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河北省保定市上堡村中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是()A.
B.[-2,2]
C.[-4,4]
D.[-1,1]參考答案:D2.已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐側(cè)面的4個(gè)三角形面積的最大值為(
)A.2 B. C. D.參考答案:A【分析】還原幾何體得四棱錐,其中面,分別計(jì)算各側(cè)面的面積即可得解.【詳解】還原三視圖可得幾何體如圖所示,四棱錐,其中面,.中有,由,所以.所以.所以面積最大值是的面積,等于2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,并計(jì)算幾何體的側(cè)面積,需要一定的空間想象力,屬于中檔題.3.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=()A.3 B.6 C.9 D.12參考答案:B【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合;直線與圓錐曲線的關(guān)系.【分析】利用橢圓的離心率以及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),求出橢圓的半長(zhǎng)軸,然后求解拋物線的準(zhǔn)線方程,求出A,B坐標(biāo),即可求解所求結(jié)果.【解答】解:橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)(c,0)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)(2,0)重合,可得c=2,a=4,b2=12,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,拋物線的準(zhǔn)線方程為:x=﹣2,由,解得y=±3,所以A(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).|AB|=6.故選:B.4.如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥BD,沿BD將△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,連接AC,則在四面體ABCD的四個(gè)面中,互相垂直的平面的對(duì)數(shù)為()A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:C略5.若命題,則是(
)A.
B.C.
D.參考答案:D6.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m為A.1
B.-1
C.0
D.±1參考答案:D7.函數(shù)f(x)=x+elnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.R參考答案:A函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=1+>0,故單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞).8.在中,,,,則A.
B.
C.
D.參考答案:D略9.i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.【解答】解:復(fù)數(shù)==的虛部是.故選:A.10.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,則c=()A.2 B.4 C.2 D.3參考答案:C【考點(diǎn)】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【分析】運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,化簡(jiǎn)可得角C,再由面積公式和余弦定理,計(jì)算即可得到c的值.【解答】解:===1,即有2cosC=1,可得C=60°,若S△ABC=2,則absinC=2,即為ab=8,又a+b=6,由c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣2ab﹣ab=(a+b)2﹣3ab=62﹣3×8=12,解得c=2.故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.參考答案:(0,1)【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】由拋物線x2=4y的焦點(diǎn)在y軸上,開(kāi)口向上,且2p=4,即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解:拋物線x2=4y的焦點(diǎn)在y軸上,開(kāi)口向上,且2p=4,∴∴拋物線x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)故答案為:(0,1)12.已知復(fù)數(shù)z=(3﹣2i)2+2i(i為虛數(shù)單位),則z虛部為.參考答案:﹣10【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.【解答】解:z=(3﹣2i)2+2i=9﹣4﹣12i+2i=5﹣10i,則z虛部=﹣10.故答案為:﹣10.13.如圖是從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)選出9名同學(xué)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)成績(jī)的莖葉圖,從圖中看,平均成績(jī)較高的是
▲
班.參考答案:略14.觀察下列式子:,,,由此可歸納出的一般結(jié)論是
.參考答案:15.已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中,有一個(gè)內(nèi)角為,則雙曲線C的離心率為
.參考答案:略16.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論: ① ②AB與CM所成的角為600③EF與MN是異面直線 ④以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是_______.參考答案:1,3略17.過(guò)點(diǎn)且和拋物線相切的直線方程為
.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題共12分)
在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且
(I)判斷△ABC的形狀;
(Ⅱ)若,求f(A)的最大值.參考答案:
3分
4分
6分
7分
8分
9分
11分
12分略19.(本小題滿分12分)如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,,,是棱的中點(diǎn)。(I)證明:⊥平面(Ⅱ)設(shè),求幾何體的體積。參考答案:
6分(2),.
12分20.已知函數(shù),(Ⅰ)判斷函數(shù)的奇偶性;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)閧且}
∴為偶函數(shù)
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若,則,遞減;
若,
則,遞增.再由是偶函數(shù),得的遞增區(qū)間是和;遞減區(qū)間是和.(Ⅲ)由,得:
令當(dāng),
顯然時(shí),,
時(shí),,∴時(shí),又,為奇函數(shù)
∴時(shí),∴的值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[1,+∞)∴若方程有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).略21.我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.如圖,點(diǎn)F0,F(xiàn)1,F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A1,A2和B1,B2分別是“果圓”與x,y軸的交點(diǎn).(1)若△F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;(2)當(dāng)|A1A2|>|B1B2|時(shí),求的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(1)由三角形F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,得出a,b,c的關(guān)系,求出a,b,c的值,進(jìn)而得出“果圓”的方程;(2)由|A1A2|>|B1B2|可得a,b,c的不等關(guān)系式,把c用a,b代替,得到含有a,b的不等式,求解不等式得答案.【解答】解:(1)由題意可得,F(xiàn)0(c,0),F(xiàn)1(0,﹣),F(xiàn)2(0,),則|F0F1|==b=1,|F1F2|=2=1,∴,,故所求“果圓”方程為(x≥0)和(x≤0);(2)由|A1A2|>|B1B2|,得a+c>2b,c>2b﹣a,即>2b﹣a.兩邊平方得a2﹣b2>(2b﹣a)2,則,又b>c,∴b2>c2,即b2>a2﹣b2,∴,即,故∈().22.設(shè)a是實(shí)數(shù),命題p:函數(shù)的最小值小于0,命題q:函數(shù)在R上是減函數(shù),命題:.(1)若“”和“”都為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若p是r的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案:(1);(2).【分析】分別求解出命題為真時(shí)和命題為真時(shí)的取值范圍;(1)由已知可知真假,從而可得不等式組,解不等式組求得結(jié)果;(2)根據(jù)充分不必要條件的判定方法可得不等
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