2023年蘭州市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．2．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的結(jié)果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．3．空氣質(zhì)量指數(shù)是一種反映和評價空氣質(zhì)量的方法，指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如下表所示：0～5051～100101～150151～200201～300300以上空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖是某城市2018年12月全月的指數(shù)變化統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）A．整體上看，這個月的空氣質(zhì)量越來越差B．整體上看，前半月的空氣質(zhì)量好于后半月的空氣質(zhì)量C．從數(shù)據(jù)看，前半月的方差大于后半月的方差D．從數(shù)據(jù)看，前半月的平均值小于后半月的平均值4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌.古代是用算籌來進(jìn)行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推．例如8455用算籌表示就是，則以下用算籌表示的四位數(shù)正確的為（）A． B．C． D．6．若為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．7．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81258．給出下列四個命題：①若，則；②若，且，則；③若復(fù)數(shù)滿足，則；④若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.其中正確的命題個數(shù)為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2018項和為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，則下列說法中，錯誤的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)的中位數(shù)為B．?dāng)?shù)據(jù)的眾數(shù)為C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為D．?dāng)?shù)據(jù)的方差為11．某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)時，這個幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．12．同時拋擲一顆紅骰子和一顆藍(lán)骰子，觀察向上的點數(shù)，記“紅骰子向上的點數(shù)小于4”為事件A，“兩顆骰子的點數(shù)之和等于7”為事件B，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，向量滿足，則的最大值為________．14．若橢圓上的點到焦點的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓短軸長為____________.15．6月12日,上海市發(fā)布了《上海市生活垃圾分類投放指南》,將人們生活中產(chǎn)生的大部分垃圾分為七大類.某幢樓前有四個垃圾桶,分別標(biāo)有“可回收物”、“有害垃圾”、“濕垃圾”、“干垃圾”,小明同學(xué)要將雞骨頭（濕垃圾）、貝殼（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、報紙（可回收物）全部投入到這四個桶中,若每種垃圾投放到每個桶中都是等可能的,那么隨機事件“4種垃圾中至少有2種投入正確的桶中”的概率是______.16．已知點在不等式組，表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于，兩點，（）為橢圓上一點，求面積的最大值．18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在原點處的切線方程.（2）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù);19．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜（1）當(dāng)a＝1時，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t++2對任意t＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，△ABC的面積為，求a的值．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知一次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)設(shè),若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.2、C【解析】

根據(jù)已知的程序語句可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時，不滿足輸出結(jié)果為，進(jìn)行循環(huán)后，，；當(dāng)時，滿足輸出結(jié)果為，故進(jìn)行循環(huán)的條件，應(yīng)為：.故選：C.【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)題意可得，AQI指數(shù)越高，空氣質(zhì)量越差；數(shù)據(jù)波動越大，方差就越大，由此逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】從整體上看，這個月AQI數(shù)據(jù)越來越低，故空氣質(zhì)量越來越好；故A，B不正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)波動較大，后半個月數(shù)據(jù)波動小，比較穩(wěn)定，因此前半個月的方差大于后半個月的方差，所以C正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)大于后半個月數(shù)據(jù)，因此前半個月平均值大于后半個月平均值，故D不正確．故選C．【點睛】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】

根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式，即可求解出的取值范圍?！驹斀狻恳驗楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，因為，所以，即．故答案選A?！军c睛】本題考查了已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，解題時常與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用相結(jié)合。5、D【解析】

根據(jù)題意直接判斷即可.【詳解】根據(jù)“各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示”的原則，只有D符合，故選D.【點睛】本題主要考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，即可求出結(jié)果.【詳解】.故選D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，熟記運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關(guān)系，歸納其變化規(guī)律求解.【詳解】因為，觀察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【點睛】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算，結(jié)合特殊值即可判斷①；由復(fù)數(shù)性質(zhì)，不能比較大小可判斷②；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及模的求法，可判斷③；由復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷④.【詳解】對于①，若，則錯誤，如當(dāng)時，所以①錯誤；對于②，虛數(shù)不能比較大小，所以②錯誤；對于③，復(fù)數(shù)滿足，即，所以，即③正確；對于④，若，則，所以，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，所以④正確；綜上可知，正確的為③④，故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義與運算的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用，求出數(shù)列，的公差，可得數(shù)列，的通項公式，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，則由已知得，，所以，，所以，，所以，所以數(shù)列的前2018項和為,故選D.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式基本量運算，考查了數(shù)列的求和，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

利用中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的性質(zhì)求解．【詳解】若數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均數(shù)為,則由性質(zhì)知數(shù)據(jù)的中位數(shù),眾數(shù)，平均數(shù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，故正確；則由方差的性質(zhì)知數(shù)據(jù)的方差為4p,故D錯誤；故選D．【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題．11、B【解析】

三視圖復(fù)原幾何體是長方體的一個角，設(shè)出棱長，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．【詳解】解：如圖所示，可知．設(shè)，則，消去得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以．故選：B．【點睛】本題考查三視圖求體積，考查基本不等式求最值，是中檔題．12、B【解析】

為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數(shù)小于4同時兩骰子的點數(shù)之和等于7的概率，利用公式求解即可．【詳解】解：由題意，為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數(shù)小于4時兩骰子的點數(shù)之和等于7的概率．拋擲兩顆骰子，紅骰子的點數(shù)小于4，基本事件有個，紅骰子的點數(shù)小于4時兩骰子的點數(shù)之和等于7，基本事件有3個，分別為（1，6），（2，5），（3，4），．故選：．【點睛】本題考查條件概率的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由題意得，由若滿足知，，當(dāng)且僅當(dāng)與同向且時，取等號，所以，而有基本不等式知，，所以，當(dāng)且當(dāng)即時取等號，故的最大值為．考點：1.向量加法的平行四邊形法則；2.基本不等式.【方法點睛】本題主要考查的是向量模的運算性質(zhì)，向量的平行四邊形法則及其向量垂直的性質(zhì)，屬于難題，向量的模的最值運算，一般要化為已知量的關(guān)系式，常用的工具，在平行四邊形中，再結(jié)合基本不等式可得當(dāng)時，,,即取最大值.14、【解析】

由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓的短軸長度.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為：，由題意可得，解得，則橢圓的短軸長度為：.故答案為：．【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程的數(shù)學(xué)思想，橢圓短軸的定義與計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、【解析】

先求出基本事件的個數(shù),再求出4種垃圾中至少有2種投入正確的桶中的事件的個數(shù),最后利用古典概型求出概率即可.【詳解】由題意可知：基本事件的個數(shù)為.設(shè)事件為4種垃圾中至少有2種投入正確的桶中,則事件包含的基本事件個數(shù)為：,所以.故答案為：【點睛】本題考查了古典概型計算公式,考查了分類討論思想,考查了數(shù)學(xué)運算能力.16、【解析】

畫出可行域，然后利用目標(biāo)函數(shù)的等值線在可行域中進(jìn)行平移，根據(jù)或含的式子的含義，目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】如圖令，則為目標(biāo)函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點則點是目標(biāo)函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負(fù)半軸方向移到到點則點是目標(biāo)函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，橢圓的長軸為及，求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線與（Ⅰ）求得的橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和，利用弦長公式及點到直線的距離，求得的面積，同時，進(jìn)而求得的面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）雙曲線的離心率為（1分），則橢圓的離心率為（2分），2a=1，（3分）由?，故橢圓M的方程為．（5分）（Ⅱ）由，得，（6分）由，得﹣2＜m＜2∵，．（7分）∴=又P到AB的距離為．（10分）則，（12分）當(dāng)且僅當(dāng)取等號（13分）∴．（11分）考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理；3.弦長公式.18、（1）（2）函數(shù)零點個數(shù)為兩個【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解曲線在原點處的切線方程；（2）由（1），求得函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，則，從而曲線在原點處的切線方程為．（2）由（1）知，令得或，從而函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時，恒成立，所以在上沒有零點；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，存在唯一零點；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且，存在唯一零點．綜上，當(dāng)時，函數(shù)零點個數(shù)為兩個.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，著重考查了分類討論思想，推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）【解析】

（1）解法一：利用分類討論法去掉絕對值，解對應(yīng)的不等式即可；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x），作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，利用圖象求出不等式的解集；（2）由題意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用絕對值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，再列不等式求得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解法一：當(dāng)a＝1時，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為：﹣2x+1﹣2x+3≤3，解得x，此時x；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為為：2x﹣1﹣2x+3≤3，此不等式恒成立，此時得x；當(dāng)x時，不等式f（x）≤3可化為：2x﹣1+2x﹣3≤3，解得得x，此時x，綜上知，x，即不等式的解集為[，]；解法二：利用分段函數(shù)表示f（x）；作出y＝f（x）和直線y＝3的圖象，如圖所示：由f（x）＝3解得：x或x，由圖象可得不等式的解集為[，]；（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，即f（x）的最小值為|a﹣3|，由t2≥22＝6，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t＝2時，取等號，因為存在x∈R，使得不等式f（x）≤t2對任意t＞0恒成立，所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤1；所以實數(shù)a的取值范圍是﹣3≤a≤1．【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式恒成立問題，是中檔題．20、（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算列出解析式，化簡后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出遞增區(qū)間即可；

（2）由，，根據(jù)解析式求出的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將b，及已知面積代入求出的值，再利用余弦定理即可求出的值．試題解析：（1）∵，，∴∴令（），∴（）∴的單調(diào)區(qū)間為，（2）由得，，∴又∵為的內(nèi)角，∴，∴，∴∵，，∴，∴∴，∴.【點睛】此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，其中熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．21、（1）4；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時，分別討論每一段的單調(diào)性，綜合比較，即可求得最小值；（2）去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，因為函數(shù)是連續(xù)的，只需要函數(shù)在兩段上都單調(diào)遞增，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，為減函數(shù)，；當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時，為增函數(shù)，；所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.（2），因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)是連續(xù)不間斷的，所以，解得，故所求實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，除了考慮分段函數(shù)在每一段上的單調(diào)性必須相同之外，還要考慮函數(shù)在分界點處的函數(shù)值的大