人教A版 新教材7.5 正態(tài)分布

第七章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布例李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)，樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布．（1）估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；（2）根據(jù)（1）中估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；（3）如果某天有可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具？如果某天只有可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具？請(qǐng)說明理由．分析：（1）正態(tài)分布由參數(shù)和完全確定，根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)．（3）這是一個(gè)概率決策問題，首先要明確決策的準(zhǔn)則：在給定的時(shí)間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具；然后結(jié)合圖形，根據(jù)概率的表示，比較概率的大小？作出判斷．解：（1）隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2．用樣本均值估計(jì)參數(shù)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)，可以得到；．（2）X和Y的分布密度曲線如圖7.5-7所示．圖7.5-7（3）應(yīng)選擇在給定時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具．由圖7.5-7可知，，．所以，如果有可用；那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車；如果只有可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車．練習(xí)1.設(shè)隨機(jī)變量，則X的密度函數(shù)為________，________，________，________，________．（精確到0.0001．）【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和原則，即可求解.【詳解】由題意，機(jī)變量，則的密度函數(shù)為，因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，，，2.設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，畫出分布密度曲線草圖，并指出與的關(guān)系，以及與之間的大小關(guān)系．【答案】圖見解析；；.【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的運(yùn)算的幾何意義結(jié)合圖形求解即可.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱.:∵越大，鐘型越扁平∴3．舉出兩個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的例子．習(xí)題7.5復(fù)習(xí)鞏固3.對(duì)某地區(qū)數(shù)學(xué)考試成績的數(shù)據(jù)分析，男生成績X服從正態(tài)分布，女生成績Y服從正態(tài)分布．請(qǐng)你從不同角度比較男、女生的考試成績．【答案】女生的平均成績高于男生的平均成績；男生的成績比較分散，女生的成績比較集中.【解析】【分析】根據(jù)男生成績X服從，女生成績Y服從，結(jié)合正態(tài)分布中和的值的大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知男生成績X服從正態(tài)分布，女生成績Y服從正態(tài)分布，因?yàn)?，所以女生的平均成績高于男生的平均成績；又由，所以男生的成績比較分散，女生的成績比較集中.4.某市高二年級(jí)男生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，隨機(jī)選擇一名本市高二年級(jí)的男生，求下列事件的概率：（1）；（2）；（3）．【答案】(1)0.6827(2)0.15865(3)0.15865.【解析】【分析】利用正態(tài)分布的計(jì)算公式結(jié)合對(duì)稱性求解即可.【詳解】由題可得:身高X作為變量符合均值為的正態(tài)分布(1)(2)(3).5.若，則X位于區(qū)域內(nèi)的概率是多少？【答案】.【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，結(jié)合原則，即可求解.【詳解】由題意，隨機(jī)變量，可得,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得.故答案為：.綜合運(yùn)用6.袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4．請(qǐng)你估計(jì)這批袋