)不僅研究直接從現(xiàn)實(shí)中抽象出來的形式和關(guān)系，而且還研究在邏輯上各種可能的、在已知的形式和關(guān)系的基礎(chǔ)上定義出來的形式和關(guān)系。正是這樣，就出現(xiàn)了“虛數(shù)”、羅巴切夫斯基的“想象”幾何學(xué)，等等。

14可以把數(shù)學(xué)定義為關(guān)于邏輯上可能的、純形式（即脫離內(nèi)容的）的科學(xué)，或者定義為關(guān)于關(guān)系系統(tǒng)的科學(xué)，這是因?yàn)樾问揭彩钦麄€(gè)的各部分關(guān)系的系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)中的關(guān)系，又總是被看作是任何一些抽象對(duì)象之間關(guān)系的系統(tǒng)。15二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

1.被舍棄了內(nèi)容的形式，作為獨(dú)立的對(duì)象而出現(xiàn)；2.數(shù)學(xué)的結(jié)果──定理──通過邏輯推理由基本概念和前提得到的，緩引經(jīng)驗(yàn)并不是數(shù)學(xué)論證；

3.數(shù)學(xué)論斷的確定不變性，是它的一個(gè)顯著特點(diǎn)；164.存在一系列的抽象階段，以及在已有概念的基礎(chǔ)上形成新概念，是數(shù)學(xué)所特有的；6.數(shù)學(xué)與其它科學(xué)相比有著獨(dú)特的地位，這是因?yàn)?，它在研究自然界、社?huì)以及思維領(lǐng)域中的形式和關(guān)系時(shí)，舍棄了內(nèi)容且不準(zhǔn)借助觀察和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行論證。因此，不能把數(shù)學(xué)列為自然科學(xué)或者社會(huì)科學(xué)。

5.廣泛的適用性是數(shù)學(xué)的又一個(gè)特點(diǎn)；17§1.3初等數(shù)學(xué)的形成和古希

臘的數(shù)學(xué)成就

18

一、

古希臘文化背景

19隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，隨著已有成果之間聯(lián)系的建立以及解題法則的統(tǒng)一，推導(dǎo)新結(jié)果的理論方法、最初的數(shù)學(xué)證明也就逐漸形成起來。最后導(dǎo)致一個(gè)質(zhì)的飛躍：形成了具有演繹方法的“純”數(shù)學(xué)。不言而喻，這個(gè)“飛躍”是相當(dāng)漫長(zhǎng)的。據(jù)記載，這是發(fā)生在公元前七～五世紀(jì)的古希臘，數(shù)學(xué)知識(shí)是從埃及傳到那里的。二、純數(shù)學(xué)的形成

20值得指出的，泰利斯已經(jīng)證明了一些最簡(jiǎn)單的幾何定理。幾何的系統(tǒng)論述出現(xiàn)在公元前五世紀(jì)，德謨克利特提出了對(duì)于他那個(gè)時(shí)代相當(dāng)深刻的、包含積分萌芽思想的一些論斷。不可公度線段的發(fā)現(xiàn)及隨之建立起來的不可公度比的理論，是希臘數(shù)學(xué)的巨大成就。這種邏輯構(gòu)造方法，顯然超出了經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的范圍，是純數(shù)學(xué)最后定形的鮮明標(biāo)志。

21三、古希臘幾何學(xué)的偉大成就古希臘人對(duì)數(shù)學(xué)似乎有特別大的興趣，尤其是在幾何學(xué)方面。這在一定程度上應(yīng)當(dāng)歸功于畢達(dá)哥拉斯派和柏拉圖。他們都是數(shù)學(xué)的崇拜者和鼓吹者。據(jù)說柏拉圖在他所創(chuàng)辦的學(xué)園的大門口上就寫著：“不懂幾何學(xué)者不得入內(nèi)”。在其他古國(guó)，數(shù)學(xué)基本上是一門實(shí)用性的學(xué)科，而在古希臘，也象我們所看到的天文學(xué)的情況那樣，他們是著重于向理論發(fā)展的。古希臘最早的數(shù)學(xué)家可能還是泰利士。

22公元前五世紀(jì)，在古希臘曾存在過一個(gè)被稱為智者派的哲學(xué)派別，他們之中有一些數(shù)學(xué)家提出了下列三個(gè)著名的幾何作圖難題，即只用圓規(guī)和直尺，作一正方形使其面積等于一已知圓的面積；作一立方體使其體積等于一已知立方體的兩倍；三等分一任意角。這三大難題會(huì)在很長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)吸引了許多數(shù)學(xué)家，后來才證明了這都是不可能的。

歐多克索的學(xué)生美尼克謨（Menaechmos，公元前375？-前325？）的最重要的成就是發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。

23古希臘后期，學(xué)術(shù)中心轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城，古希臘數(shù)學(xué)的最后成果是在那里總結(jié)和完成的。生活在亞歷山大城的歐幾里得（EuclidofAlexandria，公元前323？一前235？）是古希臘最享盛名的數(shù)學(xué)家，以他的主要著作《幾何原本》而著稱于世。24

阿基米德（Archimedes，公元前287？-前212）是古希臘后期最偉大的科學(xué)家，他的工作涉及到理論和實(shí)用的許多領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)主面他留下了不少著作，主要是幾何學(xué)方面的，這些著作被認(rèn)為是古希臘數(shù)學(xué)的頂峰。

25自公元前七～五世紀(jì)純數(shù)學(xué)形成之后，數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)時(shí)期是初等數(shù)學(xué)時(shí)期。這個(gè)時(shí)期一直延續(xù)到十七世紀(jì)，并且又可劃分為根本不同的兩個(gè)階段。第一個(gè)階段（希臘數(shù)學(xué)階段）的特點(diǎn)是，幾何學(xué)得到深入發(fā)展并且占據(jù)著統(tǒng)治地位，希臘人把它發(fā)展到緊接著解析幾何和積分學(xué)的建立；第二個(gè)階段的特征是，初等代數(shù)得到長(zhǎng)足發(fā)展并形成數(shù)的一般概念（實(shí)數(shù)），（印度、中亞、阿拉伯東方、西歐一些國(guó)家）且得到完善，在這個(gè)階段，笛卡兒引進(jìn)了代數(shù)的現(xiàn)代符號(hào)，從而使代數(shù)獲得了最適合其內(nèi)容的形式

數(shù)學(xué)發(fā)展的下一個(gè)時(shí)期是從十七世紀(jì)初到十九世紀(jì)中葉。通常把它定義為變量數(shù)學(xué)時(shí)期。

26四、歐幾里得幾何

公元前300年左右，歐幾里得寫出了《原本》。在這部著作中，他匯集了并系統(tǒng)地表述了當(dāng)時(shí)可得到的全部幾何知識(shí)。該書把希臘的幾何學(xué)提高到一個(gè)新的水平，而且是西方思想文獻(xiàn)中最有影響的經(jīng)典之一。

27§1.4初等數(shù)學(xué)的發(fā)展以及埃及、印度、中國(guó)的數(shù)學(xué)成就28數(shù)學(xué)的形成應(yīng)該從算術(shù)和幾何出現(xiàn)開始。算術(shù)和幾何的最簡(jiǎn)單概念，是在日常生活實(shí)踐基礎(chǔ)上形成的，這要追溯到人類社會(huì)發(fā)展的遠(yuǎn)古時(shí)代。對(duì)這些知識(shí)系統(tǒng)化及形成一些規(guī)律和法則，是數(shù)學(xué)本身誕生的時(shí)間，即由積累知識(shí)轉(zhuǎn)變成一門科學(xué)的時(shí)間。這發(fā)生在公元前3～2千年間的許多國(guó)家：埃及、巴比倫、中國(guó)、印度。在這個(gè)時(shí)期，在實(shí)踐基礎(chǔ)上形成了一些數(shù)學(xué)法則。

29一、古代兩河流域和古埃及的數(shù)學(xué)他們?cè)诖鷶?shù)學(xué)方面的工作很有成績(jī)，他們不但能解一元一次方程、多元一次方程。也能解一些一元二次方程，甚至一些較為特殊的三次方程和四次方程。把周角分為360，1分為60，1分為60，即我們現(xiàn)在所通用的方法，也是從古代兩河流域開始的。30二、古印度的數(shù)學(xué)成就古印度在數(shù)學(xué)方面有相當(dāng)大的成就，在世界數(shù)學(xué)史上有重要的地位。自哈拉巴文化時(shí)期起，古印度人用的就是十進(jìn)制記數(shù)，后來這種記數(shù)法為中亞地區(qū)許多民族所采用，又經(jīng)過阿拉伯人傳到了歐洲，逐漸演變成為現(xiàn)今世界上通用的“阿拉伯記數(shù)法”，這是古印度人的一大貢獻(xiàn)。

31現(xiàn)存古印度最早的有關(guān)數(shù)學(xué)的著作名為《準(zhǔn)繩經(jīng)》，這是一部講述祭壇修筑的書，大約成書于公元前五至四世紀(jì)，其中包含了一些幾何學(xué)的知識(shí)。作明在數(shù)學(xué)上的成就最大。他的《歷數(shù)全書頭珠》中的《嬉有章》和《因數(shù)算法章》反映了古印度數(shù)學(xué)的最高成就。32三、中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就我國(guó)奴隸制社會(huì)時(shí)期科學(xué)技術(shù)發(fā)展的水平總的說來不如其他文明古國(guó)，但到了從奴隸制向封建制過渡的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期出現(xiàn)了一個(gè)十分明顯的飛躍，經(jīng)過秦到漢，總的水平上就迅速地躍居世界前列，有許多方面超過了其他國(guó)家和地區(qū)數(shù)百年以至一千多年之久，在世界科技史上產(chǎn)生了重大的影響。

33約成書于公元前一世紀(jì)的《周髀》是我國(guó)最早的天文數(shù)學(xué)著作，其中已有勾股東定理和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算?！毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)第一部最重要的數(shù)學(xué)專著，大約成書于東漢初期（公元一世紀(jì)）。34《九章算術(shù)》在我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上有很大影響，在世界數(shù)學(xué)史上也有重要地位。三國(guó)時(shí)期魏人劉徽為《九章算術(shù)》作了詳注，他的注也成了我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一。劉徽被認(rèn)為是我國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的奠基者。35南朝的祖沖之（429-500）研究圓周率，得出3.1415926<<3.1415927。北宋賈憲：《黃帝九章算法細(xì)草》

南宋秦九韶：《數(shù)書九章》

36§1.5近代數(shù)學(xué)的誕生37解析幾何學(xué)是把代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)結(jié)合起來，把數(shù)和形統(tǒng)一起來的一種新方法。有了變量，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)。辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。有了變量，微分和積分也就成為可能的了。笛卡兒的變量是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，笛卡兒的方法對(duì)微積分的發(fā)明有著無可估量的作用。

一、數(shù)學(xué)發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)

——解析幾何的創(chuàng)立38二、微積分的發(fā)明

牛頓在十七世紀(jì)六十年代就創(chuàng)立了微積分，但是他的有關(guān)著作是在十八世紀(jì)出版的。他把自己的微積分方法叫流數(shù)術(shù)?！读鲾?shù)術(shù)》一書寫于1671年，出版于1736年。39

萊布尼茲(G.W.Leibniz,1646-1716)是德國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。他把自己創(chuàng)建的微積分叫做求差的方法和求和的方法。40

牛頓和萊布尼茲在發(fā)明微積分上的基本功績(jī)是把前人在實(shí)際中應(yīng)用于某一方面的方法加以概括和提升，使之變成適合于一般方程（或函數(shù)關(guān)系）的運(yùn)算方法，并且指出微分和積分的互逆關(guān)系。他們的工作標(biāo)志著微積分的完成。

十九世紀(jì)經(jīng)過柯西（A.L.Canchy）和維爾斯特拉斯（K.Weierstrass）等人的工作，才給微積分奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。4142三、非歐幾何

羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何直到十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才逐漸理解了這種邏輯局面，并逐漸認(rèn)識(shí)到歐幾里得第五公設(shè)獨(dú)立于他的其它公設(shè)，這使得這樣的一些形式相容的幾何系統(tǒng)能夠存在，它們將歐幾里得第五公設(shè)替換成相反的某種假設(shè)。

4344§1.6世界數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移45一、國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）是世界各國(guó)數(shù)學(xué)家的盛大集會(huì)，自1897年在瑞士蘇黎世舉行第一屆會(huì)議以來，到2002年為止已經(jīng)是第二十四屆了.除兩次世界大戰(zhàn)期間外，它每四年召開一次.它對(duì)促進(jìn)世界數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展和國(guó)際交流，發(fā)揮了重要作用.46在國(guó)際上最有影響的兩個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)之一是ICM頒發(fā)的菲爾茲獎(jiǎng)，菲爾茲獎(jiǎng)授予四十歲以下的有卓越成就的中青年數(shù)學(xué)家.從1936年在挪威舉行第十屆ICM會(huì)議頒發(fā)首屆菲爾茲獎(jiǎng)起，至2002年已有44人獲得此獎(jiǎng).美籍華人丘成桐于1983年榮獲菲爾茲獎(jiǎng)。47而另一個(gè)聲譽(yù)日隆的是沃爾夫獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)?wù)哂袠O佳的學(xué)術(shù)水準(zhǔn)，使得此項(xiàng)獎(jiǎng)被公認(rèn)數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng).從1978年頒發(fā)到2001年已有39名數(shù)學(xué)家獲此殊榮，美國(guó)（17人），蘇（俄）（7人），法國(guó)（5人），德國(guó)、匈牙利、日本、瑞典、比利時(shí)（各2人），意大利、以色列（各1人），而美籍華人數(shù)學(xué)家陳省身教授于1983年得此獎(jiǎng)。上述獲獎(jiǎng)?wù)叩墓ぷ鳎砹税雮€(gè)世紀(jì)以來純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的主流.由此可見，當(dāng)今世界數(shù)學(xué)的中心在美國(guó)，歐洲則以法國(guó)最強(qiáng).48伴隨社會(huì)的急劇變革，世界數(shù)學(xué)的中心也已幾度轉(zhuǎn)移，世界數(shù)學(xué)的主流也已幾經(jīng)變幻.從近代、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主線——德、法、美、波蘭、蘇聯(lián)等國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展興衰交替、此起彼落的變遷中，我們可看到數(shù)學(xué)這塊領(lǐng)地與整個(gè)國(guó)家、整個(gè)民族、整個(gè)社會(huì)共命運(yùn)、同盛衰；它需要學(xué)術(shù)研究上指導(dǎo)思想正確，方向、方法對(duì)頭，更需要一個(gè)自由、和諧的學(xué)術(shù)環(huán)境.49二、哥廷根的興衰與美國(guó)的勝利20世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展到鼎盛時(shí)期，哥廷根（Gottingen）大學(xué)成了舉世矚目的數(shù)學(xué)中心和數(shù)學(xué)家搖籃.18世紀(jì)下半葉到19世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)的中心還在法國(guó)巴黎.從19世紀(jì)中葉起，由于拿破侖三世的反動(dòng)統(tǒng)治，法國(guó)政治黑暗，社會(huì)動(dòng)蕩，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)及整個(gè)科學(xué)的跌落.而普法戰(zhàn)爭(zhēng)后，德國(guó)獲得統(tǒng)一，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，進(jìn)入了興盛時(shí)期.19世紀(jì)初，年輕的數(shù)學(xué)家高斯開辟了世界數(shù)學(xué)的新紀(jì)元.50由高斯、雅可比、狄里克雷、黎曼、代德金、康托爾、克羅內(nèi)克、維爾斯特拉斯、庫(kù)莫爾等所做出的一系列卓越的開創(chuàng)性工作，使德國(guó)數(shù)學(xué)取代了法國(guó)數(shù)學(xué)的主導(dǎo)作用和中心地位.1855年，狄里克雷接替了高斯在哥廷根的工作后，創(chuàng)建了以他和黎曼等人為首的哥廷根學(xué)派.同時(shí)，維爾斯特拉斯、庫(kù)莫爾、克羅內(nèi)克“三巨頭”也把許多有才能的學(xué)生吸引到柏林大學(xué)，形成了柏林學(xué)派.51柏林學(xué)派于19世紀(jì)末因“三巨頭”逝世而瓦解之后，哥廷根學(xué)派在黎曼領(lǐng)導(dǎo)下日益繁榮興旺.20世紀(jì)初，大數(shù)學(xué)家克萊菌、希爾伯特、閔可夫斯基主持哥廷根工作，聚集了像韋爾、E·諾特、阿廷、龍格、海林格、布拉須蓋、哥朗、西格爾、托普利茲、施密特、哈塞等一批蜚聲數(shù)壇的大數(shù)學(xué)家，以及象普朗克、玻恩、薛定諤、海森堡這樣一批大物理學(xué)家.52然而，1933年希特勒上臺(tái)，使興旺發(fā)達(dá)的德國(guó)科學(xué)毀于一旦.哥廷根的大多數(shù)成員如韋爾、哥德爾、西格爾、阿廷、柯朗、諾特、馮·諾伊曼、費(fèi)勒（隨機(jī)過程創(chuàng)始人之一）、德恩（希爾伯特第3問題解決者）等，還有大科學(xué)家愛因斯坦、弗蘭克等被迫流亡美國(guó).而留在德國(guó)本土的數(shù)學(xué)家有的被關(guān)進(jìn)集中營(yíng)，甚至被迫害致死.如拓?fù)淇臻g理論的奠基人豪斯多夫被逼死，著名數(shù)論專家蘭朵一直遭受打擊迫害.有的不過問政治，埋頭學(xué)問，在艱難的環(huán)境里堅(jiān)持研究，如維特（E.Witt）研究李代數(shù)學(xué)和二次型，克魯爾（Krull）研究交換環(huán)，道凌（M.Deuring）研究代數(shù)學(xué)都取得了突出成就.53美國(guó)的數(shù)學(xué)水平在第二次世界大戰(zhàn)前遠(yuǎn)不如歐洲大陸，每年都有一大批學(xué)生留學(xué)哥廷根和巴黎.1862—1934年間，美國(guó)有114名數(shù)學(xué)博士，其中就有34名留學(xué)于哥廷根，18名留學(xué)于萊比錫和慕尼黑.當(dāng)然，出現(xiàn)在美國(guó)本土的具有第一流水平的數(shù)學(xué)家也有一些，早期的如吉布斯奠基向量分析和統(tǒng)計(jì)力學(xué)，G·伯克霍夫建立了微分方程定性理論方面的動(dòng)力系統(tǒng)理論和抽象代數(shù)學(xué)的格論，系統(tǒng)地論述了各態(tài)歷經(jīng)理論.54由于德、波、匈、奧（地利）、法國(guó)一大批卓越的數(shù)學(xué)家以及其他科學(xué)家紛紛流亡美國(guó)，使美國(guó)迅速成為戰(zhàn)后的數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)和世界數(shù)學(xué)中心.這批數(shù)學(xué)家成了美國(guó)數(shù)學(xué)的中堅(jiān)，例如柯朗把建設(shè)哥廷根數(shù)學(xué)研究所的經(jīng)驗(yàn)帶到美國(guó)，組建了第一流的紐約大數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，在研究空氣動(dòng)力學(xué)和激波中做出了重大成就.55由于在第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)收留了大批杰出的數(shù)（科）學(xué)家（僅德、奧兩國(guó)移居世界各地2000名科學(xué)家中，就有大部分到美國(guó).據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)代美國(guó)將近半數(shù)的優(yōu)秀科學(xué)家實(shí)際上是外國(guó)人），從而使美國(guó)整個(gè)數(shù)學(xué)面貌發(fā)生了巨變，并從此居世界數(shù)學(xué)中心的地位.美國(guó)數(shù)學(xué)的勝利，是奪取人才的勝利.實(shí)行開明的人才政策，善于匯集人才——這就是美國(guó)一躍而為世界數(shù)學(xué)魁首的“奧秘”.56波蘭數(shù)學(xué)的中興20世紀(jì)20年代，隨著第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束，默默無聞的波蘭數(shù)學(xué)異軍突起，獨(dú)樹一幟，在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析方面躍居世界主導(dǎo)地位，創(chuàng)造了震驚國(guó)際數(shù)學(xué)界的成就.波蘭數(shù)學(xué)中興的經(jīng)驗(yàn)主要有兩條：一是自覺地、有計(jì)劃地形成學(xué)派；二是發(fā)揚(yáng)了高度的獨(dú)創(chuàng)精神，敢于自成體系躋身于世界數(shù)學(xué)研究中心之林.57布爾巴基學(xué)派數(shù)學(xué)，是年輕人的科學(xué).20世紀(jì)30年代，一個(gè)以布爾巴基（Bourbaki）為筆名的青年數(shù)學(xué)家集團(tuán)誕生在法國(guó)巴黎，在沉悶的法蘭西數(shù)學(xué)界掀起了波瀾.這批年輕的開拓者，在十分困難的條件下成長(zhǎng)壯大，并以大無畏的批判精神做出了用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的觀念和公理化方法整理、概括全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)這一莊嚴(yán)選擇.“布爾巴基運(yùn)動(dòng)”曾席卷法國(guó)，風(fēng)靡歐美，歷幾十年而不衰，不僅復(fù)興了法國(guó)數(shù)學(xué)，使之在第二次世界大戰(zhàn)后保持世界先進(jìn)水平，而且對(duì)整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響.58布爾巴基的早期成員魏依、勒瑞和H·嘉當(dāng)則分別榮獲第二、三屆國(guó)際沃爾夫獎(jiǎng).20世紀(jì)70年代分析數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)的重大發(fā)展和“構(gòu)造主義”的再度新生，促使數(shù)學(xué)的發(fā)展由布爾巴基所指引的抽象的、結(jié)構(gòu)主義的道路轉(zhuǎn)向具體的、構(gòu)造主義的、與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的道路，從而結(jié)束了布爾巴基學(xué)派的黃金時(shí)代.但至今還看不出它有任何解體的跡象.每年三次的“布爾巴基討論班”照樣在龐加萊學(xué)院舉行，它也許是當(dāng)今世界上惟一討論當(dāng)代數(shù)學(xué)重要進(jìn)展的討論班，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者慕名而來.59尖端發(fā)展與基礎(chǔ)教育、前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)成就自20世紀(jì)60年代以來，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)再次稱雄世界，成為當(dāng)今世界數(shù)學(xué)的中心之一.前蘇聯(lián)具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)傳統(tǒng).早在18世紀(jì)，俄國(guó)彼得一世就非常重視文化建設(shè)的改革，他大力發(fā)展學(xué)校事業(yè)，并與萊布尼茲一起建立了彼得堡科學(xué)院，以培養(yǎng)俄羅斯自己的科學(xué)家.科學(xué)院在許多領(lǐng)域很快地達(dá)到了當(dāng)時(shí)西方最有名望的科學(xué)院的水平.18世紀(jì)最偉大的科學(xué)家歐拉，以及貝努里家族的丹尼爾和尼古拉，都曾長(zhǎng)期在這里工作.6020世紀(jì)60年代以后，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)發(fā)展十分迅速，成為數(shù)學(xué)上的超級(jí)大國(guó)，尤其是在20世紀(jì)70年代在分析數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等方面迅猛發(fā)展，把法國(guó)拋在了后面.當(dāng)今前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)在世界上是數(shù)一數(shù)二的，在解決世界難題方面，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家為數(shù)最多.諾維科夫和馬古利斯分別以卓越的成就，成為菲爾茲獎(jiǎng)得主.61§1.7中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)代化進(jìn)程62中國(guó)數(shù)學(xué)有悠久燦爛的歷史.有史以來的兩千多年間，特別是公元13世紀(jì)前（宋元時(shí)代），在當(dāng)時(shí)占統(tǒng)治地位的數(shù)學(xué)各分支的許多重要領(lǐng)域內(nèi)，一直是獨(dú)立發(fā)展，遙遙領(lǐng)先于世界，對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展有著特殊的貢獻(xiàn)和巨大影響.明、清（17世紀(jì)），西方數(shù)學(xué)開始輸入中國(guó)，使中國(guó)數(shù)學(xué)開始走上現(xiàn)代化的道路.63在美國(guó)康奈爾大學(xué)畢業(yè)并獲哈佛大學(xué)博士學(xué)位后返國(guó)的姜立夫，1920年創(chuàng)辦南開大學(xué)數(shù)學(xué)系；姜立夫靠他的博學(xué)多能，在難以想象的困難條件下培養(yǎng)了如劉晉年、江澤涵、申又棖、陳省身、孫本旺、吳大任等一批中國(guó)數(shù)學(xué)界的棟梁之材.然而，在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)是一門自生自滅的學(xué)科，得不到應(yīng)有的重視.當(dāng)日本數(shù)學(xué)家高木貞治留學(xué)德國(guó)哥廷根，向大數(shù)學(xué)家希爾伯特學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論后歸國(guó)，并于1920年創(chuàng)立類域論解決希爾伯特第9問題而使日本數(shù)學(xué)躋身世界一流水平之時(shí)，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)尚未誕生.

641921年，陳建功在日本《東北數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文《關(guān)于無窮積的一些定理》,標(biāo)志著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的興起．1928年，陳建功是第一位在日本取得理學(xué)博士學(xué)位的外國(guó)科學(xué)家.20世紀(jì)20~30年代，留法歸來的熊慶來對(duì)無窮級(jí)整函數(shù)和無窮級(jí)亞純函數(shù)論；留日歸來的陳建功對(duì)三角級(jí)數(shù)論；留日歸來的蘇步青對(duì)仿射微分幾何、一般射影曲線理論、一般空間微分幾何；留英歸來的華羅庚對(duì)解析數(shù)論華林問題；留德后又留法歸來的陳省身對(duì)積分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何中空間流形的整體性質(zhì)；留英歸來的許寶騄對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷和多元分析，取得了在國(guó)際上居較高水平的研究成果.65解放后，新中國(guó)數(shù)學(xué)從方面狹窄發(fā)展到較為廣