中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件教學(xué)案練習(xí)第34講銳角三角函數(shù)

陜西省數(shù)學(xué)第七章圖形的變化第34講銳角三角函數(shù)和解直角三角形要點(diǎn)梳理

1．銳角三角函數(shù)的意義，Rt△ABC中，設(shè)∠C＝90°，∠α為Rt△ABC的一個(gè)銳角，則：

∠α的正弦sinα＝__∠?的對邊斜邊__；

∠α的余弦cosα＝__∠?的鄰邊斜邊__；

∠α的正切tanα＝__∠?的對邊∠?的鄰邊__．

要點(diǎn)梳理

2．30°，45°，60°的三角函數(shù)值，如下表：

正弦

余弦

正切

30°

__12__

__32__

__33__

45°

__22__

__22__

__1__

60°

__32__

__12__

__3__

要點(diǎn)梳理

3．同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

sin2α＋cos2α＝__1__；

tanα＝__sinαcosα__．

互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式：(?為銳角)

sin(90°－?)＝__cosα__；

cos(90°－?)＝__sinα__．

函數(shù)的增減性：(0°＜?＜90°)

(1)sinα，tanα的值都隨?__增大而增大__；

(2)cosα隨?__增大而減小__．

要點(diǎn)梳理

4．解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用：

解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．

直角三角形中的邊角關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，

∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則：

(1)邊與邊的關(guān)系：__a2＋b2＝c2__；

(2)角與角的關(guān)系：__∠A＋∠B＝90°__；

(3)邊與角的關(guān)系：

__sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba__．

要點(diǎn)梳理

5．直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，它經(jīng)常涉及測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據(jù)題意明白其中的含義才能正確解題．(1)鉛垂線：重力線方向的直線；要點(diǎn)梳理

(2)水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點(diǎn)確定的直線我們認(rèn)為是水平線；

(3)仰角：向上看時(shí)，視線與水平線的夾角；

(4)俯角：向下看時(shí)，視線與水平線的夾角；

(5)坡角：坡面與水平面的夾角；

要點(diǎn)梳理

(6)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(或坡比)，一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示坡的水平寬度，用i表示坡度，即i＝hl＝tanα，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；

要點(diǎn)梳理

(7)方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的銳角叫做方向角．注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東．轉(zhuǎn)化思想(1)在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問題，一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問題，這樣就把新知識(求銳角三角函數(shù)值)轉(zhuǎn)化為舊知識(求直角三角形的邊長)，因此不可防止地用到勾股定理．假設(shè)原題沒有圖形，可以畫出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類型(直角邊還是斜邊)，再運(yùn)用定義求解；也可以直接通過字母來判斷邊的位置和類型，即∠A的對邊為BC，∠B的對邊為AC，∠C的對邊為AB.(2)在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，常見的方法是作高，通過作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識解決問題．注意在畫圖過程中考慮一定要周到，不可遺漏某一種情況．方法技巧將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決．解題時(shí)可設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解，從要求的量所在的直角三角形分析，解之，假設(shè)條件缺乏，轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；假設(shè)條件仍缺乏，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部條件掛上鉤，然后層層返回．(2021·陜西)如圖，小明想用所學(xué)的知識來測量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東65°方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東45°方向(點(diǎn)A，B，C在同一水平面上)．請你利用小明測得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離(結(jié)果精確到1米)．(參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445)銳角三角函數(shù)的定義

【例1】

(2014·武漢)如圖，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半徑為r，

△PCD的周長等于3r，則tan∠APB的值是(

)

A.51213

B.125

C.3513

D.2313

【點(diǎn)評】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系．

B1．(2021·蘭州)△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，如果a2＋b2＝c2，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．a(chǎn)tanA＝bD．ctanB＝bA銳角三角函數(shù)的計(jì)算【例2】

(1)(2013·菏澤)計(jì)算：

2－1－3tan30°＋(2－1)0＋12＋cos60°.

(2)(2014·攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B滿足

|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝____．

75°

【點(diǎn)評】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對值、乘方、開方、二次根式相結(jié)合．準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的關(guān)鍵，所以必須熟記．2．(2013·孝感)式子

2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(

)

A．23－2

B．0

C．23

D．2

B解直角三角形

【例3】

(2012·安徽)如圖，在△ABC中，∠A＝30°，

∠B＝45°，AC＝23，求AB的長．

【點(diǎn)評】將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，注意盡量不要破壞所給條件．3．(2014·寧夏)在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的長．

解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用

【例4】

(2014·廣安)為鄧小平誕辰110周年獻(xiàn)禮，廣安市政府對城市建設(shè)進(jìn)行了整改，如圖，已知斜坡AB長602米，坡角(即∠BAC)為45°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線CA的休閑平臺DE和一條新的斜坡BE(下面兩個(gè)小題結(jié)果都保留根號)．

(1)若修建的斜坡BE的坡比為3∶1，求休閑平臺DE的長是多少米？

(2)一座建筑物GH距離A點(diǎn)33米遠(yuǎn)(即AG＝33米)，小亮在D點(diǎn)測得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)B，C，A，G，H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C，A，G在同一條直線上，且HG⊥CG，問建筑物GH高為多少米？【點(diǎn)評】此題考查了坡度、坡角問題以及俯角、仰角的定義．要注意根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．4．(2021·邵陽)一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時(shí)的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．(溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)解：過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D.在Rt△ACD中，

∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，

∴CD＝12AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，

∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝CDsin∠CBD≈400.8＝

50(海里)，∴海警船到達(dá)事故船C處所需的時(shí)間大約為

50÷40＝54(小時(shí))

試題(2021·青島)如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22°時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45°時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的距離(B，F(xiàn)，C在一條直線上)．審題視角(1