離散隨機(jī)變量的概率分布

離散隨機(jī)變量的概率分布第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

p1

，p2

，…pK…

P

x1，x2，…xk，…

X離散隨機(jī)變量分布列的表格表示法公式法表格法性質(zhì)第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)X的分布列為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）

=1/2+1/6=2/3分布列確定概率解第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月=P(抽得的兩件全為次品)求分布列舉例

例

設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P{X=1}P{X=2}=P(只有一件為次品)P{X=0}第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月故X的分布列為而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！故第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X的分布列。解

記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…是相互獨(dú)立的！且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)對應(yīng)著事件

例第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為試確定常數(shù)b.解由分布列的性質(zhì),有例第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見的離散型分布0-1分布(二點(diǎn)分布)1－pp

P

01

X

則稱X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布或(0-1)分布,應(yīng)用范圍：樣本空間只有兩個樣本點(diǎn)的情況都可以用兩點(diǎn)分布來描述。如：上拋一枚硬幣。定義：

若隨機(jī)變量X的分布列為:第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)一個袋中裝有3個紅球和7個白球，現(xiàn)在從中隨機(jī)抽取一球，如果每個球抽取的機(jī)會相等，并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機(jī)抽取一球所得的值是一個離散型隨機(jī)變量其概率分布為即X服從兩點(diǎn)分布。第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布(也稱Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)二項分布在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機(jī)變量X的分布列第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月普阿松分布

若隨機(jī)變量X的分布列為:其中>0,則稱X服從參數(shù)為的普阿松分布X～P()第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月1、服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；2、交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;3、礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);4、顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物數(shù)目；5、單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目等等。

體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作普阿松分布,其參數(shù)可以由觀測值的平均值求出。實際問題中R.v.X是服從或近似服從普阿松分布的例子。第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從的普阿松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率例解第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

實際應(yīng)用中：當(dāng)n較大,p較小，np適中時，即可用泊松公式近似替換二項概率公式二項分布的泊松近似泊松定理第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求出事故至少兩次的概率.400次上街400重Bernoulii實驗記X為出事故的次數(shù)，則≈1-e-8-8e-8≈0.9972

P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)表明隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件總會發(fā)生的！=1-0.98400-400（0.02)(0.98399)≈0.9970

例