山西省忻州市西雷中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析

山西省忻州市西雷中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某地為上海“世博會”招募了20名志愿者，他們的編號分別是1號、2號、…、19號、20號．若要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的在另一組．那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是(

)A．16 B．21 C．24 D．90參考答案：B考點：計數(shù)原理的應(yīng)用．專題：計算題；應(yīng)用題．分析：本題是一個分類計數(shù)問題，要確保5號與14號入選并被分配到同一組，則另外兩人的編號或都小于5或都大于14，于是根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，要“確保5號與14號入選并被分配到同一組”，則另外兩人的編號或都小于5或都大于14，于是根據(jù)分類計數(shù)原理，得選取種數(shù)是C42+C62=6+15=21，故選B點評：本題考查分類計數(shù)原理，這是經(jīng)常出現(xiàn)的一個問題，解題時一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，相加得到結(jié)果．2.《算數(shù)書》是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，則，所以.故選B3.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.若上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：答案：C解析：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，故Ｃ為正確答案．5.等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，a3a8+a4a7=18，則A.20

B.36 C.9

D.參考答案：A6.已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的判斷正確的是（

）

A．當時，有4個零點；當時，有1個零點

B．當時，有3個零點；當時，有2個零點

C．無論為何值，均有2個零點

D．無論為何值，均有4個零點參考答案：A7.已知函數(shù)對定義域內(nèi)的任意都有=，且當時其導函數(shù)滿足若則（）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.函數(shù)的圖象大致是（

）參考答案：A9.已知滿足不等式，則函數(shù)取得最小值是（A）6（B）9（C）14（D）15參考答案：A10.集合，，則A∩B等于（

）A．{1,2}

B．{0,1,2}

C．{1,2,3}

D．{0,1,2,3}參考答案：A由題設(shè)知，，所以，故選：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是橢圓的左焦點，O為坐標原點，點P在橢圓上，則的最大值為___________.參考答案：略12.已知函數(shù)，對于上的任意，有如下條件：①；②；③．其中能使恒成立的條件序號是

．參考答案：【答案】②【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則

在區(qū)間上,函數(shù)為增函數(shù)，【高考考點】函數(shù)的奇偶性單調(diào)性的判定及應(yīng)用13.如圖，在的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量滿足，則

．參考答案：試題分析：設(shè)方格邊長為單位長.在直角坐標系內(nèi)，，由得，所以，解得，所以，.考點：1.平面向量的坐標運算；2.平面向量基本定理.14.若函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x+3）為偶函數(shù)，則f（2）=．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)偶函數(shù)f（x）的定義域為R，則?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因為函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函數(shù)，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值等于

.參考答案：16.已知：，則的取值范圍是_______參考答案：由得，，易得，故，.17.函數(shù)的最大值為______________________。參考答案：.【分析】化簡已知得，再求函數(shù)的最大值.【詳解】，則的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，直線x=4與x軸的交點為P，與拋物線的交點為Q，且．（1）求拋物線的方程；（2）如圖所示，過F的直線l與拋物線相交于A，D兩點，與圓x2+（y﹣1）2=1相交于B，C兩點（A，B兩點相鄰），過A，D兩點分別作我校的切線，兩條切線相交于點M，求△ABM與△CDM的面積之積的最小值．參考答案：【考點】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）求得P和Q點坐標，求得丨QF丨，由題意可知，+=×即可求得p的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，代入拋物線方程，由韋達定理x1x2=﹣4，求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，聯(lián)立求得M點坐標，根據(jù)點到直線距離公式，求得M到l的距離，利用三角形的面積公式，即可求得△ABM與△CDM的面積之積的最小值．【解答】解：（1）由題意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，則+=×，解得：p=2，∴拋物線x2=4y；（2）設(shè)l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，則x1x2=﹣4，由y=x2，求導y′=，直線MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，則M（2k，﹣1），∴M到l的距離d==2，∴△ABM與△CDM的面積之積S△ABM?S△CDM=丨AB丨丨CD丨?d2，=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）?d2，=y1y2d2=?×d2，=1+k2≥1，當且僅當k=0時取等號，當k=0時，△ABM與△CDM的面積之積的最小值1．19.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的導函數(shù)．（1）若x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的方程f（x）=|f′（x）|．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；導數(shù)的運算．【專題】分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求最值；（2）通過平方去掉絕對值：（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．求解．【解答】解：（1）因為f（x）≤f′（x），所以x2﹣2x+1≤2a（1﹣x）．又因為﹣2≤x≤﹣1，所以a≥在x∈[﹣2，﹣1]時恒成立．因為≤，所以a≥．（2）因為f（x）=|f′（x）|，所以x2+2ax+1=2|x+a|，所以（x+a）2﹣2|x+a|+1﹣a2=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1﹣a．①當a＜﹣1時，|x+a|=1﹣a，所以x=﹣1或x=1﹣2a；②當﹣1≤a≤1時，|x+a|=1﹣a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1﹣2a或x=﹣（1+2a）；③當a＞1時，|x+a|=1+a，所以x=1或x=﹣（1+2a）．【點評】本題考查了用分離參數(shù)法處理恒成立問題、解絕對值不等式，屬于中檔題．20.已知函數(shù)的周期為，其中．（Ⅰ）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在中，設(shè)內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若，，f(A)=，求b的值．參考答案：略21.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=4cos（θ﹣）（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）若點P（x，y）是直線l上位于圓內(nèi)的動點（含端點），求x+y的最大值和最小值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）圓C的極坐標方程為ρ=4cos（θ﹣），展開可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標方程．（II）圓C的標準方程為：=4．設(shè)z=x+y．把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，由于直線l經(jīng)過圓心，kd點P對應(yīng)的參數(shù)滿足﹣2≤t≤2即可得出．【解答】解：（I）圓C的極坐標方程為ρ=4cos（θ﹣），展開可得：ρ2=4，可得直角坐標方程：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（II）圓C的標準方程為：=4，圓心C，半徑r=2．設(shè)z=x+y．把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，由于直線l經(jīng)過圓心，∴點P對應(yīng)的參數(shù)滿足﹣2≤t≤2．∴﹣2≤﹣t≤2+2．即x+y的最大值和最小值分別為+2；2﹣2．22.已知在上是增函數(shù)，在