高中數學第七章復數7.2復數的四則運算7.2.2復數的乘除運算學案新人教A版必修第二冊

7．2.2復數的乘、除運算課程標準1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算．2．理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一復數代數形式的乘法法則及運算律1．復數代數形式的乘法法則?已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________．2．復數乘法的運算律?對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝____________結合律(z1z2)z3＝________________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝________________要點二復數除法的運算法則?設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝a+bic+di＝__________(c＋d助學批注批注?復數的乘法運算與多項式乘法運算很類似，可仿多項式乘法進行，但結果要將實部、虛部分開(i2換成－1)．批注?多項式乘法的運算律在復數乘法中仍然成立，乘法公式也適用．批注?(1)分子、分母同乘以分母的共軛復數c－di，化簡后即得結果，這個過程實際上就是把分母實數化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．(2)注意最后結果要將實部、虛部分開．夯實雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩個復數的積與商一定是虛數．()(2)兩個共軛復數的和與積是實數．()(3)若z為復數，則z2＝|z|2.()(4)復數加減乘除的混合運算法則是先乘除，后加減.()2．復數i(1＋i)＝()A.－1＋iB．2＋iC.1＋iD．－2－i3．復數i1-i＝A.12+iC.－12+i4．復數z＝(1－3i)2，其中i為虛數單位，則z的虛部為________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1復數代數形式的乘法運算例1計算：(1)(3－2i)(5＋4i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)．題后師說兩個復數代數形式乘法運算的一般方法復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等．鞏固訓練1(1)[2022·河北保定高一期末]若z＝(3＋i)(2－i)，則z＝()A．5＋iB．7＋iC．5－iD．7－i(2)[2022·廣東廣州高一期末]設i為虛數單位，若復數(1－i)(1＋ai)是實數，則實數a的值為()A．－1B．0C．1D．2題型2復數代數形式的除法運算例2(1)1+i1-i；(2)1i題后師說兩個復數代數形式除法運算的一般步驟鞏固訓練2(1)[2022·山東德州高一期末]若復數z滿足z(1＋i)＝4－3i，則z在復平面內對應的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)(多選)[2022·河北張家口高一期末]已知復數z＝13-i3-A．z的虛部是1B．z在復平面內對應點落在第二象限C．z(1－i)＝5－3iD．zz＝17題型3在復數范圍內解方程例3在復數范圍內解方程：x2＋4x＋6＝0.題后師說在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法鞏固訓練3[2022·福建廈門高一期末]已知復數z1，z2是方程x2＋x＋1＝0的兩根，則()A．z1＋z2＝1B．z1＝z2C.z12＝z2D．z17．2.2復數的乘、除運算新知初探·課前預習[教材要點]要點一1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3要點二ac+bdc[夯實雙基]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：由題可知i(1＋i)＝－1＋i.故選A.答案：A3．解析：根據復數的運算法則，可得i1-i＝i1+i1答案：C4．解析：z＝(1－3i)2＝1－6i＋9i2＝－8－6i，故z的虛部為－6.答案：－6題型探究·課堂解透例1解析：(1)(3－2i)(5＋4i)＝3×5＋8＋(12－10)i＝23＋2i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＝(3＋11i)(3－4i)＝9－12i＋33i－44i2＝53＋21i.鞏固訓練1解析：(1)因為z＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故選B.(2)(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是實數，則a－1＝0，a＝1.故選C.答案：(1)B(2)C例2解析：(1)1+i1-i＝1+i1+i1(2)1i＝ii2(3)7+i3+4i＝7+i3-4i3+4i3鞏固訓練2解析：(1)因為z(1＋i)＝4－3i，所以z＝4-3i1+i＝4-3i1所以復數z在復平面內所對應的點為(12，－72)(2)由題意得z＝13-i3-i＝13-i對于A：z的虛部是1，故A正確；對于B：z＝4－i，在復平面內對應點為(4，－1)落在第四象限，故B錯誤；對于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正確；對于D：zz＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D錯誤．故選AC.答案：(1)D(2)AC例3解析：法一：因為x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，因為(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±2i.法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0無實數根．在復數范圍內，設方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以a又因為b≠0，所以a解得a＝－2，b＝±2.所以x＝－2±