2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題31三角形與新定義綜合問題（教師版含解析）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題31三角形與新定義綜合問題

典例剖析

__________

【例1】（2022?淮安區(qū)模擬）我們定義:等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)（ca〃）,

如圖1,在△ABC中，AB=AC,底角NB的鄰對(duì)記作這時(shí)點(diǎn)〃8=底邊■二匹.容

腰AB

易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下

列問題：

（1）can30°=_如_,若ca〃B=l,則NB=60°.

（2）如圖2,在△ABC中，AB=AC,ca〃B=旦,SAABC=48,求△ABC的周長.

A

BCB皿0

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)定義，要求或〃30。的值，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過

點(diǎn)4作AO_L8C,垂足為O,根據(jù)N8=30°,可得：BD=?AB,再利用等腰三角形

2

的三線合一性質(zhì)，求出8c即可解答，

根據(jù)定義，canB=l,可得底邊與腰相等，所以這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，從而得N

8=60°:

（2）根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過點(diǎn)A作AOL8C,垂足為。，

canB=^~,所以設(shè)8c=8x,AB=5x,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用SA

5

ABC=48,列出關(guān)于x的方程即可解答.

【解答】解：（1）如圖：過點(diǎn)A作垂足為。，

：.BC=2BD,

VZB=30°，

：.BD=ABcos300=返48,

2

:.BC=2BD=MAB,

.\can30°=幽=愿杷=愿,

ABAB

若canB=1,

???BC=AB,

U：AB=AC.

；?AB=BC=AC,

??.△ABC是等邊三角形，

：.ZB=60°,

故答案為：A/3,60；

（2）過點(diǎn)A作垂足為￡）,

?:canB=3,

5

.BC=8

??而后’

?,?設(shè)BC=8JGAB=5xt

\'AB=AC,AD±BC,

/.BD=—BC=4x

2f

.?.AO=JAB2_BD2=3X,

*.*&ABC=48,

：.^BC'AD=48,

2

,8x*3x=48,

2

??x2:=4,

：.x=±2（負(fù)值舍去），

?.x=2,

.*.AB=AC=10,BC=16,

，△ABC的周長為36,

答：△ABC的周長為36.

【例2】（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這

個(gè)三角形為"標(biāo)準(zhǔn)三角形”.如：在△ABC,CD_LAB于點(diǎn)。，AB^CD,則△ABC為標(biāo)

準(zhǔn)三角形.

【概念感知】

判斷：對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”.

（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形.J

（2）頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形.X

【概念理解】

若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長之比為1：1：料或赤：瓜

2.

【概念應(yīng)用】

（1）如圖，若AABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，于點(diǎn)。，AB=CD=\,求C4+CB的最小

值.

（2）若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的代倍，求最小角的正弦值.

【分析】【概念感知】（1）根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；

（2）作出圖形，分別對(duì)底邊上的高和腰上的高進(jìn)行討論，即可求解；

【概念理解】當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：8c=1：1：&；當(dāng)△4BC是等

腰三角形，AB=AC,AE1BC,AE=BC,?BE=x,則AE=2x,求出則A8：

AC：BC—y[s：A/5：2；

【概念應(yīng)用】（1）過C點(diǎn)作48的平行線，作4點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A'B,

當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC=A'B,此時(shí)AC+BC的值最小，求出48即可；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)AC=45AB時(shí)，AC=y/5CD,過點(diǎn)B作BE1AC交于E,

設(shè)CO=AB=m則由等積法求出BE=?。,用勾股定理分別求出AD=2a,

5

BD=a,BC=&a,則可求sin/8CE=^^-；②當(dāng)BC=?A8時(shí)，8C=F。C,過點(diǎn)

8作8EJ_AC交于E,設(shè)CO=A8=a,則8c=&a,由勾股定理分別求出8。=2小AD

=3"，AC=m”，再由等積法求出3E=H“，即可求sinNBCE=Y2.

1010

【解答】解：【概念感知】

(1)如圖1：等腰直角三角形ABC中，AB±AC,

：AB=AC,

等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形，

故答案為：J;

(2)如圖2,在等腰三角形ABC中，ZBAC=30°,AB=AC,CD1AB,

VZA=30°,

：.CD=^AC,

2

"：CA=AB,

：.CD=^AB,

2

.'.△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；

如圖3,在等腰三角形ABC中，/84C=30°,AB=AC,AELBC,

此時(shí)AE>BC,

...△A8C不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；

故答案為：X；

【概念理解】

如圖1,當(dāng)△A8C是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC=\：I：&；

如圖4,當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB=AC,AEVBC,AE=BC,

：.BE=EC=28C=LE,

22

設(shè)BE=x,則4E=2x,

在RtZXABE中，AB=y/5x,

：.AB：AC：BC=8A/5：2；

故答案為：i：i：，，或VB：2；

【概念應(yīng)用】

(1)如圖5,過C點(diǎn)作A8的平行線，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線的對(duì)稱點(diǎn)4,連接?8,

當(dāng)4、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC^A'B,此時(shí)AC+3C的值最小，

'：AB=^CD=\,

：.AA=2,

在Rtz^ABA'中，A'B=\j5,

."C+BC的最小值為代：

(2)在△ABC中，AB^CD,ABLCD,

：.AC>CD,BC>CD,

：.AC>AB,BC>AB,

.?.△ABC的最小角為NACB,

①如圖6,當(dāng)4C=/^AB時(shí)，AC^yfsCD,

過點(diǎn)8作BE_L4c交于E,

設(shè)CO=4B=a,則AC=V^a,

'：S^ABC=—XABXCD=^XACXBE,

22

；.BE=^-a,

5

在RtZXACD中，AD=2a,

：.BD=AD-AB^a,

在RtZ\8C￡>中，BC=&a,

在RtZ\BCE中，sin/BCE=Y^i；

10

②如圖7,當(dāng)8C=J^48時(shí)，8C=遙。C,

過點(diǎn)B作BELAC交于E,

設(shè)CD=AB=a,則BC=y/5a,

在RtZ^BC。中，BD=2a,

.\AD=3af

在RtZ\AC￡>中，AC=V10o,

\'S^ABC=—^ABXCD=^.XACXBE,

22

能嚕

在RtZXBCE中，sin/BCE=Y^?:

10

綜上所述：最小角的正弦值為亞或畫.

1010

E

圖4

圖3

【例3】（2020?五華區(qū)校級(jí)三模）愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，

發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖（1）、

圖（2）、圖（3）中，AM.BN是A8C的中線，AMLBN于點(diǎn)、P,像A8C這樣的三角形

均為，，中垂三角形，，.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

（1）如圖1,當(dāng)N相8=45°,c=4&時(shí)，。=4粕，b=4J5;如圖2,當(dāng)N

%B=30°,c=2時(shí)，c^+b2=20；

【歸納證明】

（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想/、廬、°?三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，

并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

（3）如圖4,在團(tuán)ABCD中，￡>F分別是A。、BC的三等分點(diǎn)，且A￡>=3AE,BC=3BF,

連接AF、BE、CE,且B￡_LCE于E,A尸與BE相交點(diǎn)G,AD=3娓,AB=3,求AF

的長.

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出出、PB,根據(jù)三角形中位線定理得到

MN//AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出PM、PN,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（2）連接MN,設(shè)PN=x,PM^y,利用勾股定理分別用x、y表示出a、b、c,得到答

案；

（3）取A8的中點(diǎn)H,連接并延長交D4的延長線于點(diǎn)P,證明△48F為“中垂三

角形”，根據(jù)（2）中結(jié)論計(jì)算即可.

【解答】解：（1）在RtZ\AP8中，NB4B=45°,c=J5,

則PA=PB=^-=-c=A,

2

VM.N分別為CB、CA的中點(diǎn),

:.MN=LAB=2近,MN//AB,

2

：.△APBsAMPN,

?.'PN一-_PM,-_-MN--_—1,

PBPAAB2

：.PM=PN=2,

BM=7PB2+PM2=2遙，

.,.a=2BM=4y[s，

同理：b—2AN—4y[5>

如圖2,連接MM

在RtZ\AP8中，ZB4B=3O°,c=2,

2

22

附—^c_pg—Vs,

:.PN=L,2知=返_,

22

.?.8M={PB2+PM2=9,A/V=7PA2+PN2=2/11,

?>b—yj13)

，/+廬=20,

故答案為：4>/5；4^/5；20；

(2)a2+h2=5c2,

理由如下：如圖3,連接A/N,

設(shè)PN=x,PM=y,

則PB=2PN=2x,RA=2PM=2y,

22=22

BW=^pB2+pH2=^4x2+y2,A/V=VPA+PNVx+4y'

1?a=2{4J+y2,〃=2,J+4y2,

，/+12=2()(7+)2),

VC-2=B42+PB2=4(x2+y2),

/.6Z2+Z?2=5C2；

(3)取AB的中點(diǎn)"，連接"/并延長交DA的延長線于點(diǎn)P,

,/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.△AHPsXBHF,

?AP_AH-

,?麗—麗，

；?AP=BF,

VAD=3AEfBC=3BF,4拉=3?,

:.AE=BF=娓,

：.PE=FC,

：.四邊形PFCE為平行四邊形，

VBE1CE,

:?BGIFH,

\'AE//BF,AE=BF,

；?AG=GF,

???△A3尸為“中垂三角形”，

產(chǎn)=58尸2,即3)+A產(chǎn)=5X(V5)2,

解得：AF=4.

圖3

【例4】(2020?岳麓區(qū)校級(jí)二模)定義：在△4BC中，若有兩條中線互相垂直，則稱aABC

為中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長，記作L,即L=AB2+BC2+CA2.

(1)如圖1,已知△ABC是中垂三角形，BD,AE分別是AC,BC邊上的中線，若AC

=BC,求證：△AOB是等腰直角三角形；

(2)如圖2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分別是邊BC,AC上的中線，且

于點(diǎn)O,試探究aABC的方周長L與AB?之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,已知拋物線y=^-ax22ax-2a與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交

164

于點(diǎn)B,經(jīng)過點(diǎn)B的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D,且BD=CD,

連接AC交y軸于點(diǎn)E.

①求證：^ABC是中垂三角形；

②若△ABC為直角三角形，求AABC的方周長乙的值.

【分析】(1)先利用''&45''證明484>g2\48￡然后根據(jù)△A8C是中垂三角形即可證

明；

(2)先判斷出AC=2A￡>,BC=2BE,再利用勾股定理，即可得出結(jié)論；

(3)①利用二次函數(shù)先求出點(diǎn)8、點(diǎn)4和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)4和點(diǎn)C的坐標(biāo)確

定E是AC的中點(diǎn)，最后根據(jù)中垂三角形的定義即可證明；

②先由點(diǎn)A(4,0),B(0,-2a),C(-4,2a)的坐標(biāo)得到履8=上“，kAc=--a,

24

kBC=-a,然后分情況討論即可求解；或結(jié)合射影定理分情況討論進(jìn)行求解即可.

【解答】(I)證明：AC=BC,BD,AE分別是AC,8c邊上的中線，

：.AD=BE,NBAD=NABE,

:.△BAD安l\kBE(SAS),

:.NABD=NBAE,

：.OA=OB.

?.?△ABC是中垂三角形，B.AC=BC,

：.ZAOB=90°,

...△AOB是等腰直角三角形.

(2)L=6AB2.

證明：如圖，連接

'：AE,8。分別是邊8C,AC上的中線，

：.AC^2AD,BC=2BE,

2

：.AC2=4AD2,Bd=4B爛,DE2=AAB2.

4

在RtZ\4O￡>中，402=042+002,

在RtZ\80E中，BE2=OB2+OE2,

：.AC2+BC2^4(AD2+BE2)

=4(O/A2+OD2+OB2+OE2)

=4(AB2+DE2')

—4kAEp-+—AB1')

4

=5AB2,

：.L=AB2+AC2+BC2=AB2+5AB2=6AB2.

(3)①證明：在y=-^-ax2」ax-2a中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-2”，

164

二點(diǎn)B(0,-2a).

y=0時(shí)，-^-ax2-4-ax-2a=0,

164

整理得3，-4x-32=0,

解得xi=-@(舍)，X2=4,

3

...點(diǎn)A(4,0).

,:BD=CD,

yc--yB=2a,

將y—2a代人-^-ax2^-ax~2a，

164

解得Xl=2g(舍)，X2=-4,

3

：.C(-4,2a).

由點(diǎn)A(4,0),C(-4,2a)可知，E是AC的中點(diǎn).

又,：BD=CD,

：.AD,8E都是△ABC的中線.

又,.?/AOB=90°,

：.ADLBE,

...△A8C是中垂三角形.

②解法一：由點(diǎn)A(4,0),B(0,-2a),C(-4,2a)可得kAB=—a,kAC=-—

24

kBC--a，

VZC<ZAOB,

???NCW900.

當(dāng)NABC=90°時(shí)，kAB?kBC=-h

解得a=(負(fù)值舍去)，

，點(diǎn)8(0,-2V2),

：.L=6AB2=6X24=\44.

當(dāng)N8AC=90°時(shí)，kAB-kcA=-L

解得4=2五(負(fù)值舍去)，

:.點(diǎn)B(0,-4折，

.,.L=6AB2=6X48=288.

綜上所述，△A8C的方周長L的值為144或288.

解法二：由點(diǎn)A(4,0),8(0,-2a),C(-4,2a),

?..點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

:.點(diǎn)D(-2,0),E(0,a).

'：ZC<ZAOB,

/.ZC^90°.

當(dāng)NA8C=90°時(shí)，在△48。中，由射影定理得。解=?！?),

.*.4?2=8,解得a=&(負(fù)值舍去)，

.?.點(diǎn)8(0,-2揚(yáng)，

￡=6482=6X24=144.

當(dāng)N3AC=90°時(shí)，在△ABE中，由射影定理得。/針二。^.。^,

.*.16=2/,解得。=2&(負(fù)值舍去)，

.,.點(diǎn)8(0,-4企)，

，L=64B2=6X48=288.

綜上所述，△A8C的方周長Z■的值為144或288.

【例5】(2020?安徽模擬)通過學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的

大小與兩條邊長的比值是一一對(duì)應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互

轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底

邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can),如圖(1)在AABC中，AB=AC,底角8的鄰對(duì)記

作ca〃B,這時(shí)*"8=婆"崖，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值也是一一對(duì)

腰AB

應(yīng)的.根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問題：

(1)的30。=_F_;

(2)如圖(2),已知在△ABC中，AB=AC,canB=^~,&ABC=24,求aABC的周長.

5

【分析】(1)過點(diǎn)A作AO,8c于點(diǎn)。，根據(jù)N8=30°,可得出80=返A(chǔ)8,結(jié)合等

腰三角形的性質(zhì)可得出BC=?AB,繼而得出canB-.

（2）過點(diǎn)A作AE，3c于點(diǎn)E,根據(jù)canB=&,設(shè)BC=8x,AB^5x,再由SDBC=24,

5

可得出X的值，繼而求出周長.

（1）過點(diǎn)4作AOLBC于點(diǎn)，

；NB=30°,

.?.cos/B=皿=亞，

AB2

J3

2

???△ABC是等腰三角形，

:.BC=2BD=MAB,

故can30°=此=百：

AB

（2）過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)￡

\'canB=^-,則可設(shè)3c=8x,AB=5x,

5

???AE=YAB2-BE2=3X,

'."SMBC-24,

.?.JL8CXAE=12?=24,

2

解得：x=&,

故AB=AC=5&，BC=8&,

從而可得△ABC的周長為18如.

滿分訓(xùn)練.

一.解答題（共20題）

1.（2022秋?如皋市期中）定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角

形”.

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③(只填寫序號(hào)).

①頂角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個(gè)角是30°的直角三角形.

(2)如圖1,在△ABC中，A8=AC,ZBAC^90Q,將△ABC沿邊AB所在的直線翻折

180°得到△ABD,延長D4到點(diǎn)E,連接BE.

①若BC=BE,求證：AABE是“倍角三角形”；

②點(diǎn)P在線段上，連接BP.若NC=30°,BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是

等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出NE的度數(shù).

【分析】(1)利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；

(2)①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求由等腰三角形的性質(zhì)

可得可得結(jié)論；

②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解.

【解答】(1)解：若頂角是30°的等腰三角形，

...兩個(gè)底角分別為75°,75°,

頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，

，三個(gè)角分別為45°,45°,90°,

?.?90°=2X45°,

.??等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一個(gè)是30°的直角三角形，

???另兩個(gè)角分別為60°,90°,

V6O0=2X30°,

，有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，

故答案為：②③;

(2)①證明：VAB=AC,

ZABC=ZACB,

?.?將△ABC沿邊A8所在的直線翻折180"得到△A3D,

Z.ZABC=ZABD,NACB=NADB,BC=BD,

1/BAE=2NADB,

,:BE=BC,

：.BD=BE,

:.NE=NADB,

:.NBAE=2NE,

??.△ABE是“倍角三角形”；

②解：由①可得NBAE=2NBD4=2NC=60°,

如圖，

若△48戶是等腰三角形，則△8PE是“倍角三角形”，

...△A8P是等邊三角形，

；.N4P8=60°,

：.ZBPE^\20Q,

???△BPE是“倍角三角形”，

NBEP=2NEBP或NPBE=2NBEP,

/.ZBEP=20°或40°；

若ABPE是等腰三角形，則△?18P是“倍角三角形”，

/.ZABP=—ZBAP=30°或N”8=LNBAE=30°或NA8P=2NAP8或/”8=2/

22

ABP,

：.ZAPB=90°或30°或40°或80°,

:,NBPE=90°或150°或140°或100°,

???△8PE是等腰三角形，

或15°或20°或40°,

綜上所述：N8PE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°.

2.(2022秋?義烏市校級(jí)月考)【概念認(rèn)識(shí)】如圖①所示，在/4BC中，若NABD=/DBE

=NEBC,貝IJ8。，BE叫做NABC的“三分線”，其中，8。是“鄰AB三分線“，BE是

“鄰8C三分線

【問題解決】(1)如圖②所示.在△ABC中.NA=80°,NABC=45°.若NABC的

三分線8。交AC于點(diǎn)。.求/BQC的度數(shù).

(2)如圖③所示，在△4BC中.BP,CP分別是NABC的鄰BC三分線和乙4cB的鄰

BC三分線，且/BPC=140°.求NA的度數(shù).

【延伸推廣】(3)在△ABC中，/ACD是△ABC的外角，NABC的三分線所在的直線與

NACQ的三分線所在的直線交于點(diǎn)P,若NA=〃?°(m>54),NABC=54°.求出NBPC

的度數(shù).(用含，〃的式子表示)

【分析】(1)分B￡>是鄰45的三分線和8。是鄰BC的三分線兩種情況解答即可；

(2)由N8PC=i40°,得NPBC+NPCB=40°,故A./ABC+>l/ACB=40°,可得/

33

ABC+ZACB=120°,從而NA=60°；

（3）分四種情況分別解答即可.

【解答】解：（1）當(dāng)8￡>是“鄰48三分線”時(shí)，/A8O=2/A8C=15°,

3

則N8DC=NA8D+/4=15°+80°=95°,

當(dāng)BD'是“鄰BC三分線”時(shí)，NABD'=2乙48c=30°,

3

則C=NABD'+NA=30°+80°=110°,

綜上所述，N8QC的度數(shù)為95°或110°；

（2）VZBPC=140°,

AZPBC+ZPCB=40°,

\'BP,CP分別是NA3C的鄰8c三分線和NAC3的鄰BC三分線，

：.ZPBC=—ZABC,ZPCB=—ZACB,

33

.?二/ABC+^NACB=40。,

33

ZABC+ZACB=120°,

乙4=60°；

(3)如圖：

VZA=mc,,NABC=54°,

ZACD=(w+54)0,

①當(dāng)BP是鄰48的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，

NPBC=2/4BC=36。,ZPCD=—ZACD^(2〃?+36)°,

333

/.ZBPC=ZPCD-ZPBC=^m°；

3

②當(dāng)BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，

NPBC=Z/ABC=36°,ZPCD=AZACD=(Xn+18)°,

333

/.ZBPC=ZPCD-ZPBC=(—in-18)°；

3

③當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，

ZPBC=—ZABC=\^°,NPCD=2/ACD=(2m+36)°,

333

/.ZBPC=ZPCD-ZPBC=(2m+18)°；

3

④當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，

/P8C=」N4BC=18°,ZPCD^—ZACD=(上〃?+18)",

333

AZBPC=ZPCD-ZPBC=—m°；

3

綜上所述，/BPC度數(shù)為2〃1或上S-18或2m+18或工〃?.

3333

A

3.(2022春?石嘴山校級(jí)期末)［問題情境］

我們知道：在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點(diǎn)A(xi,yi)和點(diǎn)B(必y2),若xi=x2,

則A8〃y軸，且線段AB的長度為|yi-*|；若yi="，則AB〃x軸，且線段AB的長度為

［拓展］

現(xiàn)在，若規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M(XI,yi)、N(X2,”)之間的折

線距離為N)=|xi-x2\+\yi-J2|.例如：圖中，點(diǎn)M(-1,1)與點(diǎn)N(l,-2).

之間的折線距離dCM,N)=|-I-1|+|1-(-2)|=2+3=5,

［應(yīng)用］

解決下列問題：

(1)已知點(diǎn)E(3,2),點(diǎn)F(l.-2),求d(E,F)的值；

(2)已知點(diǎn)E(3,1),H(-1,〃)，若d(E,H)=6,求"的值；

(3)已知點(diǎn)P(3,4),點(diǎn)。在y軸上，。為坐標(biāo)系原點(diǎn)，且△OPQ的面積是4.5,求d

(P，。)的值.

?--?--rr5r■r■r-r

???iiiii

?—?—ri—4一一r-r■r■r

???iiiii

?-一?--nr-B一r-n■r■i-一

???iiiii

?—?"?一rn-r~r■r-r■i-一

???iiiii

?■?一r-rr-r-r-r■r"i■-一

1)))A

rt\l

Lk-24-

1k-1?11

I--?--i-一r-^n■n■r-1—

i?iia-iii1

i--i--r-r-*"n■r■r-1--

iiiiiii1

i--i--r-r-^4一-—r-r■r■1-一

iii1

備用圖

【分析】(1)根據(jù)折線距離為N)=田-X2|+|yi-”|計(jì)算即可;

(2)根據(jù)折線距離為d(Af,N)=|xi-X2|+|yi-y2|,構(gòu)建方程求解即可;

(3)設(shè)Q(0,m),利用三角形的面積公式求出桁的值，再根據(jù)折線距離為d(M,N)

=|xi-X2|+|yi-計(jì)算即可求解.

【解答】解：(1)；點(diǎn)E(3,2),點(diǎn)尸(1,-2),

：.d(￡,尸)=|3-1|+|2-(-2)|=6；

(2)'：E(3,1),W(-1,n),d(￡,H)=6,

：.d(￡,H)=|3-(-1)|+|l-川=6,

解得：〃=-1或3；

由題意，-^-,|m|,2=4.5,

解得m—+3,

：.Q(0,3)或(0,-3),

當(dāng)。(0,3)時(shí)，d(P,。)=|3-01+14-3|=4,

當(dāng)。(0,-3)B't,d(P,Q)=|3-0|+|4-(-3)|=10,

：.d(尸，Q)=4或10.

4.(2022春?鎮(zhèn)江期末)定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱

這兩個(gè)角互為“開心角''，這個(gè)三角形叫做“開心三角形例如：在△ABC中，/4=70°,

NB=35°,則/A與NB互為“開心角”，AABC為“開心三角形”.

【理解】

(1)若△ABC為開心三角形，ZA=144°,則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為12°；

(2)若"BC為開心三角形，NA=70°,則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為35或

110。.

__?

3-

(3)已知/A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定/A的取

值范圍，并說明理由；

【應(yīng)用】

如圖，AO平分△ABC的內(nèi)角/54C,交BC于點(diǎn)E,C￡＞平分aABC的外角/BC凡延

長BA和。C交于點(diǎn)P,已知/尸=30°,若NBAE是開心AABE中的一個(gè)開心角，設(shè)/

BAE=Za,求Na的度數(shù).

【分析】（1）設(shè)最小角為a,由題意可得a+2a==36°,求出a即為所求；

（2）當(dāng)NA是“開心角”，則最小角為35°；當(dāng)NA不是“開心角”,設(shè)最小角為a,a+2a

（3）三角形另一個(gè)開心角是2NA,第三個(gè)內(nèi)角是180°-3ZA,再由NAW180°-3Z

A,可得/AW45°；

【應(yīng)用】由題意可得/租C=180°-2Za,設(shè)/PC4=x,則x=2Na-30°,NAEB=

240°-3Za,ZABE=2Za-60°,分兩種情況討論：①當(dāng)N8AE與乙48E互為開心角

時(shí)，或求得Na=40°:②當(dāng)NBAE與NAE3互為

2

開心角，或/8AE=2NAE8（舍），求得Na=48°.

2

【解答】解：（I）設(shè)最小角為a,

：△ABC為開心三角形，ZA=144°,

；.a+2a=180°-144°=36°,

；.a=12°,

故答案為：12；

（2）當(dāng)/A是“開心角”，則最小角為35°；

當(dāng)NA不是“開心角”，設(shè)最小角為a,

.,.a+2a=180°-70°=110°,

?a—(11°)°

??(X—\'一)f

3

故答案為：35或1竺

3

（3）/A是開心△48C中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角,

...另一個(gè)開心角是2NA,

第三個(gè)內(nèi)角是180°-3/4

〈NA是最小內(nèi)角，

，NAW1800-3NA,

???NAW450；

【應(yīng)用】

9：AD平分△ABC的內(nèi)角NBAC,

：.ZCAE=ZBAE=Za,

：.ZPAC=lS00-2Za,

設(shè)NPC4=x,

???CQ平分△ABC的外角/DCF,

:?/BCD=/CDF=x,

???NAC8=180°-2x,

VZP=30°,

/.180°-2Za+x=150°,

Ax=2Za-30°,

AZA￡B=Za+180°-2x=240°-3Za,

AZABE=\S00-Na-(240°-3Za)=2Za-60°,

①當(dāng)NBAE與NA8E互為開心角時(shí)，

NBAEQ/ABE或/BAE=2/ABE,

2

/.Za=A(2Za-60°)或Na=2(2Za-60°),

2

解得Na=40°；

②當(dāng)NBAE與NAEB互為開心角,

NBAE=Z/AEB或/BAE=2NAEB,

2

NAEB=ZEAC+ZACE,ZEAC=ABAE,

；.NBAE=2NAEB舍去,

：.Za=—(2400-3Za),

2

解得/a=48°,

綜上所述：40°或48°.

5.(2022春?崇川區(qū)期末)定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿足a+2B=100°,那么我

們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，NACB=80°,80平分NA8C.

求證：△AB。為“奇妙三角形”

(2)若△ABC為“奇妙三角形"，且NC=80°.求證：△ABC是直角三角形;

(3)如圖2,/XABC中，BO平分乙4BC,若為“奇妙三角形"，且乙4=40°,

直接寫出/C的度數(shù).

【分析】⑴根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，NA+2/A8D=100°,即證明

△ABD為“奇妙三角形

(2)由三角形的內(nèi)角和知，A+NB=100°,由△A8C為“奇妙三角形”得出/C+2/8

=100°或^^+2乙4=100°兩種情況，計(jì)算得/8=90°或乙4=90°,從而證明△ABC

是直角三角形.

(3)由三角形的內(nèi)角和知，ZADB+ZABD=140,由△ABC為“奇妙三角形得出乙4+2

ZABD=100°或2NA+NABO=1(X)°兩種情況，求得NC=80°或100°.

【解答】(1)證明：。平分/A8C,

二ZABC=2ZABD.

在△ABC中，VZACB=80°,

.?.乙4+NA8C=l80°-ZACB=\S0°-80°=100°,

即/A+2NAB￡>=100°,

...△A8O為“奇妙三角形”.

(2)證明：在△ABC中，VZC=80",...NA+/B=100°,

:△ABC為“奇妙三角形”，.?./C+2NB=100°或NC+2/A=100°,

.'.ZB=10°或/A=10°,

當(dāng)N8=10°時(shí)，/A=90°,△48C是直角三角形.

當(dāng)NA=10°時(shí)，N8=90°,△A8C是直角三角形.

由此證得，△ABC是直角三角形.

(3)解：平分NABC,

ZABC^2ZABD,

?；AABD為“奇妙三角形”，

/.ZA+2ZABD=100°或2NA+NA8Z)=100°,

①當(dāng)/A+2NAB￡>=100°時(shí)，NABD=(100°-40°)+2=30°,

AZABC=2ZABD=60°,

；./C=80°；

②當(dāng)2NA+/ABO=100°時(shí)，ZABD=1000-2ZA=20°,

NA8C=2NABO=40°,

.*.ZC=100°；

綜上得出：NC的度數(shù)為80°或100°.

6.(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考)定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線

段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”.如

圖1,△A8C中，點(diǎn)。是8c邊上一點(diǎn)，連接AD,AD2=BD-CD,則稱點(diǎn)。是AABC

中BC邊上的“好點(diǎn)”.

(1)如圖2,ZVIBC的頂點(diǎn)是4X3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫出(或在圖中直接描

出)AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)￡>；

(2)△ABC中，BC=7,tanB=—>tanC=1,點(diǎn)。是8C邊上的“好點(diǎn)”，求線段BO

4

的長；

(3)如圖3,ZiABC是。。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)”在AB上，連結(jié)C”并延長交。。于點(diǎn)

D.若點(diǎn)H是ABCD中CD邊上的“好點(diǎn)

①求證：O〃_LAB；

②若OH//BD,。。的半徑為r,且r=3?！?，求&旦的值.

DH

【分析】(1)直角三角形的“好點(diǎn)”是斜邊的中點(diǎn)，作斜邊上的高，垂足也為“好點(diǎn)”,

即可得答案；

(2)作4E_LBC,解斜△ABC,設(shè)B￡>=a,根據(jù)4)2=?！?4￡2=8。式。列方程求得;

(3)①由得，CH?HD=AH,BH,結(jié)合Bm=CH?HD,得證；

②先確定AD是直徑，然后求出AH、BH、BD、BH、CH,從而求出比值.

【解答】解：(I)如圖1,

cB

斜邊AB的中點(diǎn)D與斜邊AB上的高CO的垂足。均為A8邊長的“好點(diǎn)”.

(2)如圖2,

A

圖2

作AEJ_5c于E,

在Rt/XABE中，tanB=3^",

BE4

.?.設(shè)A￡=3a,BE=4a,

lanC=-^-=i,

CE1

:?CE=AE=3a,

.?.3a+4a=7,

???。=1,

；?AE=CE=3,BE=4,

：.AB=5,

設(shè)BD=x,

：.DE=\4-x\f

在RlZ\AOE中，由勾股定理得,

AIJr=DE1+AE1^(4-x)2+32,

?.?點(diǎn)。是8c邊上的“好點(diǎn)”，

：.AD2=BD'CD=X<1-x),

.*.x*(7-x)=(4-x)2+32.

??XI—5,X2——,

2

即BD=5或

2

（3）如圖3,

圖3

①證明：?.?點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”，

:.BH2=CH^HD,

■:NCAB=NCBD,ZACD^ZABD,

：.△ACHS&DBH,

?.?.C.H--B-H-,

AHDH

:.CH?HD=AH,BH,

：.AH=BH,

：.OH±AB^

②連接AD,

設(shè)OH=a,則0A—3a,

由①知，OHLAB,

又YOH//BD,

：.BD±AB,

：.ZABD=90°,

0是0。的直徑，

OA—OD=3〃，

在RlZXAOH中，由勾股定理得，

AH=2>/2a-

'：AH=BH=2V2a-OA=OD,

：.BD=2a,

在中，由勾股定理得，

^=7BH2+BD2=2V3a，

由BH2=CH-M得：（W^a）2=CH?（2?a），

4

?CH彥@/

,,麗=2畬a而，

7.(2021秋?如皋市期末)【了解概念】

定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運(yùn)用】

(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在△A8C中，AB=AC,。為的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB,

MC,若△ABC和△MBC均為半線三角形，且4力和分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半

線，求NAMC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若MZ)=旦，AM=1,直接寫出的長.

【分析】(1)根據(jù)半線三角形的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)過點(diǎn)A作ANJ_AM交MC于點(diǎn)N,可證明△M48絲△M4C,則所以三角

形M4V是等腰直角三角形，由此可解答；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上可知，MB=NC,AM=AN=1,在RtZ\MBC中，由勾股定理可得，

MB2+MC2^BC2,由此可得的長.

【解答】解：(1)ZVIBC是半線三角形，理由如下：

取8c得中點(diǎn)。，連接AO,

：A8=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),

：.AD±BC,

：48=AC,/8AC=120°,

.?.NB=NC=30°,

在RtZiABO中，ZB=30°,

：.AD=^AB,

2

.二△ABC是半線三角形.

(2)過點(diǎn)4作4MLAM交MC于點(diǎn)N,如圖,

為△M8C的8c邊的半線，

：.MD=—HC=BD=CD,

2

，NDBM=ZDMB,NDMC=NDCM,

：.ZBMC=90°,

同理/8AC=90°,

又；/M08=NA0C,

；.NMBA=/MC4,

,：ZMAN=ZBAC=1)^,

:.NMAB=4NAC.

'：AB=AC,

：./\MAB^/\NAC(ASA),

：.AM=AN,

又,：NMAN=90",

.?.N4WC=N4VM=45°.

(3)由題意可知，8c=2MD=3,

由(2)知也△MACCASA),

：.MB=NC,AM=AN=l,

:.MN=M，

在RtZ\M8C中，由勾股定理可得，MB2+MC2=BC2,

：.MB2+(如+MB)2=32,

解得，M8=2-亞(負(fù)值舍去).

2

故MB的值為2-返.

2

8.(2021秋?順義區(qū)期末)