高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)圓錐曲線(xiàn)中的斜率問(wèn)題試題及解析

圓錐曲線(xiàn)中的斜率問(wèn)題一、考情分析斜率問(wèn)題也是高考圓錐曲線(xiàn)考查的熱點(diǎn),主要有以下類(lèi)型：利用斜率求解三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問(wèn)題；與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題；與斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題=k.利用斜率判斷或證明點(diǎn)A,B,C共線(xiàn),通常是利用kABACy2屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考)設(shè)直線(xiàn)x=m與雙曲線(xiàn)C：x2-=m(m>0)的兩條漸近【例1】(20233線(xiàn)分別交于A,B兩點(diǎn),且三角形OAB的面積為3.(1)求m的值；(2)已知直線(xiàn)l與x軸不垂直且斜率不為0,l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,F為C的右焦點(diǎn),若M,F,N三點(diǎn)共線(xiàn),證明：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn).y2x屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中)已知橢圓W:432+=1的左?右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦【例2】(2022:x=4.點(diǎn)為F,直線(xiàn)l1(1)若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x+my-4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)l上,求m的值；1(2)過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,D(不與點(diǎn)A,B重合),直線(xiàn)CB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M,求21證：A,D,M三點(diǎn)共線(xiàn).

(二)根據(jù)兩直線(xiàn)斜率之和為定值研究圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)y2x21.設(shè)點(diǎn)Pm,n是橢圓C:+=1(a>b>0)上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若k+a2b2PAbm22nλ22bmn≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)m-,-n-,aλk=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值PBan22y2x22.設(shè)點(diǎn)Pm,n是雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線(xiàn)C上不同于P的兩點(diǎn),若a2b2bman22n≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)k+k=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值-PAPB2nλ22bmm-,-n+；aλ223.設(shè)點(diǎn)Pm,n是拋物線(xiàn)C：y=2pxp>0一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線(xiàn)C上不同于P的兩點(diǎn),若k+kPAPBp2p=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值-nn≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)m-,-n+；λ2nλ【例3】(2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷)若點(diǎn)P在直線(xiàn)y=t上,證明直線(xiàn)PA,PB關(guān)于y=t+k=0.對(duì)稱(chēng),或證明直線(xiàn)y=t平分∠APB,可證明kPAPBy2x已知橢圓C：a2+=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,點(diǎn)M0,2是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn),△FMF2b21212是等腰直角三角形．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M分別作直線(xiàn)MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線(xiàn)MA,MB的斜率分別為k,k,且k+k=11228,證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．

y2x屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線(xiàn)C:a22-=1(a2a-1【例4】(2023>1)上,直線(xiàn)l交C于P，Q兩點(diǎn),直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面積.【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其中P為E的準(zhǔn)線(xiàn)?OP=-.94上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且OF(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)過(guò)Q1,0的動(dòng)直線(xiàn)與E交于C,D兩點(diǎn),問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Mt,0t≠0,使得x軸平分∠CMD?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(三)根據(jù)兩直線(xiàn)斜率之積為定值研究圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)y2x21.若點(diǎn)A,B是橢圓C：+=1a>b>0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的a2b2y2b2x2-=1a>0,b>0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是；若點(diǎn)A,B是雙曲線(xiàn)C：?k=-點(diǎn),則kPAa2a2b2PBb2?k=.雙曲線(xiàn)C上與A,B不重合的點(diǎn),則kPAa2PB2.若圓錐曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)P作兩條直線(xiàn)與該圓錐曲線(xiàn)分別交于點(diǎn)A,B,若k?k為定值,則直線(xiàn)AB過(guò)定PAPB點(diǎn).y2x屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:432+=1的左、右【例6】(2022頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A、B和F,直線(xiàn)l:x=my+t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線(xiàn)AM、BM,BN的斜率分別為k.、k、k312(1)求證：kk為定值；12(2)若k=3k,求△FMN的周長(zhǎng).13

y2x屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試)點(diǎn)P(4,3)在雙曲線(xiàn)C:a22-=1(a>0,b>0)b2【例7】(20237上,離心率e=2.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；32(2)A,B是雙曲線(xiàn)C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)P),k,k分別表示直線(xiàn)PA,PB的斜率,滿(mǎn)足kk=,求證：直1212線(xiàn)AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問(wèn)題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來(lái)表示,然后通過(guò)化簡(jiǎn)或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來(lái)表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過(guò)解不等式求范圍.

y2x2+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別b2【例8】(2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓C:a232.(-1，0),F(1，0).過(guò)F為F1=與x軸垂直的直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)D,點(diǎn)D在x軸上方,且DF1222(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在一定點(diǎn)M使得k+k為定值,若存在,求出點(diǎn)MMB2MA的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.=16的圓心為A,點(diǎn)P是圓A上的動(dòng)點(diǎn),【例9】(2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考)已知圓(x+1)2+y2點(diǎn)B是拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)G在線(xiàn)段AP上,且滿(mǎn)足GP=GB.(1)求點(diǎn)G的軌跡E的方程；2(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與(1)中軌跡E交于M,N兩點(diǎn),若線(xiàn)段MN的中點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)y=4x上,求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.

三、跟蹤檢測(cè)y23x2+=1(a>b>0)上,在橢圓C：1.(2023屆山西省長(zhǎng)治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè))已知點(diǎn)P1,2a2b213．2且點(diǎn)P到橢圓右頂點(diǎn)M的距離為(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)(均異于M)且滿(mǎn)足直線(xiàn)MA與MB斜率之積為14．試判斷直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由．2.(2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸,y軸,且過(guò)A3兩點(diǎn).(-2,0),B1,2(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點(diǎn),直線(xiàn)l交橢圓C于P,Q(不與點(diǎn)A重合)兩點(diǎn),記直線(xiàn)AP,AQ,l的斜率分別為k,13k,k,若k+k=-,證明：△FPQ的周長(zhǎng)為定值,并求出定值.k212

y2屆重慶市南開(kāi)中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為2,上x(chóng)22ab3.(202322頂點(diǎn)為D,斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),直線(xiàn)l恰好經(jīng)過(guò)D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過(guò)點(diǎn)D時(shí),若直線(xiàn)DM與直線(xiàn)l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.y2x2屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知A,A分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的ab4.(202322A,AB∥OP,FA=2-2.左?右頂點(diǎn),B,F分別是C的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)P在C上,滿(mǎn)足PF⊥A(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l(與x軸不重合)交C于M,N兩點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)AM,AN的斜率分別為k,k,求證：kk為1212定值.

y22x1屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,,其2ab5.(202322右焦點(diǎn)為F3,0.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)P,Q在橢圓C上,右頂點(diǎn)為A,且滿(mǎn)足直線(xiàn)AP與AQ的斜率之積為1.求△APQ面積的最大20值.6.(2023屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考)已知雙曲線(xiàn)C:x-y=1和點(diǎn)B0,1.22(1)斜率為k且過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于E,F兩點(diǎn),求∠EBF最小時(shí)k的值.(2)過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn),若曲線(xiàn)C上存在定點(diǎn)A,使k+k為定值λ,求點(diǎn)A的APAQ坐標(biāo)及實(shí)數(shù)λ的值.

y27.(2023屆河北省邢臺(tái)市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試)已知A、A為橢圓C：x2+=1的左右頂點(diǎn),直線(xiàn)x312=x與C交于A、B兩點(diǎn),直線(xiàn)A0(1)求點(diǎn)P的軌跡方程.A和直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P.211,求證以MN為直(2)直線(xiàn)l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn),直線(xiàn)NA1的斜率與直線(xiàn)MA斜率之比為-32徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).y2x2屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試)已知橢圓M:+=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)為F,F,且ab128.(202322π的最大值為2PF.左焦點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠F12(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)-2,-4的直線(xiàn)l與橢圓M交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)N2,0,記直線(xiàn)NA的斜率為k,直線(xiàn)NB的斜11kk121,證明：+=1.率為k2

y2x2屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考)已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,ab19.(202222F,橢圓Γ的離心率為2,橢圓Γ上的一點(diǎn)P滿(mǎn)足PF⊥x軸,且PF=1．2222(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A為橢圓Γ的左頂點(diǎn),若點(diǎn)B,C為橢圓Γ上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)AB,AC的斜率分別為k?k,且k?k=1,過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)D,問(wèn)：是否存在定點(diǎn)E,使得線(xiàn)段DE的ABACABAC長(zhǎng)為定值？若存在,求出定點(diǎn)E的坐標(biāo)及線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．y2x210.(2022屆八省八校(T8聯(lián)考)高三上學(xué)期聯(lián)考)設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0),圓C:(x-2m)+(y-2ab=1(m≠0),點(diǎn)F,F,分別為E的左右焦點(diǎn),點(diǎn)C為圓心,O為原點(diǎn),線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)為l．已224m)2121知E的離心率為2,點(diǎn)F,F關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在圓C上．12(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m,使直線(xiàn)AC與BC的斜率之和為2若存3在,求實(shí)數(shù)m的值；若不存在,說(shuō)明理由．

y2x2屆上海市嘉定區(qū)高三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓Γ：+=1a>b>0的左、ab11.(2022225,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓Γ交于P、Q兩點(diǎn)右頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,且橢圓Γ過(guò)點(diǎn)0,5、2,3(點(diǎn)P在x軸的上方).(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PF+2QF=0,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線(xiàn)AP、BQ的斜率分別為k,是否存在常數(shù)λ,使得k+λk=0?若存在,請(qǐng)求出λ的值；若不、k1212存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.y2x2屆海南省?？谑懈呷蠈W(xué)期考試)已知雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)的虛軸長(zhǎng)為4,直線(xiàn)2x-ab12.(202222y=0為雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)．(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)T(2,0)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在第一象限),k,直線(xiàn)NB斜率為k,求證：記直線(xiàn)MA斜率為k11k2為定值．2

y2x213.(2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學(xué)期調(diào)研)已知橢圓C:+=1的上下頂點(diǎn)分別為A，B,過(guò)54點(diǎn)P0，3且斜率為k(k<0)的直線(xiàn)與橢圓C自上而下交于M，N兩點(diǎn),直線(xiàn)BM與AN交于點(diǎn)G.(1)設(shè)AN，BN的斜率分別為k,求k?k，k的值;1212(2)求證：點(diǎn)G在定直線(xiàn)上.14.(2023屆湖南省邵陽(yáng)市高三上學(xué)期第三次月考)已知A(-22,0),B(22,0),直線(xiàn)PA,PB的斜率之積為3-,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.4(1)求C的方程;3(2)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線(xiàn)OM,ON的斜率之積為-,證明:△MON的4面積為定值.

y2x2屆浙江省新高考研究高三上學(xué)期8月測(cè)試)已知橢圓C：+=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為ab15.(20232212F2,0,離心率為,△ABC為橢圓C的任意內(nèi)接三角形,點(diǎn)D為△ABC的外心.(1)求C的方程；(2)記直線(xiàn)AB?BC?CA?OD的斜率分別為k?k?k?k,且斜率均存在.求證：4kkkk=3.12341234

圓錐曲線(xiàn)中的斜率問(wèn)題一、考情分析斜率問(wèn)題也是高考圓錐曲線(xiàn)考查的熱點(diǎn),主要有以下類(lèi)型：利用斜率求解三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題；與斜率之和或斜率之積為定值有關(guān)的問(wèn)題；與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題；與斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題.二、解題秘籍(一)利用斜率求解三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題=k.利用斜率判斷或證明點(diǎn)A,B,C共線(xiàn),通常是利用kABACy2屆廣東省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考)設(shè)直線(xiàn)x=m與雙曲線(xiàn)C：x2-=m(m>0)的兩條漸近【例1】(20233線(xiàn)分別交于A,B兩點(diǎn),且三角形OAB的面積為3.(1)求m的值；(2)已知直線(xiàn)l與x軸不垂直且斜率不為0,l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,F為C的右焦點(diǎn),若M,F,N三點(diǎn)共線(xiàn),證明：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn).y2【解析】(1)雙曲線(xiàn)C：x2-=m(m≠0)的漸近線(xiàn)方程為y=±3x,3不妨設(shè)Am,3m,Bm,-3m1因?yàn)槿切蜲AB的面積為3,所以2AB?m=3m,2所以3m2=3,又m>0,所以m=1.y22-=1,所以右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為2,0,3(2)雙曲線(xiàn)C的方程為C：x若直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)p,0,故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-pk≠0,,y,Nx,y,則Mx,-y,設(shè)Mx112211y2y=kx-p2x-=1322222,得3-kx+2pkx-kp+3=0,聯(lián)立222223-k≠0且Δ=2pk+43-kkp+3>0,22+3>0,化簡(jiǎn)得k2≠3且p-1k22pk222kp+3,xx=-,+x=-2所以x3-k23-k2112因?yàn)橹本€(xiàn)MN的斜率存在,所以直線(xiàn)MN的斜率也存在,因?yàn)镸,F,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以k=k,MFFN-y1y,即-yx-2=yx-2,2=即1x-2x-21221所以-kx2-px-2=kx-px-2,1-px-2+x-px-2=0,122因?yàn)閗≠0,所以x1122x-(p+2)x+x+4p=0,所以2x1212kp2所以2?-2+32pk2-(p+2)-+4p=0,13-k23-k21,所以MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)化簡(jiǎn)得p=2,0.2y2x2+=1的左?右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦【例2】(2022屆北京市一六一中學(xué)高三上學(xué)期期中)已知橢圓W:43:x=4.點(diǎn)為F,直線(xiàn)l1(1)若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x+my-4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)l上,求m的值；1

(2)過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,D(不與點(diǎn)A,B重合),直線(xiàn)CB與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M,求21證：A,D,M三點(diǎn)共線(xiàn).【解析】(1)由題意知,1m=-直線(xiàn)l：x+my-4=0的斜率存在,且斜率為k33,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A,則A(4，n),AA⊥l3所以線(xiàn)段AA的中點(diǎn)1，在直線(xiàn)l上,又k1113n63AAn2=,kk=-1,13AA111n-×=-1m=1m=-1,解得m6有或,n=-6n2n=61+m×-4=0所以m=±1；(2)已知A(-2，0)，B(2，0)，F(xiàn)(1，0),33當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),l：x=1,此時(shí)C1，-，D1，,22223230+3(x-2),當(dāng)x=4時(shí),y=3,所以M(4，3),=有kCB=,所以直線(xiàn)l：y=22-123CB3-03-21=4-12，k21=所以kDM==,所以k=k,1+22ADADDM即A、D、M三點(diǎn)共線(xiàn)；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)l：y=k(x-1)(k≠0),22x2y2+=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,43y=k(x-1)則2222Δ=(-8k)-4(4k+3)(4k-12)=144k+144>0,28k24k+3x=4k2-12+3,，Dx,則x+x=，y2設(shè)Cx，y，x1224k211212y2y,1x-2(x-2),令x=4,得M4，直線(xiàn)BC的方程為y=1x-211yy=3(x-2)=所以直線(xiàn)AD、AM的斜率分別為kAD2x+2，k1,AM213y(x-2)-y(x+2)=2112,yy13(x-2)1k-k=ADAM-2x+223(x+2)(x-2)21上式的分子3y(x-2)-y(x+2)21=3k(x-1)(x-2)-k(x-1)(x+2)122=2kxx-5k(x+x)+8k12=2k?4k4k21121-12228k2-5k?+8k=0,24k+3+3-k=0,即A、D、M三點(diǎn)共線(xiàn).所以kADAM綜上,A、D、M三點(diǎn)共線(xiàn).(二)根據(jù)兩直線(xiàn)斜率之和為定值研究圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)y2x21.設(shè)點(diǎn)Pm,n是橢圓C:+=1(a>b>0)上一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn),若k+a2b2PAbm22nλ,22bmn≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)m-,-n-aλk=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值PBan22

y2xa222.設(shè)點(diǎn)Pm,n是雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是雙曲線(xiàn)C上不同于P的兩點(diǎn),若b2bman22n≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)k+k=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值-PAPB2nλ22bmm-,-n+；aλ223.設(shè)點(diǎn)Pm,n是拋物線(xiàn)C：y=2pxp>0一定點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線(xiàn)C上不同于P的兩點(diǎn),若k+kPAPBp2p=λ,則λ=0時(shí)直線(xiàn)AB斜率為定值-nn≠0,若λ≠0,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)m-,-n+；λ2nλ【例3】(2023屆山西省山西大附屬中學(xué)高三上學(xué)期診斷)若點(diǎn)P在直線(xiàn)y=t上,證明直線(xiàn)PA,PB關(guān)于y=t+k=0.對(duì)稱(chēng),或證明直線(xiàn)y=t平分∠APB,可證明kPAPBy2已知橢圓C：x2+=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,點(diǎn)M0,2是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn),△FMF2a2b2121是等腰直角三角形．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M分別作直線(xiàn)MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線(xiàn)MA,MB的斜率分別為k,k,且k+k=21218,證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)．【解析】(1)由題意點(diǎn)M0,2是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn),知b=2,MF2因?yàn)椤鱂是等腰直角三角形,所以a=2b,即a=22,1所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：xy2284+=1．(2)若直線(xiàn)AB的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m,由題意知m≠±2．y=kx+mx222,得1+2kx+4kmx+2m-8=0,由y2842+=1由題意知Δ=8(8k2+4-m2)>0,設(shè)Ax,y,Bx,y,1122-4km2m-82+x=2,xx=1+2k12所以x,1+2k221y-2y-2kx+m-2kx+m-21+k=8,所以k+k=2+=+因?yàn)閗2x12xxx1121212x+x1-4km=8,-8=2k+(m-2)×km所以k-m+22=2k+m-2×xx122m21=4,整理得m=k-2,211-2,故直線(xiàn)AB的方程為y=kx+2k-2,即y=kx+21,-2所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-．2若直線(xiàn)AB的斜率不存在,設(shè)其方程為x=x,Ax,y,Bx,-y．00000y-2-y-2+12=8,解得x=-,由題意得0x0x00011．此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=-2,顯然過(guò)點(diǎn)-,-221,-2綜上,直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-．2y2屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線(xiàn)C:x2-a2=1(a2a-1【例4】(2023>1)上,直線(xiàn)l交C于P，Q兩點(diǎn),直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面積.y2x2a=1中,得4-1=1,即a-42-4a+4=0,【解析】(1)將點(diǎn)A(2,1)代入2a-12a22a-1解得a2=2,故雙曲線(xiàn)方程為x22由題意知直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)l:y=kx+m,設(shè)P(x,y),Q(x,y),2-y=1；1122x22-y2222=1得：(2k-1)x+4kmx+2m+2=0,則聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)需滿(mǎn)足2k2-1≠0,Δ=8(m+1-2k)>0,224km,xx=-12k1222m+2,+x=-2故x2k22-11y-1y-1kx+m-1kx+m-1+k+k=APAQ=+=0,1x-2x-2212x-22x-2112x+(m-1-2k)(x+x)-4(m-1)=0,化簡(jiǎn)得：2kx1222k(2m+2)124km-4(m-1)=0,-1+(m-1-2k)-故2k-122k2即2k2+(m+1)k+m-1=0,即(k+1)(m+2k-1)=0,由題意可知直線(xiàn)l不過(guò)A點(diǎn),即m+2k-1≠0,故l的斜率k=-1.∠PAQ22tan(2)設(shè)直線(xiàn)AP的傾斜角為α,由tan∠PAQ=22,∴=22,∠PAQ21-tan2∠PAQ=22,(負(fù)值舍去),得tan2π-2α2=2,由直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為0,可知2α+∠PAQ=π,即tan2y-1=2,x-2π則tan2cosα=2,得k=tanα=2,即AP-α=1sinα21y-1=2,及x-y2=1得x=10-42,y=2123142-5,聯(lián)立1x-23111=將x110-42,y=42-55代入l:y=-x+m中,得m=3,33120368,+x=,xx=12故x912-2|=3|x-2|,|AQ|=3|x-2|,而|AP|=2+1|x11222,由tan∠PAQ=22,得sin∠PAQ=13=|AP|?|AQ|sin∠PAQ=2|xx-2(x+x)+4|1212故S2△PAQ6820162+4=.39=2-2×9【例5】(2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考)已知拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其中P為E的準(zhǔn)線(xiàn)?OP=-.94上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且OF(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)過(guò)Q1,0的動(dòng)直線(xiàn)與E交于C,D兩點(diǎn),問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Mt,0t≠0,使得x軸平分∠CMD?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

p【解析】(1)拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,02ppp,y,則OF=,0,OP=-,y設(shè)P-222PP?OP=-因?yàn)镺F9,4p42=-,得p=3.94所以-所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為y2=6x;(2)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)Mt,0t≠0,使得x軸平分∠CMD.設(shè)動(dòng)直線(xiàn)的方程為x=my+1,點(diǎn)Cx,y,Dx,y,1122x=my+12y=6x2,可得y-6my-6=0.聯(lián)立2∵Δ=36m+24>0恒成立,∴y+y=6m,yy=-61212設(shè)直線(xiàn)MC,MD的斜率分別為k,k,則12y1y2yx-t+yx-t=1221k+k=12+x-tx-tx-tx-t1212ymy+1-t+ymy+1-t2myy+1-ty+y2==1221121x-tx-t12x-tx-t12+k=0,由定點(diǎn)Mt,0t≠0,使得x軸平分∠CMD,則k12y+1-ty+y=0.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m+mt=0,所以2my2121得t=-1.故存在t=-1滿(mǎn)足題意.綜上所述,在x軸上存在定點(diǎn)M-1,0,使得x軸平分∠CMD.(三)根據(jù)兩直線(xiàn)斜率之積為定值研究圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)y2x21.若點(diǎn)A,B是橢圓C：+=1a>b>0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上與A,B不重合的a2b2y2b2x2-=1a>0,b>0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),點(diǎn)P是；若點(diǎn)A,B是雙曲線(xiàn)C：?k=-點(diǎn),則kPAa2a2b2PBb2?k=.雙曲線(xiàn)C上與A,B不重合的點(diǎn),則kPAa2PB2.若圓錐曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)P作兩條直線(xiàn)與該圓錐曲線(xiàn)分別交于點(diǎn)A,B,若k?k為定值,則直線(xiàn)AB過(guò)定PAPB點(diǎn).y2x屆黑龍江省大慶高三上學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:432+=1的左、右【例6】(2022頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A、B和F,直線(xiàn)l:x=my+t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線(xiàn)AM、BM,BN的斜率分別為k.、k、k312(1)求證：kk為定值；12(2)若k=3k,求△FMN的周長(zhǎng).13【解析】(1)證明：設(shè)Mx,y,易知A-2,0、B2,0,其中x+=1,則x22=4-y4,300y20204300yyy2y203=-為定值.4kk=12?==-40x+2x-2004x204-y2-40030

34k2-1,(2)解：∵k=3k,即13=3k?kk=-3234,y、Nx,y,而B(niǎo)2,0,設(shè)Mx1122x=my+t223x+4y=12聯(lián)立-12=0,2222?3my+t+4y=12?3m+4y+6mty+3t2則Δ=36m222222t-4×3m+43t-12=483m+4-t>0,y+y=-16mty1y23m23t-122+4,kk=231,2?=-且x-2x-24yy=121223m+4?my+t-2my+t-2+4yy=0.1212+4yy+mt-2y+y+t-2=0所以,m22-6mt21223t-121?m+4?2+mt-23m2+t-2=0,+423m+423t+23m26m2t+t-2=0,+43m+4+12t+24-6m∵t≠2,∴m2+4?-2所以,3m2t+6mt+3mt-6m2+4t-8=0,16t+16=0?t=-1,222故直線(xiàn)MN恒過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)-1,0,所以,△FMN的周長(zhǎng)為4a=8.y2【例7】(2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試)點(diǎn)P(4,3)在雙曲線(xiàn)C:x2-=1(a>0,b>0)a2b27上,離心率e=2.(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；32(2)A,B是雙曲線(xiàn)C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)P),k,k分別表示直線(xiàn)PA,PB的斜率,滿(mǎn)足kk=,求證：直1212線(xiàn)AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)由題意點(diǎn)P(4,3)在雙曲線(xiàn)C:x2y227-=1(a>0,b>0)上,離心率e=2ab2169b2a2-=1可得；,解出,a=2,b=3,7=2a+b2a2y2所以,雙曲線(xiàn)C的方程是x243-=1(2)①當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),則可設(shè)An,y,Bn,-y,00y2代入x43232-3,-=1,得y=n2403412-n2y-3-y-39-y2=023,k=則k12?==00n-4n-42(n-4)(n-4)243即9n2-48n+48=0,解得n=或n=4,=±3,A,B其中一個(gè)與點(diǎn)P4,3重合,不合題意；當(dāng)n=4時(shí),y4304,它與雙曲線(xiàn)C不相交,故直線(xiàn)AB的斜率存在；3當(dāng)n=時(shí),直線(xiàn)AB的方程為x=y2②當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程y=kx+m代入x243-=1,整理得,3-4k2x2-8kmx-4m-12=0,設(shè)Ax,y,Bx,y,11222

8km,xx=-3-4k1224m+12,+x=2則x3-4k221-43-4k2-4my-3y-3kx+m-3kx+m-3kxx+km-3x+x+(m-3)2=+3>4k,222-12>0,∴m由Δ=(-8km)2322xx-4x+x+16k=所以k12?=?2x-42=1211212x-4x-4x-41211212-3xx+2km-6k+12x+x+2m-12m-30=0,2所以,2k221212-3?-4m-12+2km-6k+12?8km+2m即2k3-4k2-12m-30=0,23-4k22+16k-6m+16k2整理得3m2-9=0,即3m+4k+3m+4k-3=0,所以3m+4k+3=0或m+4k-3=0,4k+334-1,過(guò)定點(diǎn)4,-1,直線(xiàn)AB化為y=kx-3若3m+4k+3=0,則m=-；3若m+4k-3=0,則m=-4k+3,直線(xiàn)AB化為y=kx-4+3,它過(guò)點(diǎn)P4,3,舍去43,-1綜上,直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)另解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為mx-4+ny-3=1①,yx2-=1可化為3x-4+4-4y-3+3]22=12,雙曲線(xiàn)C的方程2432-4(y-3)+24x-4-y-3=0②,即3(x-4)2由①②可得3(x-4)22-4(y-3)+24x-4-y-3mx-4+ny-3=0,2-24n+4(y-3)+24n-mx-4y-3=0,2整理可得24m+3(x-4)兩邊同時(shí)除以(x-4)2,x-4x-4+424n+424m+3>0,y-3y-32-24n-m-24m+3=0③,整理得24n+42Δ=24(n-m)2,k則k是方程③的兩個(gè)不同的根,12-24m+324n+43k=所以k12=,即8m+12n+3=0④,24x=3,-3x-4=8y=-1-3y-3=12,解得由①④可得43,-1故直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn).(四)判斷或證明與斜率有關(guān)的定值與范圍問(wèn)題1.判斷或證明與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用某些量來(lái)表示,然后通過(guò)化簡(jiǎn)或賦值得到定值.2.求斜率有關(guān)的范圍問(wèn)題,通常是把與斜率有關(guān)的式子用其他量來(lái)表示,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題,或由已知條件整理出關(guān)于斜率的不等式,通過(guò)解不等式求范圍.y2x2+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別b2【例8】(2022屆山東省學(xué)情高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓C:a2322.(-1，0),F(1，0).過(guò)F2=與x軸直垂的直線(xiàn)與橢圓C交于點(diǎn)D,點(diǎn)D在x軸上方,且DF21為F1(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在一定點(diǎn)M使得k+k為定值,若存在,求出點(diǎn)MMAMB2

的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.32,所以|DF|=222,|=【解析】(1)由己知得c=1,|DF21232所以2a=2+∴b=1.2=22?a=2,x22+y2=1.所以橢圓C的方程為(2)如果存在點(diǎn)M,由于橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)M一定在x軸上,設(shè)其坐標(biāo)為(x,0),0因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)F(1,0),直線(xiàn)斜率存在時(shí)設(shè)l的方程為y=k(x-1),A(x,y),B(x,y),1122<2,x<2,將y=k(x-1)代入x22+y2=1得：則x122222(2k+1)x-4kx+2k-2=0,4k222k-2,xx=,+x=2所以x2k+1222k+1112y1y2+k=MB+又kx-xx-x0MA1=kx-k,y=kx-k得：02由y11222kxx-k(x+x)(x+1)+2xkk+k=MAMB121(x-x)(x-x)200.10202(x-2)kx-k(x+x)(x+1)+2xk=122?則2kx0+12k2100=2時(shí),k+k=0,當(dāng)x0MAMB+k當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),存在一定點(diǎn)M(2,0)使得k為定值0.MBMA+k綜上:存在定點(diǎn)M(2,0)使得k為定值0.MBMA=16的圓心為A,點(diǎn)P是圓A上的動(dòng)點(diǎn),【例9】(2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考)已知圓(x+1)2+y2點(diǎn)B是拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)G在線(xiàn)段AP上,且滿(mǎn)足GP=GB.(1)求點(diǎn)G的軌跡E的方程；2(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與(1)中軌跡E交于M,N兩點(diǎn),若線(xiàn)段MN的中點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)y=4x上,求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.【分析】(1)依題意GA+GB=AP=4>2=AB,根據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓,再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；(2)設(shè)出直線(xiàn)方程并且和橢圓聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo)16k4k2+3>0,+3,將此式代入4k2-tQ-4kt3t,將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程得到t=-+3294k+34k2234932得到k4+k2-2<0,解不等式即可.【解析】(1)=4x的焦點(diǎn),∴B1,0,易知A-1,0，∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)y2依題意GA+GB=AP=4>2=AB,所以點(diǎn)G軌跡是一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)分別為A,B,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,y2x2+=1(a>b>0),b2設(shè)該橢圓的方程為a2則2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,222∴b=a-c=3,

y2x2+=1.43故點(diǎn)G的軌跡E的方程為(2)易知直線(xiàn)1的斜率存在,,y,Nx,y,Qx,y,設(shè)直線(xiàn)1：y=kx+tt≠0,Mx112200y=kx+t+3x+8ktx+4t-12=0,得：4k223x+4y=12由22222∵Δ=(8kt)-43+4k4t-12>0,2-t2+3>0①又x+x=-8kt,x?x=4k+34k121224t-12即4k222+3故Q-4k4kt3t,將Q-4kt3t,代λy+3,,2=4x,2+34k2+34k+34k2216k4k+392得：t=-②,k≠0,2將②代入①,得：16k24k224+3<81,4×16k+3×1622k-81<0,34932即k4+k2-2<0,<0,即k2-3<0,323322732即k2-k2+66且k≠0,∴-8<k<86<k<0或0<k<即k的取值范圍為:-86.8三、跟蹤檢測(cè)y2=1(a>b>0)上,3x2+在橢圓C：1.(2023屆山西省長(zhǎng)治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè))已知點(diǎn)P1,2a2b213．2且點(diǎn)P到橢圓右頂點(diǎn)M的距離為(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)(均異于M)且滿(mǎn)足直線(xiàn)MA與MB斜率之積為14．試判斷直線(xiàn)AB是否過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由．y23x2a1a9=1,4b2,在橢圓C：+=1(a>b>0)上代入得：+【解析】(1)點(diǎn)P1,22b22132,則13=a-1+9,點(diǎn)P到橢圓右頂點(diǎn)M的距離為解得a=2,b=3,224y2x243+=1．故橢圓C的方程為(2)由題意,直線(xiàn)AB的斜率存在,可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m(k≠0),M2,0,Ax,y,Bx,y．1212y=kx+m223x+4y=122x+8kmx+4m-12=0．聯(lián)立得3+4k22222222Δ=64km-43+4k4m-12=484k-m+3>0．-8km24m-12,∴x+x=12,xx=3+4k123+4k221∵直線(xiàn)MA與直線(xiàn)MB斜率之積為4．y1y=21,∴?x-2x-241∴4kx+mkx+m=x-2x-2．22-1xx+4km+2x+x+4m-4=0,121化簡(jiǎn)得4k222121

4m2-12+4km+2-8km+4m-4=0,∴4k-123+4k23+4k2化簡(jiǎn)得m2-2km-8k=0,解得m=4k或m=-2k．2當(dāng)m=4k時(shí),直線(xiàn)AB方程為y=kx+4,過(guò)定點(diǎn)-4,0．1212m=4k代入判別式大于零中,解得-<k<(k≠0)．當(dāng)m=-2k時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y=kx-2,過(guò)定點(diǎn)2,0,不符合題意．綜上所述：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-4,0．2.(2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸,y軸,且過(guò)A3兩點(diǎn).(-2,0),B1,2(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點(diǎn),直線(xiàn)l交橢圓C于P,Q(不與點(diǎn)A重合)兩點(diǎn),記直線(xiàn)AP,AQ,l的斜率分別為k,13k,k,若k+k=-,證明：△FPQ的周長(zhǎng)為定值,并求出定值.k2122+ny=1(m>0,n>0),【解析】(1)由已知設(shè)橢圓C方程為：mx232141,,得m=,n=代入A-2,0,B1,3y2故橢圓C方程為x243+=1.(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+m,Px,y,Qx,y,1122y=kx+m,223x+4y=12由2+8kmx+4m2-12=0得,2?4k+3xx+x=1-8km4k4m-1222+3,Δ=64k2222222m-44k+34m-12=192k-48m+144,x?x=1224k+3ykx+m1kx+m,x+22==,k=2又k1x+212x+211kx+m1kx+m22kxx+2kx+x+mx+x+4m=121212+k=2+故kx+21x+22xx+2x+x+4112222-24k-16km-8km+16km+12m-12-16km+16k128km2==4m22+123m-6k,-4km+4k23m222+k=-,得m-3km+2k=0,由kk12故m-2km-k=0?m=2k或m=k,①當(dāng)m=2k時(shí),直線(xiàn)l:y=kx+2k=kx+2,過(guò)定點(diǎn)A-2,0,與已知不符,舍去；②當(dāng)m=k時(shí),直線(xiàn)l:y=kx+k=kx+1,過(guò)定點(diǎn)-1,0,即直線(xiàn)l過(guò)左焦點(diǎn),此時(shí)Δ=192k2-48m22+144=144k+144>0,符合題意.所以△FPQ的周長(zhǎng)為定值4a=8.y2屆重慶市南開(kāi)中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為2,上x(chóng)a223.(20232b2頂點(diǎn)為D,斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),直線(xiàn)l恰好經(jīng)過(guò)D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過(guò)點(diǎn)D時(shí),若直線(xiàn)DM與直線(xiàn)l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.

2,所以a=2b=2c,【解析】(1)由題意知,離心率e=2x2y212+=11a2x2b2b1=-=-,所以k=-1；2a設(shè)Ax,y,Bx,y,兩式相減得k?kOMy2211222+=122ab2y2所以直線(xiàn)為y-1=-(x-2),即y=-x+3,所以b=c=3,橢圓方程為x2189+=1；y=kx+m(2)設(shè)直線(xiàn)為y=kx+m,由x2+2y2x+4kmx+2m2-18=0,得1+2k=1822x+x12-2km1+2km1+2k=2=22,y=,Δ=16km-41+2k22m-18=818k-m+9>0,222則xMM22y-3==6k+3-m22km=-k,解得m=6k2+3,1-2k22≠0,k≠±2所以kMx-0M1-2k2DM因?yàn)閘不過(guò)D點(diǎn),則6k2+3≠3,即k≠01-2k26k2+32>0,化簡(jiǎn)得4k4-4k2-3>0,1-2k則18k2+9-223,解得2k2-32k+1>0,k>22266所以k>2或k<-2.y2x2屆江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知A,A分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的ab左?右頂點(diǎn),B,F分別是C的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)P在C上,滿(mǎn)足PF⊥AA,AB∥OP,FA4.(202322=2-2.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l(與x軸不重合)交C于M,N兩點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)AM,AN的斜率分別為k,k,求證：kk為1212定值.y0cbabc.【解析】(1)因?yàn)镻F⊥AA,故可設(shè)P-c,y,因?yàn)锳B∥OP,故k∥k,即-=-,解得y=a0ABOP022bcabc在橢圓C上,故c22+=1,解得a2=2c2=2a-2b22,故a=2b=2c.又P-c,aa2b2又FA=2-2,故FA=a-c=2-1c=2-2,故c=2,a=2,b=2.y2故C的方程為x242+=1.y2(2)因?yàn)闄E圓方程為x+=1,故F-2,0,A2,0,當(dāng)l斜率為0時(shí)A,M或A,N重合,不滿(mǎn)足題意,242故可設(shè)l：x=ty-2.y242x2+=1+2y2-22ty-2=0,設(shè)Mx,y,Nx,y,則y+y=22t,yy=t+211221212聯(lián)立可得t22x=ty-2-.2t+22yy=x-2x-2ty-2-2ty-2-2yyk=12?故k12122121yy121==t2yy-2+2ty+y+2+22y+y2+22+22t2-2+2t1211yyyy1212

1==2-32t2+2-23+2221=22t+22+2t-2+2×232故定值為2-y2x21,其5.(2023屆重慶市第一中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,2a2b2右焦點(diǎn)為F3,0.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點(diǎn)P,Q在橢圓C上,右頂點(diǎn)為A,且滿(mǎn)足直線(xiàn)AP與AQ的斜率之積為1.求△APQ面積的最大20值.a=2c=33+1=1,解得b=1【解析】(1)依題可得,,a24b2a=b+c222c=3x42+y2=1.所以橢圓C的方程為3所以離心率e=2.(2)易知直線(xiàn)AP與AQ的斜率同號(hào),所以直線(xiàn)PQ不垂直于x軸,故可設(shè)PQ:y=kx+m,k≠0,Px,y,Qx,y,1122x42+y2=1可得,1+4k由222x+8mkx+4m-4=0,y=kx+m-8mk,xx=1+4k1224m-4,+x=所以x121+4k22y1y=2120x-2x-2201,Δ=164k+1-m22>0,而kk=,即?APAQ12+mkx+m=x-2x-2,化簡(jiǎn)可得20kx12122220kxx+20km(x+x)+20m=xx-2(x+x)+4,121212124m2-4+20km?-8mk+20m=4m2-4-2×-8mk+421+4k1+4k1+4k1+4k20k2?2222化簡(jiǎn)得6k2+mk-m2=0,所以m=-2k或m=3k,所以直線(xiàn)PQ:y=kx-2或y=kx+3,因?yàn)橹本€(xiàn)PQ不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,所以直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)-3,0.125=S-S=ABy-y=kx-x2設(shè)定點(diǎn)B-3,0,S2△APQ△ABP△ABQ12152=k(x+x)-4xx2121252-8km1+4k24m-4-4×1+4k222=k5k164k+1-m222101-5kk=2=,21+4k21+4k21<5因?yàn)?-5k2>0,所以0<k,29,設(shè)t=4k2+1∈1,5

5-5t+14t-951745932==-9-t92+≤所以S,29t22△APQ當(dāng)且僅當(dāng)t=即k21時(shí)取等號(hào),即△APQ面積的最大值為5.=71436.(202322屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考)已知雙曲線(xiàn)C:x-y=1和點(diǎn)B0,1.(1)斜率為k且過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于E,F兩點(diǎn),求∠EBF最小時(shí)k的值.(2)過(guò)點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于P,Q兩點(diǎn),若曲線(xiàn)C上存在定點(diǎn)A,使k+k為定值λ,求點(diǎn)A的AQAP坐標(biāo)及實(shí)數(shù)λ的值.【解析】(1)由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)Ex,y,F-x,-y,?BF=x,y-1?-x,-y-1=-x則BE-y+1,22因?yàn)镋點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上,所以x2-y=1,即y=x-1,且x≥12222?BF=21-x≤0,所以BE?BF=0,∠EBF為直角,當(dāng)x=1時(shí),BE?BF<0,∠EBF為鈍角,當(dāng)x>1時(shí),BE所以∠EBF最小時(shí),x=1,k=0.(2)設(shè)Am,n,由題意知?jiǎng)又本€(xiàn)一定有斜率,設(shè)點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)為y=tx+1,,y,Qx,y設(shè)Px2211x2-y=1,222x-2tx-2=0,,聯(lián)立得1-ty=tx+1,≠0,Δ=4t1-t22+81-t2>0,,解得t,2t22<2且t≠1,所以x+x=1-t21221-txx=-12,2y-ny-n=λ,x-mx-mk+k=λ,即APAQ+1212tx+1-ntx+1-n2x-m+=λ,即1x-m1化簡(jiǎn)得2t-λx122x+-mt+1-n+λmx+x-2m+2mn-λm=0,2212t-λ-2+-mt+1-n+λm2t-2m+2mn-λm=0,21-t21-t2-2mnt+2λm-n-1t+2λ-2m+2mn-λm22=0,化簡(jiǎn)得λm2由于上式對(duì)無(wú)窮多個(gè)不同的實(shí)數(shù)t都成立,λm-n-1=0,所以2λm-2mn=0,①2λ-2m+2mn-λm=0,②2m32m=n+1.=2mn,將①代入②得λ=m,從而如果m=0時(shí),那么n=-1,此時(shí)A0,-1不在雙曲線(xiàn)C上,舍去,因此m≠0,從而m2=2n,代入m=n+1,解得n=1,m=±2,2此時(shí)A±2,1在雙曲線(xiàn)上,綜上,A2,1,λ=2,或者A-2,1,λ=-2.y2+=1的左右頂點(diǎn),直線(xiàn)x37.(2023屆河北省邢臺(tái)市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期考試)已知A1、A為橢圓C：x22

=xA和直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P.與C交于A、B兩點(diǎn),直線(xiàn)A012(1)求點(diǎn)P的軌跡方程.1,求證以MN為直(2)直線(xiàn)l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn),直線(xiàn)NA1的斜率與直線(xiàn)MA斜率之比為-32徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).-1,0,A1,0,2【解析】(1)由題意得A1,y,Bx,-yy≠0,Px,y,設(shè)Ax00000=k,k=k,BA2則kPAyAA1PAy12y-yy2-y2=0,=,=,得即0x+1x+1x-1x-1022x-1x-1000y2y2又∵點(diǎn)x,y在C上,即x2-1=-,得=3,-103x2000y22∴x-=1y≠0；313(2)∵k=-k,NA1NA2設(shè)直線(xiàn)NA方程為x=-3my-1，m≠0,則MA方程為x=my+1,12x=-3my-1,得27m2x-=13聯(lián)立y2222-1y+18my=0(27m-1≠0且Δ>0),54m2-18m-1,y=,設(shè)Nx,y,得x=27m2-1227m-1NNNN-6m2-6m+1,y=,,y,得x=同理設(shè)Mx3m2-123m-1MMMMyyN-6m+23m-18m=-13m,54mk=MA==3m,k=NA1=x+1Mx+1-6m22-121M∴k?k=-1,即MA⊥NA,NMA1NA11∴以MN為直徑的圓一定過(guò)C的左頂點(diǎn).1y2x28.(2023屆安徽省皖南八校高三上學(xué)期考試)已知橢圓M:+=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)為F,F,且b2a212π.PF左焦點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠F的最大值為221(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)-2,-4的直線(xiàn)l與橢圓M交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)N2,0,記直線(xiàn)NA的斜率為k,直線(xiàn)NB的斜11kk1率為k,證明：+=1.21【解析】(1)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)坐標(biāo)為-2,0,所以c=2,2最大,又∠F的最大值為π.PF2PF當(dāng)點(diǎn)P在上?下頂點(diǎn)時(shí),∠F1221所以b=c=2,得a2=4,由a2=b+c22y2所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x242+=1；(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí),直線(xiàn)l的方程為y=-4,y2直線(xiàn)y=-4與橢圓x242+=1沒(méi)有交點(diǎn),與條件矛盾,故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+t,

y2x=my+t聯(lián)立直線(xiàn)l的方程與橢圓方程可得,+=1,x242+2y22=4,+2mtx+t-4=0,222222+2mtx+t-4=0的判別式Δ=4mt-4m+2t-4=16m-8t+32>0,又直線(xiàn)x=my+t過(guò)點(diǎn)-2,-4,所以-2=-4m+t,化簡(jiǎn)可得my+t2+2y22所以m由已知方程m2+2y228,所以7m2-8m<0,所以0<m<7,y,Bx,y,設(shè)Ax1122+y=-則y122mt,yy=2t-4,m2+2122m+2因?yàn)镹2,0x-2x-2my+t-2my+t-2y+y=2m+t-21yy11kk+=+=+所以所以12122,yyy1y212111212-2mt2t-42mt2mtt+=2m+t-2=2m-=2m-4m=2m-=1t+22kk12,y,Bx,y,方法二：設(shè)直線(xiàn)l的方程為mx-2+ny=1,Ax112222由橢圓M的方程x2+2y=4,得(x-2)+2y=-4x-2.2聯(lián)立直線(xiàn)l的方程與橢圓方程,得(x-2)2+2y=0,2=-4x-2mx-2+ny,+4nx-2y+2y2即1+4m(x-2)2x-2x-221+4m+4n+2=0,yy11x-2x-24n=-y1+4m+=+所以12.kk12y121,代入11+,因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)-2,-4,所以m+n=-4kk12x-2x-211+=4n1+4m+2y=-1+4m1+4m==1.得1kk12y12y2x2屆河北省石家莊高三上學(xué)期11月月考)已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,ab19.(202222F,橢圓Γ的離心率為2,橢圓Γ上的一點(diǎn)P滿(mǎn)足PF⊥x軸,且PF=1．2222(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A為橢圓Γ的左頂點(diǎn),若點(diǎn)B,C為橢圓Γ上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)AB,AC的斜率分別為k?k,且k?k=1,過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)D,問(wèn)：是否存在定點(diǎn)E,使得線(xiàn)段DE的ABACABAC長(zhǎng)為定值？若存在,求出定點(diǎn)E的坐標(biāo)及線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)由橢圓Γ上的一點(diǎn)P滿(mǎn)足PF⊥x軸,且PF=1,可得ba2=1,即b2=a,22c2,可得=2,即a=2c,又由橢圓Γ的離心率為2a2因?yàn)閍2-b2=c,聯(lián)立方程組,可得a=2,b=2,所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2x2+=1.42y2x2(2)由橢圓Γ:+=1,可得A(-2,0),42設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=mx+n(n≠2m),則B(x,mx+n),C(x,mx+n),1122

x2y=mx+n222,整理得(2m+1)x+4mnx+2n-4=0,+=142聯(lián)立方程組y24mn2m+122n-4,則Δ=8(4m2-n+2)>0,x+x=2,xx=1222m+1122(mx+n)(mx+n)?k=1,可得由kABAC=1,12(x+2)(x+2)122-1)xx+(mn-2)(x+x)+n-4=0,即(m2可得(m2-1)(2n整理得12m2-8mn+n121-4)+(mn-2)(-4mn)+(n222-4)(2m+1)=0,22=0,所以(6m-n)(2m-n)=0,所以n=6m或n=2m(舍去),所以直線(xiàn)BC的方程為y=mx+6m,即y=m(x+6),當(dāng)x=-6時(shí),y=0,可得直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)F-6,0,因?yàn)镺D⊥BC,所以點(diǎn)D在以O(shè)F為直徑的圓上,所以當(dāng)點(diǎn)E為線(xiàn)段OF的中點(diǎn)時(shí),線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為定值,此時(shí)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為3,點(diǎn)E3,0.y2x2屆八省八校(T8聯(lián)考)高三上學(xué)期聯(lián)考)設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0),圓C:(x-2m)+(y-2ab10.(2022224m)=1(m≠0),點(diǎn)F,F,分別為E的左右焦點(diǎn),點(diǎn)C為圓心,O為原點(diǎn),線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)為l．已2121知E的離心率為2,點(diǎn)F,F關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在圓C上．12(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m,使直線(xiàn)AC與BC的斜率之和為2若存3在,求實(shí)數(shù)m的值；若不存在,說(shuō)明理由．c1=,則a=2c【解析】(1)由已知,e=a2,FF12設(shè)點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M,N,因?yàn)辄c(diǎn)O,C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),O為線(xiàn)段F的中點(diǎn),則C為線(xiàn)12段MN的中點(diǎn),從而線(xiàn)段MN為圓C的一條直徑,所以FF=|MN|=2,即2c=2,即c=1．12y2-c2=3,所以橢圓E的方程是x+=1．432于是a=2,b2=a2(2)因?yàn)樵c(diǎn)O為線(xiàn)段FF的中點(diǎn),圓心C為線(xiàn)段MN的中點(diǎn),直線(xiàn)l為線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn),12所以點(diǎn)O與C也關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),因?yàn)辄c(diǎn)C(2m,4m),則線(xiàn)段OC的中點(diǎn)為(m,2m),直線(xiàn)OC的斜率為2,又直線(xiàn)l為線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn),15m1(x-m),即y=-x+所以直線(xiàn)l的方程為y-2m=-22．2y215mx2+=1,得3x2代入43x5m+4-+=12,即4x2x+222-10mx+25m-12=0．將y=-222設(shè)點(diǎn)Ax,y,Bx,y,則x+x=5m,xx=225m-12．2411221212y-4m1x-2my-4m2x-2mx+3m=-1+22x-2mx+3m+k=BC+所以k1x-2m2AC121x+3mx-2m+x+3mx-2m=-2x-2mx-2m112212xx+mx+x-12m22．2=-12122xx-4mx+x+8m21212xx+mx+x-12m122+=0,得2xx-mx+x-4m23232xx-4mx+x+8m2+k=,則2=0．由已知,k12ACBC12122121

25m22-125m22-4m-2=0,即m2=1,即m=±1．．2<,即|m|<416-1625m-12>0,解得m255所以因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓E相交,則Δ=100m24因?yàn)?2<1,所以不存在實(shí)數(shù)m,使直線(xiàn)AC與BC的斜率之和為2．3y2x2屆上海市嘉定區(qū)高三一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓Γ：+=1a>b>0的左、a