第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算

27．3圓中的計(jì)算問題第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算【知識(shí)與技能】理解弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握公式并能正確、熟練地運(yùn)用兩個(gè)公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．【過程與方法】經(jīng)歷用類比、聯(lián)想的方法探索公式推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，分析問題和解決問題的能力．【情感態(tài)度】通過聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)發(fā)展的觀點(diǎn)，滲透辯證唯物主義思想方法．【教學(xué)重點(diǎn)】弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式．【教學(xué)難點(diǎn)】應(yīng)用公式解決問題．一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)圓的周長(zhǎng)和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長(zhǎng)與扇形面積應(yīng)怎樣計(jì)算？它們與圓的周長(zhǎng)、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索．【教學(xué)說(shuō)明】教師確立延伸目標(biāo)，讓學(xué)生獨(dú)立思考，為本課學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．二、思考探究，獲取新知探究1：弧長(zhǎng)的計(jì)算公式(1)已知⊙O半徑為2，這個(gè)圓的周長(zhǎng)是________，面積是________．當(dāng)圓心角為180°時(shí)，弧長(zhǎng)是________，弧為圓周的________分之________；當(dāng)圓心角為360°時(shí)，弧長(zhǎng)是________，弧為圓周的________分之________；當(dāng)圓心角為90°時(shí)，弧長(zhǎng)是________，弧為圓周的________分之________；當(dāng)圓心角為60°時(shí)，弧長(zhǎng)是________；弧為圓周的________分之________；當(dāng)圓心角為30°時(shí)，弧長(zhǎng)是________；弧為圓周的________分之________；……當(dāng)圓心角為1°時(shí)，弧長(zhǎng)是________；弧為圓周的________分之________；(2)你能推導(dǎo)出半徑為R，圓心角為n°時(shí)，弧長(zhǎng)是多少嗎？【歸納結(jié)論】如果弧長(zhǎng)為l，圓心角的度數(shù)為n，圓的半徑為r，那么，弧長(zhǎng)為l＝eq\f(n,360)·2πr＝eq\f(nπr,180)探究2：扇形面積公式如圖所示的各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾？(1)圓心角是180°，占整個(gè)周角的eq\f(180,360)，因此圓心角是180°的扇形面積是圓面積的________．(2)圓心角是90°，占整個(gè)周角的________，因此圓心角是90°的扇形面積是圓面積的________．(3)圓心角是45°，占整個(gè)周角的________，因此圓心角是45°扇形面積是圓面積的________．(4)圓心角是1°，占整個(gè)周角的________，因此圓心角是1°的扇形面積是圓面積的________．(5)圓心角是n°，占整個(gè)周角的________，因此圓心角是n°的扇形面積是圓面積的________．【歸納結(jié)論】扇形面積的計(jì)算公式為S＝eq\f(nπr2,360)或S＝eq\f(1,2)lr【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生交流討論；在老師的指引下，在熱烈的討論中互相啟發(fā)、質(zhì)疑、爭(zhēng)辯、補(bǔ)充，自己得出幾個(gè)公式．三、運(yùn)用新知，深化理解1．見教材P61例12．制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料，試計(jì)算下圖中管道的展直長(zhǎng)度，即eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)(結(jié)果精確到mm)分析：要求管道的展直長(zhǎng)度，即求eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)，根根弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)可求得eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)，其中n為圓心角，R為半徑．解：R＝40mm，n＝110.∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)＝eq\f(n,180)πR＝eq\f(110,180)×40π≈mm.因此，管道的展直長(zhǎng)度約為mm.3．扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120°，求eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)(結(jié)果精確到cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到cm2)分析：要求弧長(zhǎng)和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個(gè)問題就解決了．解：eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)＝eq\f(120,180)π×12≈cm.S扇形＝eq\f(120,360)π×122≈cm2.因此，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)約為cm，扇形AOB的面積約為cm2.4．如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為6πcm，eq\o(CD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為10πcm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據(jù)扇形面積S＝eq\f(1,2)lR，l已知，則需要求兩個(gè)半徑OC與OA，因?yàn)镺C＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．解：設(shè)OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根據(jù)已知條件有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6π＝\f(nπR,180)①,10π＝\f(n,180)π（R＋12）②))eq\f(①,②)得eq\f(3,5)＝eq\f(R,R＋12).∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.∴OC＝18＋12＝30.∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝eq\f(1,2)×10π×30－eq\f(1,2)×6π×18＝96πcm2.所以陰影部分的面積為96πcm2.【教學(xué)說(shuō)明】通過這幾道例題教學(xué)，鞏固兩個(gè)公式，并學(xué)習(xí)規(guī)范的書寫步驟．四、師生互動(dòng)、課堂小結(jié)本節(jié)課你有哪些收獲和體會(huì)？1．布置作