中考模擬好題匯編第15講 概率與統(tǒng)計(jì)解答題（解析版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除PAGEPAGE1僅供參考第15講概率與統(tǒng)計(jì)解答題一、解答題1．（2021·湖北高三一模）全球變暖已經(jīng)是近在眼前的國際性問題，冰川融化?極端氣候的出現(xiàn)?生物多樣性減少等等都會(huì)給人類的生存環(huán)境帶來巨大災(zāi)難.某大學(xué)以對(duì)于全球變暖及其后果的看法為內(nèi)容制作一份知識(shí)問卷，并邀請(qǐng)40名同學(xué)(男女各占一半)參與問卷的答題比賽，將同學(xué)隨機(jī)分成20組，每組男女同學(xué)各一名，每名同學(xué)均回答同樣的五個(gè)問題，答對(duì)一題得一分，答錯(cuò)或不答得零分，總分5分為滿分.最后20組同學(xué)得分如下表：組別號(hào)12345678910男同學(xué)得分4554554455女同學(xué)得分3455545553組別號(hào)11121314151617181920男同學(xué)得分4444445543女同學(xué)得分5545435345（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該次比賽是否得滿分”與“性別”有關(guān)：男同學(xué)女同學(xué)總計(jì)該次比賽得滿分該次比賽未得滿分總計(jì)（2）隨機(jī)變量表示每組男生分?jǐn)?shù)與女生分?jǐn)?shù)的差，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式和數(shù)據(jù)：，.0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性別”有關(guān)；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，然后利用公式，取得的值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論.（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，得到的可能取值為-2，-1，0，1，2，然后利用古典概型分別求得其相應(yīng)的概率，列出分布列，再利用期望公式求解.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：男同學(xué)女同學(xué)總計(jì)該次比賽得滿分81119該次比賽未得滿分12921總計(jì)202040所以，，所以沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性別”有關(guān).（2）的可能取值為-2，-1，0，1，2.，則的分布列為-2-1012所以.2．（2021·浙江寧波市·高二課時(shí)練習(xí)）為確保我國如期全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．在產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，某玩具廠對(duì)原有的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，為了更好地對(duì)比升級(jí)前和升級(jí)后的效果，其中甲生產(chǎn)線繼續(xù)使用舊的生產(chǎn)模式，乙生產(chǎn)線采用新的生產(chǎn)模式．質(zhì)檢部門隨機(jī)抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根據(jù)檢測結(jié)果將它們分為“A”、“B”、“C”三個(gè)等級(jí)，等級(jí)都是合格品，C等級(jí)是次品，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：等級(jí)ABC頻數(shù)1007525（表二）合格品次品合計(jì)甲80乙5合計(jì)在相關(guān)政策扶持下，確保每件合格品都有對(duì)口銷售渠道，但從安全起見，所有的次品必須由廠家自行銷毀．（1）請(qǐng)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并判斷是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)？（2）每件玩具的生產(chǎn)成本為20元，等級(jí)產(chǎn)品的出廠單價(jià)分別為m元、40元．若甲生產(chǎn)線抽檢的玩具中有35件為A等級(jí)，用樣本的頻率估計(jì)概率，若進(jìn)行技術(shù)升級(jí)后，平均生產(chǎn)一件玩具比技術(shù)升級(jí)前多盈利12元，則A等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為多少元？附：，其中．0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)；（2）60元.【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，根據(jù)卡方檢驗(yàn)公式計(jì)算卡方值，結(jié)合對(duì)照表即可判斷產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)的相關(guān)程度；（2）法一：由甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)確定它們?nèi)〉貌煌麧櫟姆植剂校鶕?jù)分布列求各自利潤的期望值，由求參數(shù)m即可；法二：根據(jù)甲乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)，結(jié)合均值的求法求它們的平均值，結(jié)合求參數(shù)m即可；【詳解】解：（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：合格品次品合計(jì)甲8020100乙955100合計(jì)17525200設(shè)產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)無關(guān)．由，可得．，故有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與技術(shù)升級(jí)有關(guān)．（2）法一：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級(jí)，45件等級(jí)，20件等級(jí)，對(duì)于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級(jí)，30件等級(jí)，5件等級(jí)；對(duì)于乙生產(chǎn)線，單位產(chǎn)品利潤的取值可能為，的分布列如下：20則，依題意．，，所以，等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元．法二：甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有35件等級(jí)，45件等級(jí)，20件等級(jí)，乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有65件等級(jí)，30件等級(jí)，5件等級(jí)；因?yàn)橛脴颖镜念l率估計(jì)概率所以對(duì)于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤對(duì)于乙生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤依題意．，，所以，等級(jí)產(chǎn)品的出產(chǎn)單價(jià)為60元．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用卡方檢驗(yàn)公式計(jì)算卡方值，比照對(duì)照表判斷相關(guān)性；（2）應(yīng)用分布列求期望或直接求數(shù)據(jù)的平均值，結(jié)合已知求參數(shù).3．（2021·全國高三專題練習(xí)）某校將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投次，先在處投一次三分球，投進(jìn)得分，未投進(jìn)不得分，以后均在處投兩分球，每投進(jìn)一次得分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于分即通過測試，并終止投籃.甲、乙兩位同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在處和處各投次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如圖表：

若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）求甲同學(xué)通過測試的概率；（2）在甲、乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）記甲同學(xué)累計(jì)得分為，計(jì)算出甲同學(xué)兩分球和三分球投籃命中的概率，進(jìn)而可計(jì)算得出，即為所求；（2）設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件，“甲、乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事件，計(jì)算出、，利用條件概率公式可求得，即為所求.【詳解】（1）甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，所以，甲同學(xué)通過測試的概率為；（2）乙同學(xué)兩分球投籃命中率為，乙同學(xué)三分球投籃命中率為.設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為，則，，設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件，“甲、乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事件，則，，由條件概率公式可得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用定義法求條件概率的步驟：（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計(jì)算、；（3）代入公式求.4．（2021·廣東廣州市·高三一模）某中學(xué)舉行籃球趣味投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每位選手各投5個(gè)球，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，投不進(jìn)球得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，投不進(jìn)球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在區(qū)和區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為和，且各次投籃的結(jié)果互不影響.（1）若甲投籃得分的期望值不低于7分，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是多少個(gè)？（2）若甲在區(qū)投3個(gè)球且在區(qū)投2個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率.【答案】（1）3；（2）【分析】（1）先求出甲在區(qū)和在B區(qū)投一次得分的期望，設(shè)在區(qū)投次，計(jì)算出總的期望，列出不等式可求；（2）可得甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有5種情況，分別求出概率，相加即可得出.【詳解】（1）甲在區(qū)進(jìn)球的概率為，投進(jìn)一球得2分，則在區(qū)投一次得分的期望為，同理在B區(qū)投一次得分的期望為，設(shè)在區(qū)投次，在B區(qū)投次，則總的期望值，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的球數(shù)最多是3個(gè)；（2）由題可得甲在區(qū)投3個(gè)球，得分可能是0，2，4，6，在區(qū)投2個(gè)球，得分可能是0，3，6，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：A區(qū)2分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)4分B區(qū)3分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)0分，概率為，A區(qū)6分B區(qū)3分，概率為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查概率的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確找出所有的情況，并能爭取利用概率公式計(jì)算.5．（2021·全國高三專題練習(xí)）某校針對(duì)高一學(xué)生安排社團(tuán)活動(dòng)，周一至周五每天安排一項(xiàng)活動(dòng)，活動(dòng)安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五活動(dòng)項(xiàng)目籃球國畫排球聲樂書法要求每位學(xué)生選擇其中的三項(xiàng)，學(xué)生甲決定選擇籃球，不選擇書法；乙和丙無特殊情況，任選三項(xiàng).（1）求甲選排球且乙未選排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人選擇排球的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，【分析】（1）設(shè)事件，分別求出甲、乙同學(xué)選排球的概率，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，即可得出結(jié)果.（2）求出丙同學(xué)選排球的概率，X的可能取值為0，1，2，3，分別求出概率，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)A表示事件“甲同學(xué)選排球”B表示事件“乙同學(xué)選排球”則因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以甲同學(xué)選排球且乙同學(xué)未選排球的概率為：（2）設(shè)C表示事件“丙同學(xué)選排球”，則X的可能取值為0，1，2，3則；X的分布列為X0123P數(shù)學(xué)期望為6．（2021·全國高三專題練習(xí)）在一次大范圍的隨機(jī)知識(shí)問卷調(diào)查中，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位：元)2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為41.25元.【分析】（1）根據(jù)題意直接計(jì)算平均值即可，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，即得a值；（2）先根據(jù)正態(tài)分布知獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為,再結(jié)合獲得隨機(jī)話費(fèi)的金額和概率情況寫分布列，并計(jì)算期望即可.【詳解】解：（1）①由題意得：，，②，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性得，，解得；（2）由題意得，，即獲贈(zèng)1次和2次隨機(jī)話費(fèi)的概率均為,故獲贈(zèng)話費(fèi)的的所有可能取值為20，40，50，70，100，，，，.的分布列為：20405070100元.所以的數(shù)學(xué)期望為41.25元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）.7．（2021·全國高三專題練習(xí)）太陽能熱水器因節(jié)能環(huán)保而深受廣大消費(fèi)者的青睞，但它也有缺點(diǎn)——持續(xù)陰天或雨天便無法正常使用.為了解決這一缺陷，現(xiàn)在的太陽能熱水器水箱上都安裝了輔助電加熱器，如果天氣不好或冬季水溫?zé)o法滿足需要時(shí)，就可以通過輔助電加熱器把水溫升高，方便用戶使用.某工廠響應(yīng)“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定把原來給鍋爐加熱的電熱水器更換成電輔式太陽能熱水器.電輔式太陽能熱水器的耗電情況受當(dāng)天的日照時(shí)長和日均氣溫影響，假設(shè)每天的日照情況和日均氣溫相互獨(dú)立，該電輔式太陽能熱水器每日耗電情況如下表所示：日照情況日均氣溫不低于15℃日均氣溫低于15℃日照充足耗電0千瓦時(shí)耗電5千瓦時(shí)日照不足耗電5千瓦時(shí)耗電10千瓦時(shí)日照嚴(yán)重不足耗電15千瓦時(shí)耗電20千瓦時(shí)根據(jù)調(diào)查，當(dāng)?shù)孛刻烊照粘渥愕母怕蕿?，日照不足的概率為，日照?yán)重不足的概率為.2020年這一年的日均氣溫的頻率分布直方圖如圖所示，區(qū)間分組為，，，，，.（1）求圖中的值，并求一年中日均氣溫不低于15℃的頻率；（2）用頻率估計(jì)概率，已知該工廠原來的電熱水器平均每天耗電20千瓦時(shí)，試估計(jì)更換電輔式太陽能熱水器后這一年能省多少電？（一年以365天計(jì)算）【答案】（1），；（2）千瓦時(shí).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中頻率和為1求出區(qū)間的頻率，再除以組距求得的值，再利用長方形面積等于頻率，求出不低于15℃的頻率；（2）由（1）知一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計(jì)值為，低于15℃的概率的估計(jì)值為，分析題意可知，使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量的可能取值為0，5，10，15，20，分別算出事件對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，即可得出期望，得到使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量，進(jìn)而得到一年可以節(jié)省的電量.【詳解】（1）依題意得.一年中日均氣溫不低于15℃的頻率為.（2）這一年中日均氣溫不低于15℃的概率的估計(jì)值為，一年中日均氣溫低于15℃的概率的估計(jì)值為，設(shè)使用電輔式太陽能熱水器日均耗電量為，的所有可能取值為0，5，10，15，20，，，，.所以的分布列為05101520所以的數(shù)學(xué)期望所以使用電輔式太陽能熱水器一天節(jié)省的電量為（千瓦時(shí)）所以使用電輔式太陽能熱水器一年節(jié)省的電量為（千瓦時(shí)）【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識(shí)求出X取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，對(duì)應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.8．（2021·廣東梅州市·高三一模）某電子產(chǎn)品加工廠購買配件并進(jìn)行甲、乙兩道工序處理，若這兩道工序均處理成功，則該配件加工成型，可以直接進(jìn)入市場銷售；若這兩道工序均處理不成功，則該配件報(bào)廢；若這兩道工序只有一道工序處理成功，則該配件需要拿到丙部門檢修，若檢修合格，則該配件可以進(jìn)入市場銷售，若檢修不合格，則該配件報(bào)廢．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于任一配件，甲、乙兩道工序處理的結(jié)果相互獨(dú)立，且處理成功的概率分別為，，丙部門檢修合格的概率為．（1）求該工廠購買的任一配件可以進(jìn)入市場銷售的概率．（2）已知配件的購買價(jià)格為元/個(gè)，甲、乙兩道工序的處理成本均為元/個(gè)，丙部門的檢修成本為元個(gè)，若配件加工成型進(jìn)入市場銷售，售價(jià)可達(dá)元/個(gè)；若配件報(bào)廢，要虧損購買成本以及加工成本．若市場大量需求配件的成型產(chǎn)品，試估計(jì)該工廠加工個(gè)配件的利潤．（利潤售價(jià)購買價(jià)格加工成本）【答案】（1）；（2）萬元．【分析】（1）根據(jù)題意分析出哪種情形下配件可進(jìn)入市場銷售，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）先設(shè)工廠加工5000個(gè)配件的利潤為元，加工一個(gè)配件的利潤為元，則，再求出的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得的期望，最后利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）記任一配件加工成型可進(jìn)入市場銷售為事件，甲、乙兩道工序分別處理成功為事件，，丙部門檢修合格為事件．則．（2）設(shè)該工廠加工個(gè)配件的利潤為元，加工一個(gè)配件的利潤為元，則．由題可知的所有可能取值為，，，，則，，，．的分布列為10488∴，∴.∴估計(jì)該工廠加工個(gè)配件的利潤為萬元．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題第（2）問的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出離散型隨機(jī)變量的所有取值及其對(duì)應(yīng)的概率，并且在求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)（①，；②）檢驗(yàn)所求的分布列是否正確；（2）在求出后，會(huì)利用期望的性質(zhì)求．9．（2021·浙江寧波市·高二課時(shí)練習(xí)）某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通過血清檢測確定該感染人員，血清檢測結(jié)果呈陽性的即為感染人員，呈陰性表示沒感染.擬采用兩種方案檢測：方案甲：將這6名疑似病人血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止；方案乙：將這6名疑似病人隨機(jī)分成2組，每組3人.先將其中一組的血清混在一起檢測，若結(jié)果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果為陰性，則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測，直到能確定感染人員為止，（1）求這兩種方案檢測次數(shù)相同的概率；（2）如果每次檢測的費(fèi)用相同，請(qǐng)預(yù)測哪種方案檢測總費(fèi)用較少？并說明理由.【答案】（1）；（2）乙方案，理由見解析.【分析】設(shè)甲方案檢測的次數(shù)，記乙方案檢測的次數(shù)，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事件A，根據(jù)獨(dú)立事件的概率的乘法公式，即可求解；（2）分別求得隨機(jī)變量和的期望，結(jié)合期望的大小，即可求解.【詳解】由題意可設(shè)甲方案檢測的次數(shù)是X，則，記乙方案檢測的次數(shù)是，則，（1）記兩種方案檢測的次數(shù)相同為事件A，則，所以兩種方案檢測的次數(shù)相同的概率為.（2）由，所以，，則，因?yàn)椋圆捎靡曳桨?【點(diǎn)睛】求隨機(jī)變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機(jī)變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列；3、由期望和方差的計(jì)算公式，求得數(shù)學(xué)期望；4、若隨機(jī)變量的分布列為特殊分布列（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.10．（2021·江蘇高三專題練習(xí)）某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競賽，全市市民均有且只有一次參賽機(jī)會(huì)，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀.競賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計(jì)得到樣本平均數(shù)為71，方差為81.假設(shè)該市有10萬人參加了該競賽活動(dòng)，得分Z服從正態(tài)分布.（1）估計(jì)該市這次競賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人?（2）該市文明辦為調(diào)動(dòng)市民參加競賽的積極性，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有參加競賽活動(dòng)者，均可參加“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參加者抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)（10，11，，99），若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)40元電話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)10元電話費(fèi).假設(shè)參加競賽活動(dòng)的所有人均參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的電話費(fèi)總額為多少萬元?參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】（1）1.6（萬人）；（2）150.8萬元.【分析】（1）由得標(biāo)準(zhǔn)差，所以優(yōu)秀者得分，由及正態(tài)分布的對(duì)稱性可得答案；（2）設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為X元可得X的取值及概率，計(jì)算出抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值，再算出抽獎(jiǎng)總次數(shù)可得答案.【詳解】（1）因得分，所以標(biāo)準(zhǔn)差，所以優(yōu)秀者得分，由得，，因此，估計(jì)這次參加競賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)為（萬人）.（2）設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為X元，則，所以抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值為，又由于10萬人均參加抽獎(jiǎng)，且優(yōu)秀者參加兩次，所以抽獎(jiǎng)總次數(shù)為萬次，因此，估計(jì)這次活動(dòng)所需電話費(fèi)為萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)及期望，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟悉正態(tài)分布的性質(zhì)和計(jì)算隨機(jī)變量的取值和概率，考查了的計(jì)算能力.11．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)（參考公式：，期中）【答案】（1），中位數(shù)650，眾數(shù)600；（2）分布列見解析；期望為；（3）填表見解析；有．【分析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得,每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以頻率相加得均值；（2）由頻率分布直方圖知從，中抽取7人，從，中抽取3人，隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；（3）樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費(fèi)群”的25人，其中女生10人，由頻率分布直方圖求出高消費(fèi)群人數(shù)，可得高消費(fèi)群中男生人數(shù)，從而可填寫列聯(lián)表，并計(jì)算出后可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3．，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（3）由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓10人；得出以下列聯(lián)表；屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生152540女生105060合計(jì)2575100，所以有％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)．【點(diǎn)睛】超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．12．（2021·遼寧沈陽市·高三一模）習(xí)近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”.為響應(yīng)總書記的號(hào)召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動(dòng).運(yùn)動(dòng)分為徒手運(yùn)動(dòng)和器械運(yùn)動(dòng)兩大類.該社區(qū)對(duì)參與活動(dòng)的人進(jìn)行了調(diào)查，其中男性人，女性人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:(單位:人)性別器械類徒手類合計(jì)男性女性合計(jì)（1）請(qǐng)將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%把握認(rèn)為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”?（2）為了檢驗(yàn)活動(dòng)效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動(dòng).競賽包括三個(gè)項(xiàng)目，一個(gè)是器械類，兩個(gè)是徒手類，規(guī)定參與者必需三個(gè)項(xiàng)日都參加.據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，參賽者通過器械類競賽的概率是，通過徒手類競賽的概率都是，且各項(xiàng)目是否通過相互獨(dú)立.用表示某居民在這次競賽中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.(參考數(shù)據(jù):)附:【答案】（1）表格見解析，有；（2）答案見解析，.【分析】（1）根據(jù)男性人，女性人和表中已有的數(shù)據(jù)完成表格即可；利用求得的值，再與臨界值標(biāo)對(duì)照下結(jié)論.（2）易知隨機(jī)變量的所有可能取值有，再分別求得相應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)分布列再去期望.【詳解】（1）根據(jù)器械類總?cè)藬?shù)人，其中男性人，可得女性為人，根據(jù)總?cè)藬?shù)人，得到徒手類總?cè)藬?shù)人，其中女性人，可得男性人.完成表格如下:性別器械類徒手類合計(jì)男性女性合計(jì)所以，所以，有把握認(rèn)為“是否選擇物理類與性別有關(guān)”.（2）隨機(jī)變量的所有可能取值有.因?yàn)樗缘姆植剂袨樗詳?shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個(gè)值的概率；③寫出X的分布列．求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率.13．（2021·全國高三專題練習(xí)）據(jù)調(diào)查，目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時(shí)佩戴的一種特殊的隱形眼鏡(因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度越來越多的小學(xué)生家長選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展)，市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有人(其中佩戴角膜塑形鏡的有人，其中名是男生，名是女生).（1）若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？（2）從這名戴角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出個(gè)人，求其中男生人數(shù)的分布列；（3）若將樣本的頻率當(dāng)做估計(jì)總體的概率，請(qǐng)問，從市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出位小學(xué)生，求佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)的期望和方差.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析；（3）期望是，方差是.【分析】（1）先根據(jù)該市的樣本求得這位學(xué)生佩戴眼鏡的概率和佩戴眼鏡是角塑性眼鏡的概率，再利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即得結(jié)果；

（2）從8名學(xué)生選3個(gè)，男生人數(shù)X服從超幾何分布，按照，k=0，1，2，寫出分布列即可；（3）依題意隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算期望和方差即可.【詳解】解：（1）根據(jù)題中樣本數(shù)據(jù)，設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件A，則，“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，則“這位小學(xué)生佩戴眼鏡，且眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，則，故所求的概率為：，所以從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是；（2）依題意，佩戴角膜塑形鏡的有人，其中名是男生，名是女生，故從中抽3人，男生人數(shù)X的所有可能取值分別為0，1，2，其中：；；.所以男生人數(shù)的分布列為：（3）由已知可得：則：，所以佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)的期望是，方差是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算）.14．（2021·河南高三月考（理））為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強(qiáng)環(huán)境的治理和生態(tài)的修復(fù)，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個(gè)縣的27個(gè)行政村中各隨機(jī)選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對(duì)樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進(jìn)行了檢測，并按照國家土壤重金屬污染評(píng)價(jià)級(jí)標(biāo)準(zhǔn)（清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進(jìn)行分級(jí)，繪制了如圖所示的條形圖（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個(gè)，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個(gè)數(shù)；（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從（1）中抽取的6個(gè)行政村中任選3個(gè)，污染度的得分之和記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）從輕度污染的行政村中抽取個(gè)，從中度污染的行政村中抽取個(gè)，從重度污染的行政村中抽取個(gè)；（2）5．【分析】（1）根據(jù)題意，輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個(gè)，再根據(jù)分層抽樣分別算出所抽取的輕度污染、中度污染、重度污染行政村的個(gè)數(shù)即可；（2）X的所有可能取值為3，4，5，6，7，寫出每算出一個(gè)數(shù)據(jù)的概率，得出分布列，再根據(jù)期望公式即可得解.【詳解】（1）輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共個(gè)，所以從輕度污染的行政村中抽取個(gè)，從中度污染的行政村中抽取個(gè)，從重度污染的行政村中抽取個(gè)．（2）X的所有可能取值為3，4，5，6，7．，，，，．所以X的分布列為X34567P所以．15．（2021·浙江寧波市·高二課時(shí)練習(xí)）某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費(fèi)用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

（1）從①；②；③三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用和年利潤額的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；（3）預(yù)計(jì)要使年利潤額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少廣告費(fèi)用？（結(jié)果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）選擇回歸類型更好；（2）；（3）下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費(fèi)用．【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀可選擇合適的函數(shù)模型；（2）作變換，，將表格中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，進(jìn)而可得出關(guān)于的回歸方程；（3）令，結(jié)合參考數(shù)據(jù)解出的范圍，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用和年利潤額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，且與呈正相關(guān).所以選擇回歸類型更好；（2）對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，，，則，由表中數(shù)據(jù)得，，所以，所以，所以年廣告費(fèi)用和年利潤額的回歸方程為；（3）由（2），知，令，得，得，所以，所以（十萬元）．故下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費(fèi)用．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查非線性回歸模型的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵就是對(duì)非線性回歸函數(shù)模型作變換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸函數(shù)模型，結(jié)合最小二乘法求解.16．（2021·全國高三專題練習(xí)）檳榔芋又名香芋，衡陽市境內(nèi)主要產(chǎn)于祁東縣.檳榔芋富含淀粉、蛋白質(zhì)、脂肪和多種維生素，可加工成芋蘭片，芋絲等副食品，深受廣大消費(fèi)者喜愛.衡陽市某超市購進(jìn)一批祁東檳榔芋，并隨機(jī)抽取了50個(gè)統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/克數(shù)量/個(gè)25122263（1）若購進(jìn)這批檳榔芋100千克，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表，試估計(jì)這批檳榔芋的數(shù)量（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）以頻率估計(jì)概率，若在購進(jìn)的這批檳榔芋中，隨機(jī)挑選3個(gè)，記3個(gè)檳榔芋中質(zhì)量在間的檳榔芋數(shù)量為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）517；（2）分布列見解析，0.3.【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)表計(jì)算出平均質(zhì)量，然后可得個(gè)數(shù)．（2）所有可能取值為0，1，2，3，而一個(gè)檳榔芋質(zhì)量在間概率由表格可得，然后計(jì)算出各概率可得概率分布列，再由期望公式計(jì)算期望．【詳解】（1）設(shè)50個(gè)檳榔芋中，每個(gè)檳榔芋的平均質(zhì)量為，則（克）所以這批檳榔芋的數(shù)量約為（個(gè)）（2）所有可能取值為0，1，2，3.由表中數(shù)據(jù)可知，任意挑選一個(gè)檳榔芋，質(zhì)量在的概率為所以，，，，故的分布列為：01230.7290.2430.0270.001．17．（2021·全國高三專題練習(xí)）某商城玩具柜臺(tái)元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈(zèng)送元旦禮品．而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè)．（1）記事件：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊，，玩偶；事件：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會(huì)，且購買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒．通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為．①；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè)．【答案】（1），；（2）①；②應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40個(gè)，乙系列盲盒60個(gè)．【分析】（1）根據(jù)題意，集齊，，玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類情況：，，玩偶中，每個(gè)均有出現(xiàn)兩次、，，玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次，一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次、，，玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次討論計(jì)算，并根據(jù)古典概率計(jì)算即可；對(duì)于，先考慮一次性購買個(gè)乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率再求解.（2）①根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)數(shù)列知識(shí)計(jì)算即可；②由①得購買甲系列的概率近似于，故用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由題意基本事件共有：種情況，其中集齊，，玩偶的個(gè)數(shù)可以分三類情況，，，玩偶中，每個(gè)均有出現(xiàn)兩次，共種；，，玩偶中，一個(gè)出現(xiàn)一次，一個(gè)出現(xiàn)兩次，一個(gè)出現(xiàn)三次，共種；，，玩偶中，兩個(gè)出現(xiàn)一次，另一個(gè)出現(xiàn)四次，共種；故.根據(jù)題意，先考慮一次性購買個(gè)乙系列盲盒沒有集齊，玩偶的概率，即，