【課件】總體離散程度的估計(jì)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

復(fù)習(xí)1.眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

2.中位數(shù)：左右兩側(cè)直方圖的面積相等；

3.平均數(shù)：每個(gè)小矩形底邊橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以小矩形的面積的乘積之和．頻率=0.5處(2)求高一參賽學(xué)生的平均成績．9.2.4總體離散程度的估計(jì)

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策.問題導(dǎo)入問題一：有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲78795491074，

乙9578768677，

如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動員的設(shè)計(jì)情況作出評價(jià)？

通過計(jì)算得出：

甲、乙兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7。

從這三個(gè)數(shù)據(jù)來看，兩名運(yùn)動員沒有差別。問題導(dǎo)入根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出條形圖，如下：由上圖發(fā)現(xiàn)：甲的成績比較分散，乙的成績相對集中。即甲的成績波動幅度較大，而乙的成績比較穩(wěn)定。可見，他們的射擊成績是存在差異的。如何度量這種差異呢？問題二:那么，如何度量這種差異呢？我們可以利用極差進(jìn)行度量。根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得：甲的極差=

；

乙的極差=

。

由極差發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙的大。

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度。但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大。10-4=69-5=4問題導(dǎo)入10-4=69-5=4

接下來我們再來探究問題一：

有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲78795491074，

乙9578768677，

如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動員的設(shè)計(jì)情況作出評價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何做出選擇？

s甲>s乙乙比甲問題導(dǎo)入問題三：你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎？我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn)。因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。方差方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，即復(fù)習(xí)導(dǎo)入一般而言,一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.S2標(biāo)準(zhǔn)差：例：數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5的方差是

，

標(biāo)準(zhǔn)差是

。例：數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5的標(biāo)準(zhǔn)差為方差是

，

標(biāo)準(zhǔn)差是

。知識1：方差與標(biāo)準(zhǔn)差

2.標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式：1.方差的表達(dá)式：知識1：方差與標(biāo)準(zhǔn)差

思考二：標(biāo)準(zhǔn)差的范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

思考三：標(biāo)準(zhǔn)差和方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的離散程度的？

標(biāo)準(zhǔn)差和方差是一樣的，都刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度。

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定。s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)是相等的。但在實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。新知2：樣本和總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

思想：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差12344.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，其平均數(shù)是4，且這10個(gè)數(shù)的平方和是200，那么這組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是_____.2

某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術(shù)課考試成績(單位：分)如下：甲組60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙組85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差；例1步步高P116甲組：極差為95－60＝35，乙組：極差為95－65＝30，(2)哪一組的成績較穩(wěn)定？從(1)中得，由于乙組的極差、方差小于甲組的方差，因此乙組的成績比較穩(wěn)定.

從甲、乙兩種玉米苗中各抽取10株，分別測得它們的株高(單位：cm)如下：甲25

41

40

37

22

14

19

39

21

42乙27

16

44

27

44

16

40

40

16

40求：(1)哪種玉米苗長得高？跟蹤訓(xùn)練1(2)哪種玉米苗長得齊？

甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示.例2(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；解：由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14.(2)根據(jù)圖形和(1)中計(jì)算結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價(jià).從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測試分?jǐn)?shù)都在[50,100]內(nèi)，將他們的測試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為跟蹤訓(xùn)練2A.s1>s2>s3

B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2

D.s3>s2>s1√1.下列數(shù)字特征不能反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度、波動情況的是A.極差

B.平均數(shù)

C.方差

D.標(biāo)準(zhǔn)差1234平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo)，不能反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度大小.√新知3：平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[引例1]若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均數(shù)為(

)A．8 B．15C．16 D．32B新知4：平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[引例2]若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為(

)A．8 B．15C．16 D．32D新知3：平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)數(shù)據(jù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差x1，…，xnss2ax1+b，…，axn+b[練習(xí)2]若x1，x2，…，x2017的標(biāo)準(zhǔn)差為3，且yi=﹣3(xi－2)，其中i=1,2,…,2017.則新數(shù)據(jù)y1，y2，…，y2017的方差為_____.[練習(xí)1]數(shù)據(jù)x1，x2，…，x8的平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2x8+3的平均數(shù)為_____，方差為_____.x1，x2，…，x2017的方差為9151681y1，y2，…，y2017的方差為(-3)2×9=81a2s2|a|s123456789101112131415163.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是A.57.2,3.6 B.57.2,56.4C.62.8,63.6 D.62.8,3.6每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)增加60，而方差保持不變.√練透P247123456789101112131415167.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為______.16設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則s＝8，可知數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為4×64＝256，即標(biāo)準(zhǔn)差為16.練透P247鞏固：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算[練習(xí)3]若X1，X2，X3，…，X20這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為X，

方差為0.2，X1，X2，X3，…，X20，X這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差為_________.

X1，X2，X3，…，X20的平均數(shù)：X1，X2，X3，…，X20的方差：X1，X2，X3，…，X20，X的方差：X1，X2，X3，…，X20，X的平均數(shù)：√練透P247X1，X2，X3，…，X8的平均數(shù)：X1，X2，X3，…，X8的方差：X1，X2，X3，…，X8，5的方差：X1，X2，X3，…，X8，5的平均數(shù)：新知4：分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

5.在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表：其中

，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差為A.3 B.2 C.2.6 D.2.5√班級人數(shù)平均數(shù)方差甲202乙303練透P24710.某班40個(gè)學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況如下所示：組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第一組904第二組806求該班學(xué)生這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.練透P248根據(jù)題意，全班平均成績?yōu)閯t該班學(xué)生的方差為[練習(xí)7]甲、乙兩只田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙對體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1:4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？例3學(xué)習(xí)筆記P118

某中學(xué)為研究該校男女學(xué)生在生活費(fèi)(單位：元)支出上的差異，在高一年級400名學(xué)生(其中男生220人，女生180人)中隨機(jī)抽取了22名男生與18名女生，統(tǒng)計(jì)他們的生活費(fèi)支出，得到下面的結(jié)果：跟蹤訓(xùn)練3試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該校高一學(xué)生生活費(fèi)支出的總體均值、總體方差.學(xué)習(xí)筆記P118知識5：從直方圖估計(jì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差=

每個(gè)小矩形的面積乘以（小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)-平均數(shù)）之和用上述分組資料計(jì)算出病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值

＝______，病人等待時(shí)間方差的估計(jì)值s2＝______.8.某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如下表：等待