奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握判斷某些函數(shù)奇偶性的方法．(邏輯推理)3．掌握奇偶函數(shù)的圖象特征．(直觀想象)4．會(huì)根據(jù)概念和圖象判斷簡單函數(shù)的奇偶性．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】1．學(xué)習(xí)本節(jié)知識要注意結(jié)合前面所學(xué)的知識，如單調(diào)性、函數(shù)圖象、解析式等，加強(qiáng)它們的聯(lián)系．2．學(xué)生應(yīng)理解“奇偶性”的實(shí)質(zhì)，也就是圖象的對稱性：是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱還是關(guān)于y軸的軸對稱．必備知識·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識·探新知

函數(shù)的奇偶性

基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)1前提函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，?x∈I，都有－x∈I條件f(－x)＝__________f(－x)＝____________結(jié)論函數(shù)f(x)叫__________函數(shù)f(x)叫__________f(x)－f(x)偶函數(shù)奇函數(shù)思考1：(1)如果定義域內(nèi)存在x0，滿足f(－x0)＝f(x0)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎？(2)函數(shù)的奇偶性定義中，對于定義域內(nèi)任意的x，滿足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？提示：(1)不一定，必須對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立．(2)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．

圖象特征(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于_____軸對稱．(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對稱．思考2：奇函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)嗎？提示：若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0，圖象經(jīng)過原點(diǎn)；若奇函數(shù)f(x)在x＝0處無意義，圖象就不經(jīng)過原點(diǎn)．y

知識點(diǎn)2原點(diǎn)1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(

)B基礎(chǔ)自測2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(

)A．y＝2x2－3

B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x[解析]

對于A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，B，D都為奇函數(shù)，C中定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)不具備奇偶性．A3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)B3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(

)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)[解析]

f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以F(x)是偶函數(shù)．B3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)關(guān)鍵能力·攻重難3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)題型一函數(shù)奇偶性的判斷題型探究例13.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)[分析]

(1)函數(shù)具備奇偶性時(shí)，函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？(2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)把握好哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)[歸納提升]

判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：即若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇題、填空題中．3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，∴f(x)＝0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)(5)函數(shù)f(x)＝2x＋1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函數(shù)，又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函數(shù)，∴y＝2x＋1既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．(6)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)f(x)不具有奇偶性．3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，求不等式f(x)<0的解集．[分析]

利用奇函數(shù)圖象的對稱性，畫出函數(shù)f(x)在[－5,0]上的圖象，再根據(jù)圖象寫出不等式f(x)<0的解集．題型二奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例23.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)[解析]

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在[－5，5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．根據(jù)f(x)在[0,5]上的圖象畫出在[－5,0]上的圖象，如圖中虛線所示．由圖象知不等式f(x)<0的解集為{x|－2<x<0或2<x≤5}．3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)3.2.2奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(共49張PPT)[歸納提升]

已知函數(shù)的奇偶性及部分圖象，根據(jù)對稱性可補(bǔ)出另一部分圖象，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．【對點(diǎn)練習(xí)】?已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請補(bǔ)全完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間．[分析]

∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱性作出函數(shù)y＝f(x)在x>0時(shí)的圖象．[解析]

(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．

已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.試求f(x)在R上的表達(dá)式．[分析]

(1)如何把(－∞，0)上的未知解析式轉(zhuǎn)移到(0，＋∞)上的已知解析式？(2)奇函數(shù)f(x)在x＝0處的函數(shù)值是多少？由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知y＝f(x)是奇函數(shù)．利用奇函數(shù)性質(zhì)可求得解析式．題型三利用函數(shù)的奇偶性求解析式例3[歸納提升]

利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求給定哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x(另一個(gè)已知區(qū)間上的解析式中的變量)，通過適當(dāng)推導(dǎo)，求得所求區(qū)間上的解析式．【對點(diǎn)練習(xí)】?已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)的解析式．[解析]

設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x2－x－1.

定義在(－1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[分析]

利用f(x)是奇函數(shù)，把f(1－a)＋f(1－3a)<0變形為f(1－3a)<f(a－1)，再根據(jù)單調(diào)性列出不等式(組)求解．題型四單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例4奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件[歸納提升]

解答這類題的思路是：先由函數(shù)的奇偶性將不等式兩邊都變成只含“f”的式子，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組)求解．奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件A奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件誤區(qū)警示例5奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件[錯(cuò)因分析]

錯(cuò)解中忽略了函數(shù)的定義域，若一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，它是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件[正解]

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?－2,2]，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,1)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件[方法點(diǎn)撥]判斷函數(shù)奇偶性的步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．(2)①當(dāng)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，函數(shù)不具有奇偶性，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．②當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系：若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)＋f(－x)＝0，則f(x)為奇函數(shù)．奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用——再談恒成立問題1．在我們數(shù)學(xué)研究中，存在大量的恒成立問題，如：(1)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則對任意x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)恒成立；(2)若f(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)镸，則f(－x)＝－f(x)對任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镸，則對任意x∈M,f(－x)＝f(x)恒成立；學(xué)科素養(yǎng)奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件(3)若f(x)的最大值為M，最小值為m，定義域?yàn)锳，則對任意x∈A，有m≤f(x)≤M.解答這類問題時(shí)，應(yīng)充分利用其恒成立的特點(diǎn)選取解答方法．2．遇到f(－x)與f(x)的關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)首先從函數(shù)f(x)的奇偶性入手考慮，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函數(shù)g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性來解答．奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件奇偶性【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊課件

已知f(x)＝x5＋