概率論-第十三講-協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)課件

教學(xué)目的：

1.矩的概念.2.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)3切貝謝夫不等式

第十三講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第三章，§3.6～3.7。一矩設(shè)X為離散r.v.分布為X連續(xù)r.v.，d.f.為定義二協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系稱為X,Y的協(xié)方差.記為稱為（X,Y）的協(xié)方差矩陣可以證明

協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱X,Y不相關(guān).無量綱的量

若(X,Y)為離散型，若(X,Y)為連續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP解

例2設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求例3設(shè)~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是給定的常數(shù)，求XY解若若有線性關(guān)系若不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系協(xié)方差的性質(zhì)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立—Cauchy-Schwarz不等式證

令對(duì)任何實(shí)數(shù)t,即等號(hào)成立有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn)即顯然

即即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1,這種線性關(guān)系為完全類似地可以證明當(dāng)E(X2)>0,E(Y

2

)>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為如例1中

X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1已求得,則必有其中

X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)三、切比曉夫不等式定理：（切比曉夫不等式）隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望,對(duì)任意>0,不等式成立，或返回主目錄返回主目錄例4假設(shè)一批種子的良種率為，從中任意選出600粒，試用切比曉夫（Chebyshev）不等式估計(jì)：這600粒種子中良種所占比例與之差的絕對(duì)值不超過0.02的概率。性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立反例1XYpij-101-1010p?jpi?[附錄1]XYP-101但反例2但幾個(gè)重要的r.v.函數(shù)的數(shù)學(xué)期望——X的k階原點(diǎn)矩——X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩——X的k階中心矩——X的方差[附錄2]——X,Y的k+l階混合原點(diǎn)矩——X,Y的k+l階混合中心矩——X,Y的二階原點(diǎn)矩——X,Y的二階混合中心矩

X,Y的協(xié)方差——X,Y的相關(guān)系數(shù)經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后ThankYou在別人的演說中