2023屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價檢測數(shù)學(xué)試題

華中2023屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價檢測

數(shù)學(xué)試題

時間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程f—2x+2=°的一個根，則目的值為

A.1B.72C.0D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個復(fù)數(shù)根，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，方程/一2X+2=0,可得A=-2<0，

所以方程的兩個復(fù)數(shù)根分別為z=l+i或z=l—i，

所以目=J5.

故選：B.

2.設(shè)集合用={xeZ|lgx<l},N={xeZ〔2'>10。},則McN=().

A.{5,6,7}B.{6,7,8}C.{7,8,9}D.

{8,9,10}

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合M,N,再利用并集的運算即可求解.

【詳解】集合“={xIxeZ11gx<1}={%|xeZ10<x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

又因為集合N={XGZ|2">100}={7,8,9,10,11,},由交集的定義可得，

MN={7,8,9},

故選：C.

3.函數(shù)〃/=卜_：)4國的大致圖象是().

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性公式運算發(fā)現(xiàn)函數(shù)/（x）為非奇非偶函數(shù)，排除A：易知當(dāng)x>l

時，f（x）>0,故排除C；觀察B,D選項，發(fā)現(xiàn)它們的主要區(qū)別是當(dāng)xw（—l,O）U（O,l）

時，/（X）的圖象在y軸兩側(cè)的變化趨勢不同，故聯(lián)想到利用特殊值進行檢驗，即可得出結(jié)

果.

【詳解】解：易知函數(shù)“X）的定義域為{X|XNO且xw±l},

因為=（―x—；）g|="（x+l）ln|x|，

所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除A；

易知當(dāng)x>l時，/（%）>0,故排除C；

因為/（一；］=岳三,所以所以排除D.

2）3In2\2Jln212/

故選：B.

4.己知點P在棱長為4的正方體表面上運動，A3是該正方體外接球的一條直徑，則P4.P5

的最小值為（）.

A.-8B.-4C.-1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用球和正方體的關(guān)系求出正方體的外接球的直徑，進一步利用向量的線性運

算和數(shù)量積運算求出結(jié)果.

【詳解】由題意知：正方體的外接球的球心為0,

正方體的外接球的直徑AB=742+42+42=45/3，

則。為AB的中點，所以QA=—06，

且|OA|=|OB|=26，

^.PAPB=（OA-OP）（OB-OP）=OAOB-（OA+OB）OP+OP'=-OA1+OP'=OP'-12'

當(dāng)OP與正方體的棱長平行時，此時|?！白钚。蕓OP|22,

所以PAPB的最小值4-12=-8.

故選：A

5.設(shè)函數(shù)/（x）=x-sinx,若和馬且/（%）＞/?。瑒t下列不等式恒成立

的是

A.玉＞x2B.王＜x2

22

C.尤］+超＞°D.%1＞x2

【答案】D

【解析】

71

【詳解】試題分析：由已知可得：/（X）是偶函數(shù)，y=x,y=sinx在區(qū)間［0,一］上遞增，

2

7TTT

且y=X,y=SinX在區(qū)間［0,一］上均為正數(shù)，所以/（X）在區(qū)間［0,-］上遞增，

22

因為/（西）＞/*2），所以㈤＞岡，所以邛＞/2,故應(yīng)選Q.

考點：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的奇偶性.

6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦

點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點.設(shè)橢圓

22

W+我=1（。＞匕＞0）的左、右焦點分別為K，K，若從橢圓右焦點K發(fā)出的光線經(jīng)過

3

橢圓上的點A和點8反射后，滿足AB_LA。，且cos/A8C=丁則該橢圓的離心率為（）.

也「垂）

RD.---------D

22T

【答案】D

【解析】

【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可

得答案.

【詳解】由題意，可作圖如下:

4_AF

cos2ZABFt

X5-Bff即

AB:A耳：幽=3:4:5,

可設(shè)AB=3《，AFt-4k,BFt=5k,

由A3+A￡+BK=A/^+B鳥++=4。，則4々+3%+5左=4a,即3Z=a,

AF2^2a-AF^2k,在RL.A^K中，耳戒=大AF；+4居？=2加k=2c,

皿12c2非k75

貝IJe=——=-----=—.

2a6k3

故選：D.

7.在正四棱臺ABC。一A4GA中，AB=2A￡,A4,=2百，M為棱8c的中點，當(dāng)

正四棱臺的體積最大時，平面MBO截該正四棱臺的截面面積是（）.

A.正B.C.100D.6夜

42

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公

式進行求解即可.

【詳解】設(shè)==4x,上底面和下底面的中心分別為O,,0,過4作A”

該四棱臺的高?。=〃，

在上下底面由勾股定理可知，AG=g42x)2+(2x『=缶,AO=：J(4xy+(4x)2=2&.

在梯形AQQA中，A*=AH。+A82n12=(2夜x-+川=/=12-2W,

所以該四棱臺的體積為丫=31(16/+川----6----/----.----以------2-+4r)力=OQ?》2/?,

W2784、、78422“cc2、/784rx2+/+12-2-丫

所以丫-=——X-x-h-=——x-x-Cl2-2x)<----------------------,

99913J

當(dāng)且僅當(dāng)V=12—2d，即x=2時取等號，此時AB=8,Ag=4,Op=h=2.

取GA，BC的中點N,E,連接NM、ND,顯然有MN//D、BJIDB,

由于MN/平面ABCD，助Du平面ABCD，所以MN//平面ABCD,因此平面MBDN

就是截面.

顯然MN=gBQi=2及,30=80,

在直角梯形。iME。中，ME=[h2+(OE-O附產(chǎn)=冏4=2叵,

因此在等腰梯形B[C[CB中，MB=-JME2+EB-=J8+16=276，

同理在等腰梯形RCQ中，DN=2n，

在等腰梯形A/8ZW中，沒MFUDN,MG1BD,

貝ijMF=2瓜BF=8五-2近=6近,

MG=J(2向2_(lx6夜了=76,

所以梯形MBDN的面積為2*xV6=10x/3,

2

故選：C.

【點睛】解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維

流程如下：

（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關(guān)系，

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多包含兒何體的各種元素以

及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的；

(3)求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.

8.在數(shù)列｛??｝中給定四,且函數(shù)/(x)=-*sinx+(a,+2)x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零

點，函數(shù)g(x)=+且g(4)+g(4)++g(〃9)=18,則

%=().

1111

A.一B.-C.-D.一

4369

【答案】C

【解析】

【分析】求導(dǎo)利用函數(shù)零點定義即可求得々-％=2,得到數(shù)列｛凡｝是公差為2的等差數(shù)

列.再利用引入輔助角公式對g(x)化簡，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合

題意進而求解即可.

【詳解】因為r(x)=f—a,用cosx+(a.+2)有唯一的零點，/'(X)為偶函數(shù)，

則/'⑼=0,可得%-4=2,*N*，所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

則4-4=2,所以數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列.

又g(x)=12x+^^sinKX-^cos7Lx=12x+sinn(x-^)=12(x-：)+sin?t(x-：)+2，

令/z(7)=12f+sin7if,則Zz(f)為奇函數(shù)，

因為〃'(r)=12+7icos兀r>0,所以〃(。在R上單調(diào)遞增，

由題意得[g(q)—2]+[g(O2)-2]+-+[g3)—2]=0,則

/z(q——)+"(a2——)+…+h(cig——)—0,

???數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，其中《<。2<…</，

則4一!<“2一，<…<。9一!，假設(shè)(4一!)+(%一!)>0，

66666

因為〃⑺=⑵+sinm是奇函數(shù)且〃⑺在R上單調(diào)遞增，則//(%--)在R上單調(diào)遞增，

6

所以(q—)>一(%—)n〃(q—)>一〃(火—)=—)+力(。9—)〉。，

666666

:（“1一二）+（“9—"7）=伍2—二）+（。8—二）=（〃3—二）十（%—7）

646666

：?h（%）+/z（〃2）T---卜人（。9）>0,與已知矛盾，故不成立;

666

假設(shè)（4—）+（q）—）<0,同理可得以q—）+h（a2—）4---J-h（a9—）<0,與己知

66666

矛盾，故不成立；

綜上，（4—q）+（%—%）=0=q+為=-=%=—,

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解決關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)的解析式和性質(zhì)得到數(shù)列

的通項或遞推公式.

1.利用具體函數(shù)的解析式得到遞推關(guān)系.

2.利用抽象函數(shù)的性質(zhì)得到遞推關(guān)系.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生，通過

測驗判斷其數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀，得到了如下列聯(lián)表:

數(shù)學(xué)成績

學(xué)校合計（單位：人）

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校331043

乙校38745

合計（單位：人）711788

n(ad-bc)~

已知%2=，？（力2>4）=。，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到

(a+Z?)(c+d)(a+c)(O+")

a0.10.050.010.0050.001

%a2.7063.8416.6357.87910.828

則下列說法正確的是（）.

A.根據(jù)小概率。=0.1的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異

B.根據(jù)小概率2=0.1的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概率

不超過0.1

C.若將表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，根據(jù)小概率。=0.1的獨立性檢驗，兩校的數(shù)

學(xué)成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概率不超過0.1

D.若將表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來10倍，根據(jù)小概率a=0.001的獨立性檢驗，兩校的

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)獨立性檢驗的基本思想和計算出的力2的觀測值人，逐項進行分析即可求解.

【詳解】由題意可知/=88x（33x71Ox38）一°0§37<2706，

43x45x71x17

所以根據(jù)小概率c=0.1的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異，故選項A正確;

選項B錯誤；

若將表中所有所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，

則2_880x(330x70-100x380)2

Z—430x450x710x170?8.365>7.879-

所以根據(jù)小概率。=0.1的獨立性檢驗，兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異，該推斷犯錯誤的概

率不超過0.1,故選項C正確；

若將表中所有所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，

則7?=880x（33-0（）八380）。&365<10828，所以根據(jù)小概率a=0.001的獨

430x450x710x170

立性檢驗，兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率沒有差異，故選項D正確，

故選：ACD.

10.科學(xué)研究已經(jīng)證實：人的智力、情緒和體力分別以33天、28天和23天為周期，均可

按y=sincox{co>0）進行變化.記智力曲線為/,情緒曲線為E,體力曲線為P,則（）

A.第35天時情緒曲線E處于最高點

B.第33天到第42天時，智力曲線/與情緒曲線￡不相交

C.第46天到第50天時，體力曲線尸處于上升期

D.體力曲線P關(guān)于點（320,0）對稱

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用/(x)=sina>[X,g(x)=sin牡x,

/z(x)=sin電x,根據(jù)周期求出對應(yīng)的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷ACD,對

于B,設(shè)尸(x)=/(x)—g(x),利用零點存在定理可判斷.

【詳解】設(shè)人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用/(x)=singx,g(x)=sin0/,

/z(x)=sincoix,

2兀27i兀2兀

所以@=—，a)=—=—，6zx=—.

1332?2814323

jr57r(7C)

A項：第35天時，g(35)=sin—x35=sin—=sin—+2兀|=1,

142、2J

故E1處于最高點，A正確；

27r7T

B項：設(shè)廠(x)=/(x)—8(工)=5也有工一sinqx,

331T517T67T

因為f(33)=sin2兀一sin^^-u-sin/cO,/(42)=5詁-^-5^3兀=5m石＞0,

故利用零點存在定理可得存在面?33,42),使得/(%)=0,

故此時智力曲線/與情緒曲線￡相交，B錯誤；

C項：因為xe(46,50),所以,龍《4兀,

1QQTTQTT27r

因為詈<T，所以根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時〃(“)=sin或》單調(diào)遞增，

故處于上升期，C正確；

D項：因為〃(32O)=sin等#0,所以，體力曲線P不關(guān)于點(320,0)對稱，D錯.

故選：AC.

11.已知異面直線。與6所成角為6()，平面a與平面￡的夾角為80,直線〃與平面a所

成的角為2()，點P為平面a、/外一定點，則下列結(jié)論正確的是()

A.過點尸且與直線。、b所成角都是6()的直線有4條

B.過點P且與平面a、/所成角都是30的直線有4條

C.過點P且與平面a、￡所成角都是40的直線有3條

D.過點P與平面a成60角，且與直線a成60的直線有3條

【答案】BC

【解析】

1of)Q0

【分析】根據(jù)選項60=",在利用圖形，可知A有3條；根據(jù)30<—=40,

22

180—80-inttr80.?180—80-Th-c

30<--------=50,可知B有4條；根據(jù)---=40,40<---------=50口『知C

222

有3條；做以P為頂點，且與圓錐中軸線夾角為30，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.

【詳解】對于A選項，因為異面直線。與直線b所成角為6()，

在空間中的點P作直線a'、b',使得a'〃a,b'Hb，設(shè)直線a'、//確定平面/,如下圖所

示：

因為直線。、所成角為60，則直線。'、"所成角為6()，

在直線a'、//上分別取點A、B,使得NAPB=120，

則在平面/內(nèi)NAP3的角平分線所在直線4與直線"、所成角均為6()，

過點P在平面/外能作兩條直線4、4使得這兩條直線與直線"、"所成角均為60，

綜上所述，過點尸且與直線“、b所成角都是60的直線有3條，A錯；

對于BC選項，因為平面a與平面￡的夾角為80，

則過點P與平面a、/所成角都是號=40和理支>=50的直線各有一條加、〃,

若過點P與平面a、￡所成角都是30，則在"?、〃的兩側(cè)各有一條，

所以共2x2=4條，故B正確，

若過點P且與平面a、/所成角都是40,其中一條直線為直線〃?，在直線"的兩側(cè)各有

一條，

所以共3條，C對；

對于D選項，過點P作與平面a成6()角的直線，

形成以P為頂點，與圓錐中軸線夾角為30，且底面在。上的圓錐的母線，

設(shè)所求直線與a的交點為。，不妨假設(shè)尸在。上，設(shè)直線。與a的交點為Z,

設(shè)點P在底面的射影點為點。，直線Z。交圓錐底面圓于2、。2兩點，

易知/QPQ=60,又因為PQ=PQ2,則為等邊三角形，

所以，NPQ|Q2=NQ1PQ2=60，

因為PO_La,則直線〃與平面a所成角為/PZO=20，

則NZP。=NPQ|Q-/PZO=60-20=40,

故NZPQ?=乙ZPQ、+NQiPQ2=40+60=100,

當(dāng)點。位于點Qi時，NZP。取得最小值40,

當(dāng)點。位于點。2時，NZPQ取得最大值1（）（）,

所以40<ZZPQ<100,故能作出兩條滿足條件的直線，故D錯誤.

故選：BC.

【點睛】方法點睛：該題考查立體幾何綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于角度的方法有：

（1）異面直線所成角：平移異面直線至有交點，則異面直線所成角即為平移后相交直線所

成角；

（2）線面角：過線上一點做面的垂線，連接垂足及線與面的交點形成線段，則線與該線段

所成角即為線面角；

（3）面面角：過面面交線上一點在兩個面中分別做交線的垂線，則兩垂線的夾角即為面面

角.

12.已知數(shù)列{4},{2}滿足q=2,4=<，a?+I=bn+—,〃eN*，

a

2n"n

則下列選項正確的有（）

A&+幺=1Z_5

B.q0G+-54OO,^!00

-b2b.4

449

D，q（x）—"100<—

C.200<40G?4Go<

【答案】ACD

【解析】

【分析】代入數(shù)據(jù)可計算出臺+曰，可判斷A選項；推導(dǎo)出+也用=《優(yōu)+2+-，

b2b3a也,

1(?！?”)],,17

進而推導(dǎo)出數(shù)列'二l為常數(shù)列,通過照=一。也可判斷B選項；推導(dǎo)出

[。也14

11(1111

0＜-，結(jié)合4OO4OO=+——+2x99+--—+—-—+…+—^以及不等

anbn41499&9?98^98”2打

式的性質(zhì)可判斷C選項；推導(dǎo)出數(shù)列〈色邙J-＞為常數(shù)列，結(jié)合C選項可判斷D選項.

a?h?

【詳解】己知數(shù)列{a“},{bn}滿足q=2,4=；，。"+1=2+%=&"+：，HGN,.

2°”,n

,111,,1

對于A選項，4=4+[=5+5=1，4=4+而=2+2=4,

,1,.,1,15

4=4+—=4+1=5c,仇=。,+—=1+—=一,

32

a2b244

a9a.1517

所以,b2電一4。一4,A對?：

4

對于B選項，a“+[b“+i=hn+—4+]=a也+2+=（。也;一）一

b

I。"八nJa,h,anb?

,1,1

將等式a”+i=d+一與等式a+i=4+不相加可得

4b.

=%+〃+—廣（4,+“）+*=（凡+”1+次]

4用+%

1+

所以，（4*1+〃川）~=（4+2）~~7~=（"，，+〃，）-1+

Ianb?）Ianb?anbn

（凡+女）一+2a?b?+1）（tz?+b）an+lbn+l

anbna“b”

所以，_=（4+""）-即數(shù)列＜（""+?）'為常數(shù)列,

/+也用。也a,b.

z丫（2+1]

(a“+2『25

所以,

。也岫2x1T

2

251717

b

所以，a；+n+2a1tblt=—anbn,即a；+^=—anbn,故端》+%)=7Goo也3，B錯;

對于C選項，因為4+也用=岫,+2+422a也.4+2=4,

a?b?Va也

當(dāng)且僅當(dāng)a,2=1時，等號成立，所以，0＜一［＜!，

她4

。100400=9b99+2+=a98b98+2x2+

1111

==她+2乂99+++---+---

a2b2%仄

=\b^—

+2x99H------1-------F--+

a99b99a98b98a也2

111

200+-------1-------------F??

(11］、

所以，40040a=200++——+…+>200,

a99b99a98b98a2b2>

(111>I449

且4O(A)O=20°+--------------1---------------F???H------------<200+-x98=——,

。用9%8區(qū)8a2b2)42

449

因此，200＜%0G也伽＜2，C對;

貝吠七=|

對于D選項，因為#=——$=:i=&

%a+」_她+1??

.么b“

所以，詈=/=；＜1，則《00＜%)0,

00002-

,1,1

將等式a“+i=2+一與等式2+i=%+不相減可得

anbn

］、

…)+號(2-%)1+

ah,

所以,(%—斗+

所以，所以，=他一仇）即數(shù)列（氏一"/'為常數(shù)列,

%+也用。也［地

所以，（4—-）2=（?！?）2=（2一］=2,

aha也2x-4

2

所以，3一所以，_am=1>2x10V2=1572,

4OOAOO422

故4（冷—〃（N）<—15，D對.

IWl1VA7

故選；ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由遞推數(shù)列判斷數(shù)列不等式的正誤，本題注意到將題干中的

兩個的等式分別相加或相減，推導(dǎo)出數(shù)列!、］色邙均為常數(shù)列是解本

.也［a，，〉

1

題的關(guān)鍵，此外需要求出一廠的取值范圍，再結(jié)合不等式的基本求解，綜合性較強，有一

a也,

定的難度.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知隨機變量X~8（6,〃），y~N（〃,4），且p（yN4）=L,E（X）=E（y）,則夕=

【答案】|2

【解析】

【分析】由題意可得出E（X）=6p,七"）=4=4,由E（X）=E（y）,可求出〃的值.

【詳解】因為隨機變量X~8（6,夕），所以E（X）=6p,

y~7V（x/,o-2）,且P（Y24）=；,所以￡"）=4=4,

所以6〃=4,解得：P=g.

_2

故答案為：—

14.如圖，在_ABC中，BC=0C，N6AC=g，點。與點8分別在直線AC的兩側(cè),

且AO=OC=1,則8。的最大值是.

【答案】2+0

【解析】

TT

【分析】設(shè)AC=x,在一ABC中，由正弦定理得到NAC3=—，在..ACD中，設(shè)NAPC=。,

2

利用余弦定理和正弦定理分別得到f=2-2cos。和九sinNACD=sin。，然后在△3CO

中，利用余弦定理和輔助角公式即可求出結(jié)果.

【詳解】在一A5C中，設(shè)AC=x,則8C=Ji4C=&，由N84C=1及正弦定理，得

ACBC即一--=—匡—，解得sinNABC='，因為

sinAABCsinABACsinZABCsinZBAC2

ZABCe(O,n),所以Z/WC=3,則ZACB=

62

在，AC。中，設(shè)NADC=e，則由余弦定理可得AC?=A￡>2+CZ>2—2AZ).CDCOS，，

AHAC

即爐=2-2cos。，由正弦定理可得---------=-所以xsinNACD=sin"

sinZACDsin0

在4BCD中，由余弦定理可得BO?=BC*23+CD2-2BCCDcosNBCD，

即5。2=3》2+ZACD)=3/+1+2怎sinZACD

=3x2+1+2百sine=3（2-2cos￡）+l+26sin，=4^sin（e-m）+7<4^+7,

當(dāng)e=g+g=?時，BO得長度取得最大值，最大值為2+石，

236

故答案為：2+JL

15.已知直線=拋物線。：/=4），的焦點為F,過點F的直線交拋物線C于A,B

兩點，點B關(guān)于y軸對稱的點為P.若過點A,B的圓與直線/相切，且與直線交于點Q,

則當(dāng)。8=2P。時，直線AB的斜率為.

【答案】土走

3

【解析】

分析】根據(jù)題意設(shè)直線AB的方程為丁=履+1，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達定理即

可得到結(jié)果.

【詳解】如圖，設(shè)的中點為設(shè)A,8,M到直線/:y=T的距離分別為4,4“,％,

則由拋物線的定義可知：d”=；(氏+程)=；同回，故過點A,8且與直線/相切的圓

就是以A3為直徑的圓，

設(shè)y),B?,%)，則Q(X，%)，p(~x2>%)，

由QB=2PQ,可得々=—Xi,

設(shè)直線AB的方程為丁=履+1,代入f=4y中，

可得/一46一4=0，A=16/+16〉0，

=

X]+%2=4k,X|X2=-4,結(jié)合x2—3芯得T2k)=4'得k=±—?

16.已知函數(shù)/(%)=*'-以+a—e'(a>0),若有且僅有兩個整數(shù)％(i=1,2),滿足

/U)<0,則實數(shù)0的取值范圍為.

e2

【答案】-4—<?<i

2e2-l

【解析】

【分析】先對/(x)<0全分離，即xe—+l<L構(gòu)造新函數(shù)J+],求導(dǎo)

求單調(diào)性判斷最值點，若有且僅有兩個整數(shù)使得不等式成立，只需(大于/z(x)最小值點附

近的兩個整數(shù)處的函數(shù)值，且小于等于該整數(shù)處相鄰的整數(shù)點處函數(shù)值，列出不等式，解出

即可.

【詳解】解：若/、(％)=依。'一辦+。一爐<0,即a(xe"-x+l)ve",

因為a>0,所以xe'-x+l<H,即"f+lj,記/?(力="』+1,

故只需有且僅有兩個整數(shù)X.(/=1,2)使得〃(%)<,成立即可，

所以如J".一I二3r+l)=e'+：-2,

記F(x)=ev+x-2,所以Fz(%)=e*+1>0,

所以R(x)在R上單調(diào)遞增，

因為尸(0)=1—2=—1<0,F(l)=e-l>0,

所以使得尸(x())=0,即e*+x()-2=0,

在(TO,/)上/(x)<0,即"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

在(如+oo)上尸(x)>0,即〃(x)>0,單調(diào)遞增,所以7z(x)有最小值人(占)，

因為毛e(0,1),且//(0)=1,〃⑴=1,

,/,、—e1+1+1，/2e-—2+111

/?(-1)==2e-l,/?(2)==2--r>而o2e-l>o2--

若使：>〃(》)有且僅有兩個整數(shù)為。=1,2),

1］2

只需2--7N—>1即可，解得一^e—<a<l.

e2a2e2-l

2

故答案為：<67<1

2e2-l

【點睛】方法點睛：該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于不等式成立問題的方

法有：

(1)對不等式進行全分離，使分母較簡單或容易判斷正負，以便少分類討論；

(2)構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性，判斷極值點，在草稿紙上畫出草圖；

(3)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立不等式，解出即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知函數(shù)/(x)=J5sin［s+：］?>0)在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)函數(shù)，且

恒成立.

（1）求。的值；

（2）求尸⑴+尸（2）+尸⑶+L+尸（2023）的值.

7T

【答案】（1）3-

4

（2）2023

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可；

（2）結(jié)合⑴得/2（力=1+5也5%,進而根據(jù)周期性求解即可.

【小問1詳解】

兀兀兀7T

解：令f=--,由XW[0,1]得，=69X-I---￡—--,

44144_

因為函數(shù)/（x）=3sin0>x+；）（0>>0）在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù)，

所以，函數(shù)y=&sint在區(qū)間；上是單調(diào)函數(shù)，

_44_

7171兀兀

所以6yH—<—，解得GK—，即0<69〈一

4244

因為⑴恒成立，

所以，函數(shù)〃x）,wx=/⑴，即°+：=m+2E，ZeZ,解得3=：+2E/eZ.

7T

所以，?=-

4

【小問2詳解】

解：由⑴知/（x）=0sin

/2（%）=2sin2^x+^=l-cos=l-cos[^x+^=l+sin]x,

T=a=4

所以，函數(shù)尸（力的最小正周期為‘一二一，

2

JT37T

所以，.尸⑴+.尸（2）+/⑶+/2（4）=4+sin]+sin兀+sin^+sin2兀=4,

所以，/2(l)+/2(2)+/2(3)+L+/(2023)=505><4+尸(1)+/(2)+嚴⑶=2023

18.如圖，直四棱柱ABC?！狝4Goi的底面為正方形，p,。分別是上、下底面的中心,

E是A3的中點，AB=kAA,.

（1）當(dāng)攵=夜時，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）當(dāng)k取何值時，O在平面內(nèi)的射影恰好為,PBC的重心.

【答案】（1）逅

3

⑵k=6

【解析】

【分析】（1）當(dāng)左=近時，求直線B4方向向量與平面PBC的法向量，求兩向量的夾角

余弦，可得直線Q4與平面P8C所成角的正弦值；

（2）設(shè)一PBC的重心為G,由已知可得。G與平面PBC法向量平行，列方程求左值.

【小問1詳解】

因為。A_LDC,DA±DD、,DC±DD、,

所以以點。為原點，以D4,DC,為X，y，Z軸正方向建立空間直角坐標系,

設(shè)朋=2,則AB=AD=2左，

所以8（2匕2￡0）,C（0,2Z,0）,尸化￡2）,E（2k,左,0）,外（2左,0,2）,

所以A￡=（O,Z,-2）,CB=（2^0,0）,PB=（k,k,-2）,

設(shè)平面PBC的法向量為n=（x,y,z）,

n-CB=0'2kx=0

則所以＜

n-PB=0kx+ky-2z=0

k

取y=1,則x=0,z=—,

2

所以〃=（o,l,為平面PBC的一個法向量,

當(dāng)人=拒時,為平面P8C的一個法向量,

又P（6血,2）,A（2A/2,0,0）,

所以PA=(夜，-逝,-21

&\PAn-2V2V6

所以8S"〃"國TEf一3

設(shè)直線R4與平面PBC所成角為6,則Sin。

3

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為邁；

3

【小問2詳解】

設(shè)jPBC的重心為G,取線段BC的中點為產(chǎn)，

則尸(&,22,0),尸(匕女,2),

所以O(shè)P=(0,0,2),PF=(O,k,-2)

所以O(shè)G=OP+PG=OP+2PF=(O,2Z,21,

3I33)

由(1)知〃=(0,1,：］為平面。8。的一個法向量,

因為0在平面PBC內(nèi)的射影恰好為_PBC的重心，

2,2

—K—

所以O(shè)GHn，所以~~=*所以％=V2?

2

c2_o2

19.已知各項均不為零的數(shù)列｛q,｝滿足4=1,其前”項和記為S,，且口一口=2"，

nGN*，n>2f數(shù)列也｝滿足.

（1）求。2，“3，S]（）2；

（2）已知等式?。?43對1?后《〃，幺〃eN*成立，請用該結(jié)論求數(shù)列｛aC｝,k=l,

2,...,〃的前“項和

【答案】（1）4=6,%=4Bo?=10507

（2）7；=（2〃+2）2"+〃-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得S“+S,i=2"，分別將〃=2和"=3代入計算即可得

4=6,4=4,再根據(jù)S“一S,-=%即可得+%=4〃+2,利用分組求和計算即可得

S102=10507；

7,H=1

（2）由（1）可得d=《，.0,根據(jù)小并利用二項式定理，由二項式系數(shù)

4n+2,n>2

性質(zhì)計算即可得（=（〃+1）2"”+〃-2.

【小問1詳解】

22

由=2/可得S2$=2na?=2n（S?-Sn_t）,n>2；

an

又數(shù)列｛為｝各項均不為零，所以S“+S,i=2/；

當(dāng)〃=2時fS?+S]=4+a?+4=8,由q=1可得a?—6；

當(dāng)〃=3時，邑+邑=2（4+4）+a?=18,可得%=4；

2

由S.+S,i=2/可得Sn+1+S“=2（〃+1），

兩式相減可得可+i+a“=4〃+2,n>2

所以5曲=q+4+（4+包）+…+（%+4oo）+（4oi+4o2）

=7+4(3+5+…+101)+2x50=10507,

即可得Wo?=10507.

【小問2詳解】

'7,n=l

由(1)可得仇=<

4n+2,n>2

所以7；=6c+HC+…+2C：

=7C,+4(2C；+3C：+…+nC：)+2(C：+C：+??.+(：：)

=7〃+4〃?T+C"…+C>；)+2?+C：+C：+C：+…+C：-CY)

=7〃+4M2"T-1)+