數(shù)學(xué)建模-深洞地估算

深洞的估算姓名：班級(jí)：學(xué)號(hào)：聯(lián)系方式:摘要在探險(xiǎn)，采礦等活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)碰到比較深的洞，為了探索的安全和事前的準(zhǔn)備，這時(shí)候，就需要估算深洞的深度。常常我們不會(huì)帶復(fù)雜的精密儀器出入山林，所以，碰到這種情況，需要我們用簡(jiǎn)單的儀器粗略的計(jì)算出深洞的深度。本模型利用秒表和石頭等常見的物品做試驗(yàn)，再作出各種合理的假設(shè)，運(yùn)用物理知識(shí)和微積分估算出各假設(shè)下的洞深。討論了不考慮空氣阻力及考慮空氣阻力等三種情況，還進(jìn)一步考慮了回聲的作用。建立微分方程模型并逐一計(jì)算得出各種情況下的洞深。關(guān)鍵詞：洞深空氣阻力回聲微積分提出問(wèn)題假如你站在洞口且身上僅帶著一只具有跑秒功能的計(jì)算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估計(jì)洞的深度，假定你撿到一塊質(zhì)量是1KG的石頭，并準(zhǔn)確的測(cè)定出聽到回聲的時(shí)間T=5S，就下面給定情況，分析這一問(wèn)題，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并估計(jì)洞深。1、不計(jì)空氣阻力；2、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數(shù)k1=0.05；3、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數(shù)k2=0.0025；4、在上述三種情況下，如果再考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。二、問(wèn)題分析這個(gè)問(wèn)題就是物理中的自由落體，通過(guò)自由落體算出洞的深度，則需要知道石頭從洞口落到洞底所用的時(shí)間。石頭是否落到了洞底則需要從石頭撞擊洞底傳來(lái)的回聲來(lái)判斷。石頭下落過(guò)程中會(huì)受到空氣的阻力，但是空氣阻力的大小及計(jì)算方法我們并不清楚，這就需要假設(shè)。通過(guò)物理，我們知道聲音的傳播也是有速度的，所以回聲從洞底傳遞到測(cè)量者耳朵視需要時(shí)間的。如果洞不深的話，回聲傳播的時(shí)間會(huì)很小，可以忽略。但如果很深的話，忽略的話會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差。因此這兩種大的情況必須考慮在內(nèi)。三、模型假設(shè)基于上述分析，作以下假設(shè)：1、石頭落下是作自由落體運(yùn)動(dòng)，測(cè)量者并未給其一個(gè)初始速度，且石頭下落過(guò)程中未碰到任何障礙物。石頭落下的地方能夠代表洞底那一平面，并且能夠發(fā)出聲響。2、測(cè)量者在聽到第一聲回聲響起時(shí)就馬上按下計(jì)算器，不存在反應(yīng)時(shí)間，且聲波在洞中傳遞的速度不變。3、石頭下落過(guò)程所受空氣阻力只與下落速度有關(guān)系，假設(shè)三種情況:1）不計(jì)空氣阻力。2）阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05。3)阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025。4、在3中的3種情況下，考慮回聲傳回所需的時(shí)間。符號(hào)說(shuō)明：洞深：石頭的質(zhì)量，為：從開始落下到測(cè)出回聲的時(shí)間：重力加速度，?。菏^下落的速度：比例系數(shù)：比例系數(shù)：聲波傳遞的速度，?。菏^落到洞底的時(shí)間；回聲從產(chǎn)生到測(cè)量者聽到的時(shí)間

五、模型的建立與求解由假設(shè)3-1，不計(jì)空氣阻力，不考慮回聲傳播時(shí)間?？擅黠@得出根據(jù)自由落體定律可得計(jì)算可得洞深。由假設(shè)3-2，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05，不考慮回聲傳播時(shí)間。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可列方程，令=則方程化簡(jiǎn)得所以初始條件可知求得由所以計(jì)算可得洞深由假設(shè)3-3，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025，不考慮回聲傳播時(shí)間。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可列方程，令則方程化簡(jiǎn)得所以初始條件可知求得其中，得初始條件可知計(jì)算可得洞深114m由假設(shè)4，考慮回聲傳播時(shí)間，對(duì)3-1，3-2，3-3再一次求解1）4-3-1，不計(jì)空氣阻力。分析方法同前面，于是有求得=4.678s109.4m2）4-3-2，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05。利用MATLAB計(jì)算>>x=solve('x+3000+20*x/34=4000*2.7^(-0.25+0.05*x/340)','x')x=106.71125398368799763210014510673即洞深106.7m3）4-3-3，阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025。利用MATLAB計(jì)算>>x=solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7^(0.316*5-0.316*x/340)+1)-log(2*2.7^(0.316*5-0.316*x/340)))','x')x=101.86825754949506384343423952243即洞深101.9m結(jié)果分析和檢驗(yàn)（一）、不考慮回音模型一：不計(jì)空氣阻力計(jì)算得洞深。誤差分析：不計(jì)空氣阻力算的結(jié)果125m與考慮空氣結(jié)果115m相差10m，而實(shí)際上空氣阻力是存在的，所以結(jié)果不精確。模型二：阻力與成正比，比例系數(shù)=0.05計(jì)算得洞深誤差分析：假設(shè)阻力與成正比所得結(jié)果115m，與假設(shè)阻力與成正比所得結(jié)果114m相差1m，比例數(shù)值是沒有根據(jù)的取值的，不是很精確。模型三：阻力與成正比，比例系數(shù)=0.0025計(jì)算得洞深114m誤差分析：見2以上三種模型都沒有考慮回音的問(wèn)題，不考慮聲音從洞底到人耳的時(shí)間，所以結(jié)果都不是很精確。取音速為，聲音從洞底到人耳的時(shí)間為：帶入模型一計(jì)算，得h=100.7m,與h=115m相差14.2%，可看出不考慮回音對(duì)結(jié)果影響較大，以上結(jié)果都不合理。（二）、考慮回音考慮回音的情況下，如不考慮空氣阻力，問(wèn)題如模型一，所以不能忽略一定存在的空氣阻力?？紤]空氣阻力時(shí)，空氣阻力與石頭速度的關(guān)系系數(shù)的確定影響結(jié)果的精確度，應(yīng)該綜合考慮各種外在因素。討論模型的優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向，推廣新思想本模型考慮了不計(jì)空氣阻力，計(jì)算空氣阻力以及考慮回音等6種假設(shè)，逐步增加約束條件，利用物理和微積分方程知識(shí)求解，求解過(guò)程科學(xué)合理。在假設(shè)3-1中不考慮空氣阻力是不合理的，3-2、3-3中比例系數(shù)的確定不合理?？紤]音速時(shí)，沒有考慮音速在深洞中的具體數(shù)值。還有物體的形狀沒有描述，沒有考慮物體的形狀對(duì)空氣阻力的影響。改進(jìn)：1、把石頭換成圓形的鐵球或者其他球形物體。2、具體測(cè)量深洞中的音速。3、做實(shí)驗(yàn)求出當(dāng)?shù)乜諝庾枇εc該球形物體下落速度的關(guān)系式。參考文獻(xiàn)【1】姜