高考復(fù)習(xí)9-6導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

9.6導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用(精練)(基礎(chǔ)版)

題組一零點(diǎn)問題

1.(2022?內(nèi)蒙古包頭.高三開學(xué)考試(理))已知函數(shù)f(x)=；x3-?/+x+；).

⑴若。=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論/(x)的零點(diǎn)情況.

【答案】⑴遞增區(qū)間為(-O),2-4),(2+阮+oo),遞減區(qū)間為(2-#,2+#)

(2)答案見解析

【解析】(1)解：當(dāng)4=2時(shí)，貝lJ/(x)=gx3-2x2-2x-g,xeR,可得尸(x)=/-4x-2,

令尸(x)=0,解得用=2-太，W=2+#,

當(dāng)x￡(―,2-遙)時(shí)，fXx)>0,

當(dāng)xw(2—指,2+6)時(shí)，r(x)<0,

當(dāng)x￡(2+V6,+oo)時(shí)，f'(x)>0,

所以〃力在(-8,2-新),(2+指,+8)單調(diào)遞增，/⑺在(2-6,2+指)單調(diào)遞減.

(2)解：當(dāng)彳=-；時(shí)，/(X)HO；

1/

當(dāng)戶-4時(shí)，“x)=o等價(jià)于=r二%,

2jr+x+一

4

當(dāng)x=0時(shí)，g")=0；

當(dāng)XE18,-T)[-；，。)一(。，+8)時(shí)，g,X)>0:

當(dāng)"C'hg")<。；

所以g(x)在(7,一斗鳥,g)單調(diào)遞增；在卜?!，-￡)單調(diào)遞減,

且當(dāng)Xf-萬時(shí)，g(X)fYO,當(dāng)Xf-8時(shí)，g(x)fYO；當(dāng)xf+8時(shí)，g(x)f+8,

如圖所示，可得g-￡為g(x)的極大值，

77Q

當(dāng)為＞_=,即。＞弓時(shí)，y=g(x)與y=/z(x)只有1個(gè)交點(diǎn)，即〃x)只有1個(gè)零點(diǎn);

8o

9

當(dāng)a=-g時(shí)，y=g(x)與y=/z(x)有2個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

O

9

當(dāng)〃＜-三時(shí)，y=g(x)與y=〃(x)有3個(gè)交點(diǎn)，即/(X)有3個(gè)零點(diǎn).

O

綜上，時(shí)，/(X)只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，”X)有.2個(gè)零點(diǎn)；

oO

2.(2020?陜西?榆林市第十中學(xué)高三期中(理))已知函數(shù)〃x)=lnx-(a+l)x,aeR.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)g(x)=/(x)+x+l，函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵(0,1)

【解析】(1)解：函數(shù)〃X)的定義域?yàn)?O,y)，且r(x)=9(a+l)」一(?l)x

當(dāng)a+140時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的x>0,/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)〃x)的增區(qū)間為(0,+e)；

當(dāng)。+1>。時(shí),即當(dāng)°>-1時(shí),由ra)>o可得o<x〈W，由ra)<o可得》>W，

此時(shí)，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o，W),單調(diào)遞減區(qū)間為(得■,+8]

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)“X)的增區(qū)間為(0,+8)：

當(dāng)時(shí).，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(￡,+8)

(2)解：由g(x)=/(x)+x+l=lnx-ar+l=0,可得“=其中*>0,

X

構(gòu)造函數(shù)其中x>0,所以，直線y=。與函數(shù)九㈤的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

I(ln：+I)=*,當(dāng)0<x<l時(shí)，〃'(x)>0,此時(shí)函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

XX

當(dāng)x>i時(shí)，”(x)<o,所以,函數(shù)M6單調(diào)遞減,

所以，函數(shù)/7(x)的極大值為=且當(dāng)X〉"1■時(shí)，h(x)>o,如下圖所示：

e

—"71-?~

I；：

由圖可知，當(dāng)0<。<1時(shí)，直線y=a與函數(shù)Mx)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

3.(2022?廣東?金山中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=ae"-x-2,和g(x)=x-ln[a(x+2)]+2,

⑴若Ax)與g(x)有相同的最小值,求。的值;

⑵設(shè)尸(x)=/(x)+g(x)+21na-2有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】(l)a=e

(2)0<67<e.

【解析】(1)f(x)=ae'-x-2,f(x)=ae'-1=0

當(dāng)時(shí)，，。)<0,/(》)在口上單調(diào)遞減，無最值，舍去

當(dāng)a>0時(shí)，令/'。)<0,則x<Tna

/(x)在(T?,-lna)|二單調(diào)遞減，在(-Ina,+00)上單調(diào)遞增,則/'(x)Nf(-lna)=lna-l

a>0，則g(x)的定義域?yàn)?-2.-K?)

1y?1

g，(x)=l------=令g，(x)>0,則x>一］

???g(x)在上單調(diào)遞減，在(—l,4w)上單調(diào)遞增，則g(x)Ng(-1)=1—1皿

依題Ina-l=l-lna二a=e

(2)

由題意可知：a>0

F(x)=4zeA—ln(x+2)+ln^-2(x>-2)

令F(x)=0,即aex-ln(x+2)+lntz-2=0,則acx+\na=In(x+2)+2

即aex+x+\na=In(x+2)+x+2,則(ae，)+In(oe')=(x+2)+ln(x+2)

?.?y=x+lnx在(0,+e)上單調(diào)遞增

貝|J6/er=x+2,即/(x)=ae'—%—2在(—2,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)

-}na>-2

由(1)可得：(-Ina)=lna-1<0,解得：0<〃<e

y(-2)=tze-2>0

此時(shí)/(%)=優(yōu)'一%-2在(—2,-lna)上有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)0<a<e時(shí)，下證/(x)=ae、一工一2在(一1114,+0。)上有一個(gè)零點(diǎn)

取/=￡,貝ij%+ln。=￡+lna

aa

令G(a)=2+lna,則G,(tz)=^-^<0

aa

???G(a)在(O,e)單調(diào)遞減，則G(a)>G(e)=2>0,即/>—lna

tt

V/(x0)=6re---2,令1=￡>1,則。=：

/(工0)=%T-2=；(/一/一2。

令〃(r)=e"i—『一2r,1)11]H'(t)=e,+,-2r-2>2(ef-r-l

又???e'Nf+l,則”'(，)>0

"(f)在(L”)上單調(diào)遞增，則”(r)>/^l)=e2—3>0

即〃％)>0

/(x)=ae*-x-2在(-lna,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn)

則a的取值范圍為0<ave.

4.(2022?安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),f(x)為〃x)的導(dǎo)數(shù).

(1)判斷并證明f(x)在區(qū)間11段)上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)判斷〃尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(l)/'(x)在區(qū)間卜1片)上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,理由見解析；

(2)2個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.

【解析】(1)f(x)在區(qū)間(7弓)上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,

理由如下:

f(x)=sinx-ln(l+x),XG-1,—,

I2j

f\x)=COSX-,令g(x)=r(X)=COSX———,XG|-1,—

l+Xl+xI2

則g'(x)=Sinx+2,令〃(x)-g(x)--sinx+y;~~京,

(1+x)(1+x)

L(1+x)3，

當(dāng)工]時(shí)，COSX>0,----^->0,所以〃'(X)=_COSX-?。

一I2j(1+司(1+x)'

即〃(x)=g(力=smx+(1+在上單調(diào)遞減，

_

又/i(0)=/(0)=l>0,〃(1)=g，(l)=sinl+吟<01,

故存在不<0,1),使得M拓)=g'(%)=0，

且當(dāng)時(shí)，〃(x)=g'(x)>0,當(dāng)xe(xo，/卜寸，〃(x)=g'(x)<0,

所以g(x)=/'(x)=cosx-在x=玉)處取得極大值，

故/'*)在區(qū)間｛ig)上存在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

(2)

的定義域?yàn)?―L”)，

①w【xe(-L0］時(shí)，由(1)知，/(尤)在xe(-l,0］匕單調(diào)遞增，而:(0)=0,

所以當(dāng)X?T,O)時(shí),ra)<o，

故〃x)在上單調(diào)遞減,乂"0)=0,

所以x=0是在xe(-l,0］上的唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)尤€(0,今時(shí)，由⑴知，/'(X)在xe((),玉］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

而八0)=0,吟<0,

所以存在占e，),￡|,使得/(占)=0,

且當(dāng)xe(0,xJ時(shí)，r(x)>0,當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,

所以“X)在x?(),4)單調(diào)遞增，在xe、,?單調(diào)遞減，

又"0)=0,/圖=l-ln(l+￡|>0,所以當(dāng)xe(0微時(shí)，/(x)>0,

所以〃x)在上沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)尤《會(huì)無時(shí)，r(x)<0,所以〃x)在段仁了上單調(diào)遞減，

而/㈤<0,

所以“X)在》66,兀卜.有唯一零點(diǎn)；

④當(dāng)X€(Jt,+oo)時(shí),ln(x+l)>l,所以f(x)<0,從而〃x)在xw(兀,+℃)上無零點(diǎn);

綜上：“X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

題組二不等式成立

1.(2022?廣東汕頭?高三階段練習(xí))已知函數(shù)

XIX2

/(x)=ln(x+l)+—x24-/nx(n?GR),g(x)=ae"+ln〃-l(awR).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)加=0時(shí);若〃力Ng(x)在［0,+。)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

⑵(0川.

【解析】(1)函數(shù)/(工)=111(元+1)+白2+〃吠(m￡2定義域?yàn)?_i,+8).

/(X)=-^+%+〃2=-彳(x2+如+式+"+1)

^/i(x)=x2+nvc+x+m+1,則有△=(m+1)2—4(m+1)=(m+l)(m—3).

i.當(dāng)TWmW3時(shí),AV0恒成立,有尸(力20,所以/(力在(-1,+8)上單增，無減區(qū)間;

ii.當(dāng)A〉0時(shí)，令Y+如+x+m+l=0解得：-(砌+如+1)(上弘止上亞畫亙

1222

當(dāng)旭>3時(shí)，力⑴的對(duì)稱軸尤=二1等<_2,所以/z(x)在(一1，+8)上單增.

又〃(—1)=1—加―1+帆+1=1>0,所以人(力>0恒成立，所以有/'(">0,所以外力在(-1,+8)上單增,無

減區(qū)間；

當(dāng)“7<-1時(shí)，h(x)的對(duì)稱軸x=(；+1)>0,且〃(-1)=1-機(jī)-1+m+1=1>0,

.〃計(jì)1

-1<%2<一一/<丹?

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

在(-1,x2)±/i(x)>0；在(%2，xJ上/心)<0;在(％,+00)h/?(x)>0.

所以在(T，Z)上，有r(x)>0,/(X)單增；在仇，苔)上有/'(x)<0,/(尤)單減；在&,口)上有/'(x)>0,

/(x)單增.

即小)右，YE一耐麗司、I上單增，

\/

/(X)在‘.(+l)J(m+l)(力一3)(m+l)+J(m+l)(m—3)、上單減

/(x)在---------、----------，+8上單增.

\7

/、'_伍+1)---3))［-(/n+l)4-J(7n+l)(w-3)

綜上所述：當(dāng)初<-1時(shí)，的遞增區(qū)間為-L-~~人比一-一-,-~~~-一^二

\7\

,單甘▽門聲(一("+1)一M+l)W-3)—(加+1)+J(〃?+D(m-3)'

遞減區(qū)I可力---------------------，---------------,

\/

當(dāng)SW-l時(shí)，〃x)的遞增區(qū)間為(-1,+8),無減區(qū)間.

當(dāng)機(jī)上/時(shí)，/(x)=ln(x+l)+^x2.

/⑴*8⑴在曲+功恒成立，可化為ln(x+l)+；x22配'2"+Ina-1在［0,+<?)恒成立.

即1。(工+1)+(1+1)29于+%--%24-lntz,

即eln(x+1)+ln(x+l)>+卜/+始，在［0,+8)恒成立.

令9(x)=e”+x,因?yàn)閥=e'為增函數(shù)，V為增函數(shù)，所以°(x)=e'+x為增函數(shù)，

所以可化為In(x+1)2；V+出4在［0,+巧恒成立,

只需lna4；x2-x+ln(x+l)在［0,+8)恒成立.

記〃(%)=；工2—尤+后(無+1),(工20),只需InQWp(x)而.

由(1)可知，p(x)=gd7+in(x+l)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以p(xL=p@=0,即InaWO,解得:

0<a<i.

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(05.

2.(2022?河南?南陽市第六完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知〃力=￡￡.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵若<x-l對(duì)xe［l,y)恒成立，求“的取值范圍.

【答案】(i)x-y-i=o

(2)a>l

【解析】(1)

當(dāng)a=l時(shí)，=/(O)=-l,

r(x)=2x”T),；M=/，(O)=I,

所以切線方程為：y+l=lx(x-O),即x-y-l=O.

(2)

/(x)4x-1恒成立，即a2V-(x-i)e*在xe[1,+功上恒成立，

設(shè)g(x)=X?-(x-l)e*,g\x)=x(2-e*),

令g，O)=0,得％=0,x2=In2,

在[l,+8)匕g'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)=》2-(x-l)e*在[1,+co)上單調(diào)遞減，

所以g(X)max=g(D=l，

故有a>l.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=(》+1)111工一4(》一1)(4610.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)20對(duì)任意xw[l,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)〃力的遞增區(qū)間為(0,+R),無遞減區(qū)間;

⑵(f2]

【解析】(1)解:當(dāng)a=0時(shí),/(x)=(x+l)lnx,xG(0,-i-oo),

求導(dǎo)/(x)=lnx+—+1,

x

設(shè)g(x)=lnx+'+l,

x

貝|Jg(幻='一[=^3,

XXAT

令g(x)>0,解得：x>l；g(x)<0,0<x<l,

???g(x)在(0,I)單調(diào)遞減，在(1,+oo)單調(diào)遞增，

貝lJg（x）mm=M=2,

???f(x)N2>0在(0,+oo)上恒成立,

???/(幻的遞增區(qū)間為(0,+oo),無遞減區(qū)間；

(2)解：/(x)=(x+l)lnx-6z(x-l)(tzGR),

由(1)矢口：/(x)=lnx4--+l-6z=g(x)-a,

x

又因?yàn)間(x)在(I，+00)單調(diào)遞增，

則g(x)>g(1)=2,

①當(dāng)區(qū)2時(shí)，f'(x)>0,/(x)在[1,+oo)單調(diào)遞增，

/./(%)>/(1)=0,滿足題意.

②當(dāng)”>2時(shí)，設(shè)9(x)=lnxH----1-1—<7,貝!Is(x)=------r——,

XXX~

當(dāng)xNl時(shí),<p(x)>0,

...4x)在[1,+oo)遞增，<p(l)=2-a<0,9(e")=l+e"’>0,

.*.3x0e(l,e0),使2%)=0,

?火X)在”,+00)單調(diào)遞增,

二當(dāng)X€(l,Xo)時(shí)，O(x)<0,即/'(X)<0,所以f(x)在X€(l,Xo)上單調(diào)遞減，

又/⑴=0,

二當(dāng)xw(l,x。)時(shí)，/(%)</(1)=0,不滿足題意.

的取值范圍為a42,

綜上可知：實(shí)數(shù)。的取值范圍(-00,2].

4.(2022?河南?商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試(理))已知函數(shù)/(x)=lnx-日小eR).

(1)若函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，求Z的取值范圍；

(2)已知函數(shù)g(x)=e，,若g(x)-〃x)Nl恒成立,求無的取值范圍.

【答案】(l)(-8,0]u｛：｝

(2)[l-e,-H?)

【解析】(1)f(x)定義域?yàn)?。,+8),由于/(x)=lnx-履有一個(gè)零點(diǎn)，可得方程無=/有且僅有一個(gè)實(shí)根,

令力(力=(，//(x)=bdJH,由〃(x)>0得0<x<e：由“(力<0得x>e.

.../i(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

二/z(x)最大值〃(e)=L又碎)=0,xe(O,l)時(shí)，/?(x)<0：xw(e,4oo)時(shí),h(x)>0.

畫出"(x)=?大致圖像如圖所示，

若直線)=h與y=%(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，貝必wo或4=L

e

???A的取值范圍是(-8,0]u{,.

(2)

方法一：若g-冗)N1恒成立,即e"-Inx+AxN1恒成立.

??M、1+lnx-e'后冷—[?，廣]1+lnx—e')

?x>0,??kN---------恒八日日人—,

XIX人ax

令。(加號(hào)9X)&七〉-(二門七)9?-山,

令〃(x)=e"(l-％)-lnx(x>0),/zr(x)=-exx--<0,所以4(%)在(0,也)匕單調(diào)遞減,

ffij//(1)=0,/.XG(0,1),〃(x)>0；XG(1,+OO),〃(x)vO，

即X￡(O,1)時(shí)，d(x)>0,XG(1,+OO),"(x)vO.

???o(x)在(o,i)上單調(diào)遞增，在。,”)上單調(diào)遞減.

故。('Lx=9(l)=l-e.所以％的取值范圍是[l-e,+a>).

方法二：由—得Z21—e,現(xiàn)證明在221—e前提下，原式恒成立.

x>0,/.ev-lnx+Ax>eA-lnx+(l-e)x=eA-er+(x-lnx)(*),

現(xiàn)證明，eA>ex?x-lnx>l,構(gòu)造A(x)=e。-er,A(x)=e，-e,

令A(yù)'(x)<0解得0<x<l,令A(yù)'(x)>0解得x>l,

即A(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,a)上單調(diào)遞增,

A(x)NA⑴=0成立；

1r_I

構(gòu)造8(x)=x-lnx,B'(x)=1——=-----,

令8'(x)<0解得0cx<1,令8'(x)>0解得x>l,

即3(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,田)上單調(diào)遞增，8(x)23⑴=1成立，

(*)式21成立，原式得證.

5.(2022?河南?滎陽市教育體育局教學(xué)研究室高三開學(xué)考試)已知函數(shù)"x)=xlnx,g(x)=-x2+ar-3

(aeR)

(1)求〃x)在點(diǎn)(e〃e))處的切線方程

(2)若對(duì)于任意的XGi,e,都有2〃x)2g(x)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)y=2x-e

(2)t/<4

【解析】(1)解：因?yàn)?(x)=xlnx,所以廣⑺=lnx+l,

所以切線的斜率Z=/'(e)=2,/(e)=e.

所以在(e〃e))處的切線方程為y-e=2(x-e)，即y=2…;

(2)

解：若2/(x)之g(x)對(duì)任意的XE恒成立，則2;dnr2-x?+or-3對(duì)任意的xwe恒成立，

3「1一

即。W21nx+x+一對(duì)任意的XE-,e恒成立，

x|_e_

3「11/「1-

令MX)=21nx+J+—,xe-,e,只需滿足，xe-,e,

x_e__e_

又修x)=2+[_與=(x+3),T),

XXX

因?yàn)閤w1,e,所以由〃'(x)=0得x=l,

當(dāng)時(shí)，//(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)l<x<e時(shí),/?x）>0,Mx）單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)M"）取得極小值即為最小值，即人（力”血=〃⑴=4,所以心4.

6.（2022?北京?高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/（0=三+浸+工

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若曲線y=/（x）不存在斜率為一2的切線，求”的取值范圍；

⑶當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>ln（x+l）恒成立，求a的取值范圍.（只需直接寫出結(jié)論）

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為S,-1）和卜提+小單調(diào)遞減區(qū)間為極大值0,極小值

（2）a的取值范圍為（-3,3）；

（3）a的取值范圍為-；收）

［解析］（1）由/（x）=丁++x,得f，（x）=3x2+2ax+1.

當(dāng)。=2時(shí)，r（x）=3x2+4x+l

令/'（x）=0,得

此時(shí)/'（元），隨X的變化如下：

X(T-g)

S,-l)T~3

f（X）+0—0+

fix)/極大值極小值/

所以f（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為S,—1）和+8

fM的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,-；）

函數(shù)/（X）在x=-l時(shí)，取得極大值/（T）=0,

在x=-g時(shí)，取得極小值1/?（-：）=-上.

3327

（2）

因?yàn)閥=/（X）不存在斜率為-2的切線，所以r（x）片-2

即方程3/+20￥+1=—2無解，所以△=4。2一36<0

解得-3<。<3,

所以〃的取值范圍為(-3,3)；

(3)

不等式“人〉叱工+口可化為^+方?+x-ln(x+l)>。，

設(shè)g(x)=x3+ax2+尤一ln(x+l)(x>0),

j(iA(3x24-3x4-2ar+2?4-1)

g\x)=3x2+2O￥+1-------=x\3X+2QH-----=x----------------------，

x+1vx+1)x+1

設(shè)力(x)=3x2+3x+2ax+2。+l(x>0),則〃'(x)=6x+3+2〃

當(dāng)時(shí)，2a>-\,2a+3>2,Xx>0

2

所以〃'(x)=6x+3+2a>0,

函數(shù)h(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>0時(shí)，A(x)>M0)=2?+l>0,此時(shí)g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增,又g(0)=0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,

所以“W-g時(shí)，f(x)>ln(x+l)在(0,+8)上恒成立，

當(dāng)時(shí)，方程3/+3x+2or+2a+l=0的判別式△=(3+2a)2-12(2a+l)=4/-12。-3,

因?yàn)椤?lt;-4，所以一1加一3>6-3>0,所以A>0,

2

所以方程31+3x+2ox+24+1=()有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)其根為5，電，且&<*2，則Xy&=271<°,

所以々>0,

所以當(dāng)xe(0,X2)時(shí)，3x2+3x+2ax+2a+l<0,

此時(shí)g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,蒼)上單調(diào)遞減,又g(0)=0,

所以當(dāng)0cxe/時(shí),g(x)<0,

所以a<-g時(shí)，〃x)>ln(x+l)在(0,+吟上不可能恒成立，

綜上可得。的取值范圍為-g,+s)

題組三雙變量

1.(2022?黑龍江?高三開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=2-x+alnx存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，出.

(1)求”的取值范圍；

⑵求〃為)+/(々)一3a的最小值.

【答案】(1)(4,+OO)(2)Y2

2

X+A

【解析】(1)由題意知：/(X)定義域?yàn)?O,+8),/7X)=-4-1+-=~^~；

XXX

g(x)=-x2+ax-a,則g(x)=o有兩個(gè)不等正根x“Xz,

A=a2-4a>0

xt+x2=a>0,解得：“>4,.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍為

XjX2=a>0

(2)由(1)知：a>4,是g(x)=O的兩根，則％+W=再%2=〃；

,?/(玉)+f(W)-3〃=2—％+aIn司+—一/+〃In/-3a="(X+七)一(芭+々)+aIn(x}x2)-3a=a\na—3a；

X\X2%入2

令〃(a)=alna-3a(a>4),貝ij〃(a)=Ina-2,

???當(dāng)々￡(4,1)時(shí)，Ar(a)<0；當(dāng)?！瓴?,+8)時(shí)，〃(4)>0；

在(4,標(biāo))上單調(diào)遞減，在卜2,??)上單調(diào)遞增：

2222

:.h(a)m，n=/z(e)=2e-3e=-e,

即“占)+/(芻)-34的最小值為-€2.

2.(2022?河北省曲陽縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(l-x)e'-a(x2+l)(aeR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)不受，證明：x,+x2<0.

【答案】(1)詳見解析；

(2)證明見解析.

【解析】(1)V/(x)=(l-x)el-a(x2+l)(aeR),

/.f(x)=-xex-lax=-x(e*+2a),

當(dāng)aNO時(shí)，令/'(x)>0,解得x<0,令/'(x)<0,解得x>0,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+s),fM的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0).

當(dāng)ln(-2a)=0,即〃=一；時(shí)，/1)40在(-0,”)上恒成立，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(f,”)，

當(dāng)ln(-2a)<0,即一,<a<0時(shí)，令/'(x)>0,解得ln(-2a)<x<0,

2

令/,(x)<0,解得x<ln(-加)或x>0,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-2a),0),〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-<?,ln(-2q)),(0,+a>)；

當(dāng)ln(-2a)>0,即時(shí)，令-(x)>0,解得0<x<ln(-2a),令尸(力<0,解得尤<0或

x>ln(-2a),

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln(-2a)),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(1n(-2a),”)；

綜上，當(dāng)“20時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0)；

當(dāng)〃=時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,+00)；

當(dāng)-g<a<0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(In(-2*0),/*)的單調(diào)遞減區(qū)間為(y)/n(-2“))，(0,+<?)；

當(dāng)時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln(-2a)),/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(ln(-2a),+oo)；

(2)

(1—x)e'

令f(x)=O,即(l-x)e'-a(x2+l)=0,即丁=a,

、x2+\

▼一(1一%)爐(l-xJe^2

所以抬=亳1=〃

令g(x)=,'所以ga)=g(%)'

—x^x2—2,x+3je'

所以g'(x)=

")2

令g'(x)>0,解得x<0,令/(x)<0.解得x>0,

所以g(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減,

又當(dāng)X<1時(shí)，g(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，g(x)<0,

不妨設(shè)王<當(dāng)，則不<0<匕<1,

要證占+々<0,即證王<一々,

又g(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

所以只需證g(xj<g(-W),即證g(道)<g(f)，

即證g(巧)一g(—w)<o,即證(1一天戶&一七一1<0,

^?/?(x)=(l-x)e2A-x-l,xe(0,1),(x)=(l-2x)e2jt-l,

令“(x)=/z'(x),所以〃'(x)=-4疣2*<0在(0,1)上恒成立，

所以“(X)在(0,1)I二單調(diào)遞減，即/?’(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)<//(O)=0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

又0<當(dāng)<1,

所以/i(w)<〃(o)=o,

所以占+々<0.

3.(2021.黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試(理))已知，(司=加_6',e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若〃x)是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2

⑵當(dāng)時(shí)，若“X)有兩個(gè)正極值點(diǎn)為，巧，證明：

F+42〉(福),

【答案】(1)(3,0]

(2)證明見解析

【解析】(1)/(x)=ax3-ex,/r(x)=3ax2-er

若是R上的單調(diào)函數(shù)，則/'(x)..O或/'(x),,0在R上恒成立，

若/'(x)..O時(shí)，g|J3ar2-ev..0.

當(dāng)x=0時(shí)，-L0顯然不成立，

故/'(x),,0在R上恒成立，即3axJe',,0,

x=0時(shí),一1<0成立，

了40時(shí),3/>0,問題轉(zhuǎn)化為4,鼻在(-8,0)恒成立，旦氏，鼻在(。，+8)恒成立

3ex-x(x-2)

令g(x)=J'(XHO)，則g'(")

-pF

令g'(x)>0,解得：x>2或x<0,令g'(x)<0,解得:0<x<2,

故g(x)在(T,O)遞增，在(0,2)遞減，在(2,+8)遞增，

x趨向于—時(shí)，g(x)趨向于0；x趨向于0時(shí)，g(x)趨向于+8;

2

X=2時(shí)，g(x)囁；X趨向于+00時(shí)，g(x)趨向于+8

畫出函數(shù)g(x)的大致圖象，如圖示：

故。的取值范圍是(F,0]:

(2)

證明：結(jié)合(1)由/M)=o,得：〃=二，

3x"

若/(X)有兩個(gè)正極值點(diǎn)占蹲，不妨設(shè)“<當(dāng),則0<g<2,X2>2,

則2—<2①—x,<—2②

①+②整理得：%+%>2,

22

要證占+々>(*『，只需證明：2>(；了即可，

只需證明3>"，即只需證明”>受即可，而。>1,

3a3

故原命題成立.

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=xlnx-ar+a.

(1)若時(shí)，/(x)>0,求。的取值范圍；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，方程〃幻=6有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根小三，證明：xtx2<\.

【答案】(1)(9,1]

(2)證明見解析

【解析】(1)Vx>l,/(x)>0,/.\nx-a+->0,設(shè)g(x)=lnx-?+-(x>1),g，(x)=L-==?,

XXXXX

當(dāng)a>l時(shí)，令g'(x)=0得x=a,當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>a時(shí)，g，(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，.??8(/<86=0,與已知矛盾.當(dāng)時(shí)，g'(x)20,.?.g(x)在[1,內(nèi))上單調(diào)遞增，.?.g(x)2g⑴=0,

滿足條件；綜上，”取值范圍是(eJ.

(2)證明：當(dāng)a=l時(shí)，f'(x)=lnx,當(dāng)x>l,f(x)>0,當(dāng)0vx<l,/(x)<0,則〃x)在區(qū)間(1,2)上單

調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)王<與，則0<占<1<%,要證為々<1,只需證???/(X)

xi

在區(qū)間(1,小)上單調(diào)遞增，,只需證，(&)</(,)，...只需證/&)</(,).設(shè)

X]%

11r2—1

F(x)=/(x)-/(l)(o<x<l),則9“)=1g一-!71nx==l]nx>0,,在區(qū)間(0,1)匕單調(diào)遞增，工

XXX

F(x)<F(l)=0,Af()-f(-)<0,即成立，x,x<1.

xX%2

y一zr

5.(2022?四川涼山)已知函數(shù)f(x)=lnx-土廣.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵證明：若aNl,/a)=/(蒼)(「<刀)，則玉+々>2.

【答案】(l)aVO時(shí)，“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；0>0時(shí)，〃力在(O,a)」：?jiǎn)握{(diào)遞減，在(a,+a>)上單調(diào)遞

增

(2)證明見解析

【解析】(1)由題意知：/'(x)=F(x>0).

當(dāng)a?0時(shí),當(dāng)X￡(0,+oo)時(shí)，/(x)>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃>0時(shí)，當(dāng)XE(OM)時(shí)，/r(x)<0,當(dāng)xw(a,"o)時(shí)，/r(x)>0,

/（X）在（0,。）上單調(diào)遞減，在（。,+8）上單調(diào)遞增

綜上，OV0時(shí)，〃力在（0,+8）上單調(diào)遞增；

a>0時(shí),/（x）在（0,a）上單調(diào)遞減,在（a,-H?）上單調(diào)遞增.

/、/、/、xxJnZ

（2）證明：:/（馬"不〈電），即_-占，

ci—

.2X,X2In寶

乂aN1,?.?要證x{+x2>2,只需證_______"〃）v丫w丫「

人］"i人？，IU<人］<人）I

々一%

即證上■一上-21n上■>0①

一玉x?X,

設(shè)8（力=%——2111%,%>1,貝Ijg'（x）=（"-J）之0，

???g（x）在。內(nèi)）上單調(diào)遞增,

?.?亍>1,；.g>g（l）=0,不等式①成立，即占+々>2成立.

2

6.（2022?廣東?廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)/（力=:+：+"，

⑴討論）（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若“X）在（T+oo）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)毛，%（入〈%），且/6）_/（須）>4e4，求。的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

（2）-l<a<—

4

【解析】（1）:0）=_+x+l__巴,令g（x）=-x2+x+i-〃，A=1+4（1-tz）=5-4t/,

ex

當(dāng)時(shí)，g（x）,,0,即/'（x）W0,則〃x）在R上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；

當(dāng)a<；時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)七=匕鏟2,今=匕竽2,

當(dāng)xe（T?,xJ,（X2，y）,g（x）<0,即/''（x）<0,〃x）單調(diào)遞減；

當(dāng)X€（不，2）時(shí),g（x）>0,即r（x）>0,“X）單調(diào)遞增，

所以/（X）在x=片處取極小值，在取極大值，有2個(gè)極值點(diǎn),

綜上，當(dāng)。時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)、有2個(gè)極值點(diǎn)；

44

(2)

由題意可得g(x)在(-1，+8)有兩個(gè)零點(diǎn)對(duì)三，故且g(-l)<0,所以-

由一X；+X1+I-a=O得4=1+占一X：,故f(xj=竺同理/(%)=與1，

exe-

又看+々=1,所以f(x2)-〃X1)=箏匚號(hào)等，

結(jié)合-1<玉知;<2,

令h(x)=W+(2x-3)ex-',則h'(x)=在口卜2l-1),

ee、7

當(dāng)xe(g,2)時(shí)，/?,(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，又?|)=4e；

3(3A33

所以/㈤_/(芭)>4/即32)>電｝所以)>[,則.VW”,

因?yàn)閍=—x；+X?+1=—(馬—g)+；，所以-

7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+f+力(a,beR).

⑴求函數(shù)“力的極值；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為0,4，々(不<與)為函數(shù)g(x)=〃x)-g的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:e,-eln%1>2.

【答案】(1)極小值為lna+6+l,無極大值

(2)證明見解析

【解析】⑴."x)=lnx+@+&(x>0),三,

XX

若aMO時(shí),則用x)>0恒成立,

\f(x)在(0,一)上單調(diào)遞增，故〃x)沒有極值；

若a>0,