2023學(xué)年四川省成都九校高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）

2.若不等式依+120對(duì)于一切恒成立，則。的最小值是（）

5-

A.0B.-2C.——D.-3

2

3.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公

里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程（單位：萬公里）的折線圖，以

下結(jié)論不正確的是（）

住，年份代用1-3分則對(duì)&年份2014-2011

A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)

C.2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上

D.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列

4.在A48c中，AB=2,AC=3,ZA=6O°,。為MBC的外心，若而=x而+y/,x,ye/?,則2x+3y=

()

.c543

A.2B.-C.—D.一

332

5.設(shè)集合4={-1,0,1,2},B={X|-2X2+5X+3>0},則()

A.(0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1}

6.正方體ABCO-4BCQ,々(i=l,2,…,12)是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面AGB平行的直線

有幾條()

7.已知復(fù)數(shù)2=——，則z的虛部為(

Z-1

8.已知P為圓C：(x—5)2+V=36上任意一點(diǎn)，A(-5,0),若線段PA的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)Q,則。點(diǎn)

的軌跡方程為()

7-76

——J=1

9.已知函數(shù)y=/(x)是定義在9上的奇函數(shù)，函數(shù)/(x)滿足f(x)=/(x+4)，且xe(0,1］時(shí)，/(x)=log2(x+l),

貝！)/(2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

kx,x>0

10.記/(x)=x-［幻其中㈤表示不大于x的最大整數(shù)g(x)=］八，若方程在/(x)=g(x)在［-5,5］有7個(gè)不

——，龍<0

同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)A的取值范圍()

■1nri1］rinrin

A.B.—C.D.

［65j(65j154j|_54J

11.若函數(shù)/(幻=/+公2+3%-9在x=—3時(shí)取得極值，貝！|。=()

A.2B.3C.4D.5

12.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的

大小是()

A.15°B.30°C.45°D.60°

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在A/RC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,4c,

若2cosA(歷osC+ccos8)=a=,AABC的面積為36，

貝!|A=,b+c-.

14.數(shù)列｛q｝滿足遞推公式a“+2—a”+a”+i，且4=生，生("9"生(磔=2020,則a；+a：+...+48成=,

15.函數(shù)/(x)=爐-xlnx的圖象在x=l處的切線方程為.

16.在AABC中，已知通.而+2麗?配=3瓦?麗，貝IIcosC的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(%)=|%+1|+21一同.

(1)設(shè)。=1,求不等式/(x)W7的解集；

(2)已知。>一1,且/(x)的最小值等于3,求實(shí)數(shù)"的值.

18.(12分)已知函數(shù)./■(x)=/nr-a(x-l),。為實(shí)數(shù)，且a>0.

(I)當(dāng)“=1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(D)求函數(shù)/(x)在區(qū)間H,e］上的值域(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

22

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：三+匯=1的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，P,Q為橢圓C上兩

43

點(diǎn)，圓0:x?+y2=/(，＞()).

(1)若PF_Lx軸，且滿足直線AP與圓0相切，求圓。的方程；

(2)若圓。的半徑為6,點(diǎn)P,Q滿足自求直線PQ被圓。截得弦長的最大值.

20.(12分)已知在多面體中，平面CZ)EE_L平面ABCD,且四邊形ECD尸為正方形，且。C〃A8,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點(diǎn)尸，。分別是砥，AD的中點(diǎn).

(1)求證：PQ//平面FECD；

(2)求平面AEF與平面PCO所成的銳二面角的余弦值.

22

21.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知圓C：(X—3『+產(chǎn)=1,橢圓E：5+斗=1(。＞〃＞0)的

a'b"

12

⑵設(shè)過點(diǎn)4的直線,與圓C相交于另一點(diǎn)M,與橢圓E相交于另一點(diǎn)M當(dāng)時(shí)，求直線，的方程.

x=1+——t

2

22.(10分)已知曲線。的極坐標(biāo)方程為。=4cos6,直線/的參數(shù)方程為a為參數(shù)）.

1

y--t

2

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線/的普通方程；

(2)已知點(diǎn)加(1,0),直線/與曲線。交于A、B兩點(diǎn),求—

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積.

【詳解】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：

11,4

2

則該四棱錐的體積為V=-SmABCD-PA=-x2xl=-.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論.

成立，等價(jià)于*-x-L對(duì)于一切xe

解：不等式x2+ax+lN0對(duì)一■切xG(O,成立,

2x

???y=-x-，在區(qū)間I。,：］上是增函數(shù)

x12」

,5

??-

2

，a的最小值為-2故答案為C.

2

考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題

3.D

【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解

【詳解】

選項(xiàng)A,8顯然正確；

對(duì)于C,2-9~16>0.8,選項(xiàng)C正確；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故。錯(cuò).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)，是基礎(chǔ)題

4.B

【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出X,y,即可求出2x+3y的值.

【詳解】

如圖所示過。做三角形三邊的垂線，垂足分別為。，E，F(xiàn),

過。分別做AB，AC的平行線NO,MO,

B

2222

百南局AB+AC-BC9+4+BC?后

由題知cos60=------------------------=----------------=>BC-v7?

2-AB-AC12

則外接圓半徑r=BC=叵

2-sin6003

因?yàn)樗?。=JA＜92一

又因?yàn)樗浴?

NOMO=60°,M=2n4W=_L,M0=AN=-,

333

由題可知AO=xAB+yAC=AM+AN,

土,AM2_AN_4

所以x=-----------....9

AB6AC9

所以2x+3y=g.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.

5.A

【解析】

解出集合3,利用交集的定義可求得集合AD8.

【詳解】

因?yàn)?=*卜2%2+5尤+3〉0}=卜疝2—5%一3＜0}=＜》一＜＜了＜3＞,又A={-1,0,1,2},所以AcB={0,l,2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

先找到與平面AG8平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.

【詳解】

考慮與平面AG8平行的平面《乙乙，平面兒《程，平面？E2R鳥小，

共有C+C+C=21，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.

7.A

【解析】

分子分母同乘分母的共朝復(fù)數(shù)即可.

【詳解】

2i2i(i+l)-2+2i,.

z=1=’.|一八=—「=1-1，故z的虛部為—1.

1-1(1-l)(i+l)-2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.

8.B

【解析】

如圖所示：連接3,根據(jù)垂直平分線知QA=QP,|。用=6<10,故軌跡為雙曲線，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：連接QA,根據(jù)垂直平分線知QA=QP,

故例|=||QC|T四|=|PC|=6<10,故軌跡為雙曲線，

22

2a=6,a=3,c—5)故b=4,故軌跡方程為——=1.

916

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

/(x)=/(x+4)說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.

【詳解】

由=/(X+4)知函數(shù)/(?的周期為4,又/(X)是奇函數(shù)，

/(2)=/(-2),又/(—2)=-/(2),.?./(2)=0,

.?./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).

10.D

【解析】

做出函數(shù)/(X),g(x)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X),g(x)的圖象在［-5,5］有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)/(X),g(x)在［-5,0］上

有3個(gè)交點(diǎn)，則在［0,5］上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

方程/(X)=g(x)在［-5,0］上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則在［0,5］上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)直線y=履經(jīng)過(4,1)時(shí)，k=；；

當(dāng)直線y=船經(jīng)過(5,1)時(shí)，Z=

可知當(dāng),4人＜!時(shí)，直線了=履與/(X)的圖象在［0,5］上有4個(gè)交點(diǎn)，

54

即方程/(%)=g(x),在［0,5］上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想，屬于中檔題.

11.D

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=—3時(shí)取得極值，得至！1/'(一3)=0,即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?(x)=\+a)c+3x-9,所以/'(x)=3f+2ax+3,

又函數(shù)/(x)=x3+ai2+3x_9在x=-3時(shí)取得極值，

所以八-3)=27-6a+3=0,解得a=5.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.

12.D

【解析】

設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式，進(jìn)而求得/=2R即可得圓錐軸截面底角的大

小.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為凡則有兀R?+兀Rl=TVR2+2兀R］，解得1=2R，所以圓錐軸截面底角的余弦值是

D1

;，底角大小為60°.

I2

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosAsinA=sinA,從而求得

cosA=-,結(jié)合范圍Ae(O,兀),即可得到答案

(2)運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案

【詳解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA(sin3cosC+sinCcos5)=sinA,可得：2cosAsin(B+C)=sinA

解得2cosAsinA=sinA,BPcosA=—

2

,.1Ae(0,叫,

71

A=—

3

⑵由面積公式可得：3^=gbcsinA=*bc，即。c=12

由余弦定理可得：13=〃+。2-2/>ccosA

即有13=(/?+C)2—3/?c=(人+C)2—36

解得Hc=7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案

14.2020

【解析】

可對(duì)an+i=an+2-an左右兩端同乘以為川得《=all+lan+2-anall+l,

依次寫出a；=anan+l-an_xan,=an_ta?-an_2an_x，…,a}=02031ata?,累加可得W+a；+…+a：=anan^-axa2,再

由4=%得a；+G+吊+…+/=a?all+l,代入〃=2019即可求解

【詳解】

an+\~an+2~an左右兩端同乘以4+1有a[=4+14+2-anan+\>從而%=a“a”+「~a?-2an-l>…，

aaaa

a；=23-\!,將以上式子累加得W+d+…+。；=a??n+i-q%-

由q=。2得a；+d+4；+…+a；=a“a"+i.令”=2019,有+...+=?2()19-a2()2O=2020.

故答案為：2020

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

15.x-j=0.

【解析】

先將x=l代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步求出切線斜率，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

【詳解】

由題意得f'(x)=2x-lnx-l,//(l)=1,/(1)=1.

故切線方程為y-l=xT,即x-y=0.

故答案為：x-j=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點(diǎn)滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

10.-----

3

【解析】

分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：bccosA+2tzccosB=3?Z?cosC,然后再結(jié)合余弦定理整理為

/+2〃=3c2,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.

詳解：已知福.蔗+2麗.阮=3C??麗，可得歷cosA+2accos8=3abcosC,將角A,B,C的余弦定理代入得

221萬

"+2〃=3c2,由「a2+b2-c2+3、拒,當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)，故cosC的最小值為衛(wèi).

lablab3J

點(diǎn)睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化通+2反限配=3d函是解題關(guān)

鍵.屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

-c8'

17.(1)—2,—(2)a=2

【解析】

(1)把/(x)去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論.

(2)把/(X)去絕對(duì)值寫成分段函數(shù)，畫出/(X)的圖像，找出/(力疝，利用條件求得a的值.

【詳解】

(1)a=l時(shí)，/(x)=|x+l|+2|x-l|.

當(dāng)x<-l時(shí)，/(x)W7即為-3X+1W7,解得-2Wx<—l.

當(dāng)一IWXWI時(shí)，-X+3W7,解得一IWXWI.

Q

當(dāng)了>1時(shí)，3x—1<7,解得l<x<一.

3

~Q-

綜上，〃x)W7的解集為-2,-.

—3尤+2Q—l(x<—1)

(2)=,-x+2a+l(-l<x<a),

3x-2a+l(xNa)

由y=/(6的圖象知，

=￡Z=6Z+1=3>6Z=2

/Wmin.<()->--

【點(diǎn)睛】

本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法及含絕對(duì)值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題

18.(I)極大值0,沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間(0,1),遞減區(qū)間(1,+8),(II)見解析

【解析】

(I)由f'(x)=：-l=?,令/'(x)>0,得增區(qū)間為(0,1),令/'(x)<o,得減區(qū)間為(1,+8),所以有極大值

/(1)=0,無極小值；

(II)由尸(幻=！-。=匕竺，分0<w,L和！<〃<1三種情況，考慮函數(shù)/(X)在區(qū)間［l,e］上的值域，即可

xxee

得到本題答案.

【詳解】

(/)當(dāng)a=l時(shí)，f^-lnx-x+l,//(x)=--l=^—

當(dāng)0<x<l時(shí)，,/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>l時(shí)，Ax)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得極大值/⑴=0,沒有極小值；

函數(shù)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(I,”)，

(〃)r(x)='=匕竺，

XX

當(dāng)時(shí)，/'(x)..0,在［l,e］上單調(diào)遞增，/⑴W.f(x)W/(e)即函數(shù)的值域?yàn)椋?』+?！W(wǎng)；

當(dāng)ail時(shí)，尸(戲,0,/(x)在［Le］上單調(diào)遞減，/3)?/34"1)即函數(shù)的值域?yàn)椋?+?！?0］；

當(dāng)：<”1時(shí)，易得時(shí)，/'(x)>0,/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，時(shí)，小)<0,/(%)在［l,e］

上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=一時(shí)，函數(shù)取得最大值/(一)=-?-1+〃，最小值為/⑴=。，/'(e)=l+a-〃e中最小的,

aa

⑴當(dāng)士時(shí)，/(e)2/(1),最小值/⑴=0；

e

(?)當(dāng)-^―<a<1,/(e)</(1),最小值/(e)=\+a-ae；

e-1

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇0,1+a—ae],

e

當(dāng)1<4,一1時(shí)，函數(shù)的值域[0,-lna-1+a],

ee-\

當(dāng)<a<1時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇l+a-ae,-lna-l+a],

e-1

當(dāng)ail時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇1+。一。G0].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,

體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

19.(1)x2+y2――(2)

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)P

331

坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以P(l,±/),根據(jù)對(duì)稱性，可取P(l《)，則直線AP的方程為y=/(x+2),根據(jù)圓心到

2

切線距離等于半徑得r=(2)根據(jù)垂徑定理，求直線P。被圓。截得弦長的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

\b\3

距離的最小值.設(shè)直線PQ的方程為丫=依+。，則圓心。到直線PQ的距離1=7^,利用后8Moe=-7得

收+i人4

3x,x2+4yiy2=0,化簡得(3+4公)西々+4奶(玉+々)+4/=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)

定理得2/=4左2+3,因此"=J；：：：；)=J2一，當(dāng)％=0時(shí)，〃取最小值，P。取最大值為幾.

試題解析：解：(D

22

因?yàn)闄E圓C的方程為土+二=1,所以A(—2,0),尸(1,0).

43

3

因?yàn)镻FJ_x軸，所以尸(1,±力，而直線AP與圓。相切，

2

根據(jù)對(duì)稱性，可取p(i,3，

2

則直線AP的方程為y=~(x+2),

即x—2y+2=0.

2

由圓。與直線AP相切，得r=忑,

所以圓。的方程為/9+;/9=4

(2)

易知，圓。的方程為f+y2=3.

3

①當(dāng)PQ_Lx軸時(shí)，

所以％=士*,

此時(shí)得直線PQ被圓。截得的弦長為小夕.

7

②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為丫="+萬，產(chǎn)區(qū),凹),。(々,%)(玉馬70),

3

首先由心戶?自。=-W，得3%無2+4b%=°，

即3司9+4(3+b)(kx2+>)=0,

所以(3+4/)罰々+4始(改+X2)+4〃=0(*).

y=kx+b

聯(lián)立｛爐2,消去x,得(3+4/)/+8妨x+4從-12=0,

—+—y=1

43

將％+%2=——---^■,X]X2-———￥■代入(*)式，

'-3+4/'-3+4-

得2/=4r+3.

由于圓心。到直線PQ的距離為“

所以直線PQ被圓。截得的弦長為/=2,3-/=4+故當(dāng)％=0時(shí)，/有最大值為指.

綜上，因?yàn)?＞為且，所以直線PQ被圓。截得的弦長的最大值為

7

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系

17

20.(1)證明見解析;⑵

【解析】

(1)構(gòu)造直線PQ所在平面P”Q,由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(D過點(diǎn)PH上BC交BC于H點(diǎn),連接Q”,如下圖所示:

因?yàn)槠矫鍯DEE，平面ABC。，且交線為CO,

又四邊形CZJEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。,

故可得CE_LCB.

在三角形C8E中，因?yàn)镻為3E中點(diǎn)，PH±CB,CE±CB,

故可得PH//CE,〃為CB中點(diǎn);

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，”,。是。8,4。的中點(diǎn),

故可得HQ〃CO；

又PHcHQ=H、CDcCE=C,

且產(chǎn)〃,u平面PHQ,CD,CEu平面DFEC,

故面PHQ〃面EFDC,

又因?yàn)镻Qu平面PHQ,

故PQ//面EECD.即證.

(2)連接4E,AC,作交A3于m點(diǎn),

由(1)可知CEL平面A8C。，又因?yàn)镈F//CE,故可得正，平面A8CD,

則。下，DM,OF_LOC；

又因?yàn)锳B〃C。，DM1AB,故可得DM_L￡)C

即DM，DC,。尸兩兩垂直,

則分別以DM，DC,DF為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一到z,

則DM=y]AD2-AM2=752-22=V21，

0(0,0,0),尸(0,0,2),E(0,2,2),

LfV2i1

A(V21,-2,0),尸號(hào),3,1,C(0,2,0)

【2J

設(shè)面AEF的法向量為玩=(x,y,z),則厚=(0,2,0),=(-721,2,2),

\m-FE=Q2y=0

則(一^=>5i—，

m-AF=0[一J21x+2y+2z=0

可取比=(2,0,如)，

設(shè)平面PDC的法向量為五=(x,y,z),則覺=(0,2,0),麗=[孝^,3,1,

(一f2y=0

,n-DC=Q「?

則｛——J2\,

nDP-0《―x+3y+z=0

可取為=(2,0,—JH),

可知平面AEF與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為

\n-frA12x2-21117

cos6=^J------[=—.

同|同22+2125

【點(diǎn)睛】

本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.

22

21.(1)—+^-=1(2)尤一>一2=0或x+y-2=0.

43

【解析】

（1）圓C的方程已知，根據(jù)條件列出方程組，解方程即得；（2）設(shè)N（XN.N），"（如，%），顯然直線/的斜率存

在，方法一：設(shè)直線/的方程為：>=左（％-2）,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去y,可得/,同理直線方程和圓

12

方程聯(lián)立，可得知，再由AN=亍AM可解得左，即得；方法二：設(shè)直線/的方程為：%=）+2?。0）,與橢圓方

程聯(lián)立，可得以，將其與圓方程聯(lián)立，可得加，由AN=5AM可解得3即得.

【詳解】

（1）記橢圓E的焦距為2c（c>0）.???右頂點(diǎn)A（a,O）在圓C上，右準(zhǔn)線x=上與圓C：（%-3）2+丁=1相

（。-3）2+。、1,

切???"a1解得，，

--3=1,[c=l

c

22

.?.加=〃—,2=3,橢圓方程為：工+匕=1.

43

（2）法1：設(shè)"（赤，后），出（拓，丫”）,

顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為：y=k（x-2\

y=k（x-2）,

直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由方程組%2>2消去y得，整理得（4公+3）》2_16/》+16%2—12=0.

143

16公一12'解得距=1

由，2=

4d+3

y=k（x-2\,/、/

直線方程和圓方程聯(lián)立，由方程組/12消去y得，（二+1）尤2一（必?+6卜+4/+8=0

[（X-3）-+9=1,\