畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）：Gronwall不等式在微分方程中的應(yīng)用

題目:Gronwall不等式在微分方程中的應(yīng)用摘要

Gronwall不等式由Gronwall在1919年發(fā)現(xiàn)其微分形式，并證明。是在數(shù)學(xué)中一種十分重要的不等式。Gronwall不等式通常在微分方程中有著許多方面的運(yùn)用。所以本文將主要對Gronwall不等式的若干性質(zhì)進(jìn)行闡述并推廣以及應(yīng)用。并且用Gronwall不等式的相關(guān)性質(zhì)及推廣來解決在微分方程中的問題及其相關(guān)證明。闡明Gronwall的重要意義。論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容第一部分：研究目的及意義

Gronwall在數(shù)學(xué)運(yùn)用中占有十分重要的作用，尤其是在微分方程的領(lǐng)域,其具各種不同的性質(zhì)及作用。Gronwall不等式在解決常微分方程解的一些取值范圍、唯一性等方面的問題上就常常要用到其不等式。所有我們可以探討并研究Gronwall不等式的一些理論和性質(zhì)及相關(guān)推廣；并在利用Gronwall探討和分析常微分方程在不等式方面關(guān)于解與其他相關(guān)理論等問題及Gronwall的相關(guān)推廣。以達(dá)到對其在數(shù)學(xué)方面的的應(yīng)用。

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容第二部分：Gronwall不等式及其證明 定理Gronwall不等：設(shè)為非負(fù)常數(shù)，和為在上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式則有證明：當(dāng)時(shí)，由條件不等式得，兩邊從到積分得

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容當(dāng)時(shí)

，這時(shí)條件不等式變?yōu)榭梢缘贸?/p>

綜上可得，對，成立。從而由可得，再由的任意性可知綜合、可知

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容第三部分：Gronwall不等式的推廣

3.1非負(fù)變量下的Gronwall不等式 3.2函數(shù)矩陣范數(shù)的Gronwall積分不等式 3.3Gronwall不等式二重積分推廣

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容第四部分：Gronwall不等式的應(yīng)用

4.1Gronwall不等式在一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題的應(yīng)用 4.2Gronwall不等式在函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性的應(yīng)用4.3Gronwall不等式在抽象微分方程中解的應(yīng)用 4.4Gronwall不等式在線性微分方程中的應(yīng)用 4.5Gronwall不等式在常微分方程中的應(yīng)用

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容4.1Gronwall不等式在一階微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性問題的應(yīng)用 定義4.1函數(shù)稱為在上關(guān)于滿足Lipschitz條件,如果存在常數(shù),并滿足下式對于所有都成立。L稱為Lipschitz常數(shù)。證明：初值問題的等價(jià)積分方程是設(shè)是初值問題的解，假若還另有一解為，則因?yàn)檎撐牡慕Y(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容有其中為Lipschitz常數(shù)。由第二部分中的定理和推論有

即

則

同理可證。

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容4.2Gronwall不等式在函數(shù)矩陣微分方程解的唯一性的應(yīng)用定理4.2已知如果函數(shù)矩陣微分方程初值問題有解,那么則其解唯一。其中論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容證明：設(shè)與都是初值問題的解初值問題的等價(jià)積分方程是論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容由第二部分定理有

即

則論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容4.3Gronwall不等式在抽象微分方程中解的應(yīng)用已知函數(shù)：且滿足

(4-1)其中表示中的范數(shù)，為上連續(xù)連續(xù)非負(fù)數(shù)，為連續(xù)不減的函數(shù)且當(dāng)。當(dāng)且滿足微分方程（4.2）

證明:當(dāng)有界。論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容證設(shè)，當(dāng)，由Cauchy不等式得

由公式（4-1）得

再由定理：設(shè)是上單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù),,當(dāng)時(shí)。是非負(fù)的連續(xù)函數(shù),是上有界可測。如果存在正常數(shù),使得

論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容則有 可以得到(4-3)其中從而類似于定理的證明，可得

(4-4)當(dāng)時(shí)結(jié)合(4-3)、(4-4)可知結(jié)論成立。論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容4.4Gronwall不等式在線性微分方程中的應(yīng)用 給出定理：已知是在區(qū)間之間上的維連續(xù)向量函數(shù)，是非負(fù)矩陣，如果則例在非齊次常系數(shù)線性微分方程組，設(shè)為階方陣，求證下列式子有唯一解。證明：把上述微分初值問題化成下述等價(jià)的積分方程組有論文的結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容

假設(shè)方程組除解之外，還有另外的解。并且由于

所以令則有

由定理可知在上有