連續(xù)離散控制系統(tǒng)課件第3章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第3章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院隨陽軼連續(xù)與離散控制系統(tǒng)主要內(nèi)容研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義穩(wěn)定性的定義閉環(huán)極點(diǎn)和穩(wěn)定性的關(guān)系勞斯判據(jù)奈奎斯特判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的改進(jìn)系列設(shè)計(jì)舉例3.1研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。不穩(wěn)定的系統(tǒng)通常沒有使用價(jià)值。因此尋找方法來分析和設(shè)計(jì)穩(wěn)定系統(tǒng)。如果輸入是有界的，那么穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出也是有界的，這叫做有界輸入—有界輸出穩(wěn)定性，這是本章的主題。研究穩(wěn)定性包含兩個(gè)目的：判定控制系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性及其穩(wěn)定的程度；如果系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)定程度較差如何使其穩(wěn)定及如何提高穩(wěn)定程度。穩(wěn)定性的定義（續(xù)1）控制系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，若系統(tǒng)能夠逐漸地恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，簡稱穩(wěn)定。若系統(tǒng)不能恢復(fù)到平衡狀態(tài)則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的各種情況大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)局部漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)不穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定各種情況的結(jié)論大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)和不穩(wěn)定的系統(tǒng)其穩(wěn)定性完全取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而和擾動(dòng)的性質(zhì)無關(guān)。局部穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)而且和擾動(dòng)的性質(zhì)有關(guān)。線性系統(tǒng)如果是穩(wěn)定的則一定是大范圍穩(wěn)定的。閉環(huán)、開環(huán)與穩(wěn)定性實(shí)例研究：禮堂擴(kuò)音的音頻放大器和揚(yáng)聲器系統(tǒng)的失穩(wěn)效應(yīng)，說明開環(huán)和閉環(huán)對(duì)待穩(wěn)定性問題的區(qū)別。思考：開環(huán)系統(tǒng)有沒有穩(wěn)定性概念？為什么？3.3閉環(huán)極點(diǎn)和穩(wěn)定性的關(guān)系線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由其閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置所決定閉環(huán)極點(diǎn)位置的響應(yīng)振型閉環(huán)極點(diǎn)和穩(wěn)定性關(guān)系的結(jié)論單輸入單輸出(SISO)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)都在S平面的左半平面?；蛘哒f：所有的閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部。多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值都位于S平面的左半平面或都具有負(fù)實(shí)部。3.4勞斯判據(jù)勞斯判定是一種代數(shù)判定，它依據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)關(guān)系來得到結(jié)論。提供一種高次系統(tǒng)不求解方程即可判定穩(wěn)定性的方法。代數(shù)方法使用系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)果，即通過系統(tǒng)的特征方程來判定。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：系統(tǒng)特征方程的諸系數(shù)不能為零且同號(hào)。勞斯判據(jù)是一個(gè)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要判據(jù)。3.4.1勞斯表及其制作設(shè)系統(tǒng)特征方程為：（1）表頭的填法：第一行：第一列填入an值。第二列填an-2值，依此類推，后一列和前一列是s相差兩次冪的對(duì)應(yīng)系數(shù)。第二行：第一列填入an-1值，后續(xù)諸列單元值依次為相差兩次冪之系數(shù)。勞斯表及其制作（續(xù)1）（2）表體的填法：設(shè)表體某單元的值為Ai,j(i≥3)，約定在i＜3時(shí)的Ai,j值即為該表頭位置之值。Ai,j的值由下式求出：重要的是正確找到行列式中的四個(gè)元素，所求單元上兩行第一列的值和該單元上兩行其后一列的值。勞斯表制作舉例例3.1設(shè)系統(tǒng)的特征方程如下，填出勞斯表。12s4+6s3+32s2+7s+3=0123236733618幾種情況的處理方法某行各單元值中含有分?jǐn)?shù)：若某行中含有分?jǐn)?shù)，則該行同乘以一個(gè)不為零的正的常數(shù)，勞斯表結(jié)果不發(fā)生改變。某行所有單元值為零：此種情況系統(tǒng)肯定是不穩(wěn)定的，但若為其它目的可按下述方法處理。用該行的上一行對(duì)應(yīng)單元值建立一個(gè)輔助方程。對(duì)輔助方程求一次導(dǎo)數(shù)獲得一降階方程。用降階方程對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)代替全零行各單元值并繼續(xù)計(jì)算。幾種情況的處理方法（續(xù)1）重要性質(zhì)：若某行所有單元值全為零，則該系統(tǒng)必然具有關(guān)于[S]平面原點(diǎn)對(duì)稱的閉環(huán)極點(diǎn)存在。其輔助方程的根一定是閉環(huán)極點(diǎn)。某行的第一列單元值為零：此種情況的存在系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的，若需要進(jìn)一步填寫勞斯表，則用一個(gè)無窮小的正數(shù)代替該行第一列的零值后繼續(xù)計(jì)算。幾種情況的舉例例3.2設(shè)系統(tǒng)的特征方程如下，填出勞斯表。s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=019-1-9410-4-1025-2-513/20-13/21-1010-100取上行做輔助方程：s4-1=0,求導(dǎo)得本行系數(shù)400-1ε4/ε-1-13.4.2勞斯判據(jù)若系統(tǒng)勞斯表第一列的所有單元值均為正數(shù)則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)具有正實(shí)部的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯表第一列諸值符號(hào)改變次數(shù)的總和。在例3.1中第一列所有值均為正數(shù)，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在例3.2中由于出現(xiàn)了一行各列值全為零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列值變號(hào)次數(shù)為1，該系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面的右半平面(s1=1)。勞斯判據(jù)舉例一例3.3已知系統(tǒng)特征多項(xiàng)式如下，判定穩(wěn)定性和閉環(huán)極點(diǎn)分布的狀況：2s7+3s6+4s5+3s4+5s3+s2+5s+3245533136139-7-764999252124121勞斯判據(jù)舉例二例3.4已知系統(tǒng)特征多項(xiàng)式如下，判定穩(wěn)定性和閉環(huán)極點(diǎn)分布的狀況：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0182016168168133818系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

3.4.3勞斯判定的應(yīng)用舉例例3.5設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試確定放大器放大倍數(shù)K的穩(wěn)定域。解：由G(s)知系統(tǒng)特征方程為

s(3s+1)(6s+1)+K(s+1)=018s3+9s2+(1+K)s+K=0例3.5（續(xù)）18s3+9s2+(1+K)s+K=0181+K9K1-KK根據(jù)勞斯判據(jù)，若使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)有第一列諸值都大于零，則令

解得：0＜K＜1勞斯判定的應(yīng)用舉例（二）例3.6設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)且k>0，試確定該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的k值及等幅振蕩時(shí)的角頻率n

解：系統(tǒng)特征方程為s3+7s2+14s+8+k=011478+k90-k8+k例3.6（續(xù)）若使系統(tǒng)產(chǎn)生臨界穩(wěn)定則應(yīng)產(chǎn)生一行全零情況。由于條件約束k＞0故第四行不能為零。則k=90。這就使系統(tǒng)有可能產(chǎn)生等幅振蕩。是否如此要求解輔助方程后才能確定。列輔助方程解得：可產(chǎn)生等幅振蕩，振蕩角頻率rad/s3.5奈奎斯特判據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)代表系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并提供確定系統(tǒng)穩(wěn)定性所需的足夠信息，因此，通過實(shí)驗(yàn)方法能在尚未定出系統(tǒng)參數(shù)值的情況下考察系統(tǒng)穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)是頻域方法中的判定方法。它是通過圖形來直觀地判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特別地，奈氏判定不僅可以判定絕對(duì)穩(wěn)定性，還可以判斷系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定程度，這是勞斯判定辦不到的，故非常重要。3.5.1基礎(chǔ)概念頻率特性：對(duì)系統(tǒng)施加各種頻率的正弦信號(hào)研究系統(tǒng)的響應(yīng)是頻率特性研究方法的基本手段。系統(tǒng)輸出和輸入的傅立葉變換之比稱為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)，簡稱為頻率特性。記為H(j)。求取系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式可以直接在其傳遞函數(shù)中令s=j代入后獲得。開環(huán)頻率特性相關(guān)概念設(shè)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可表述為：其中：稱為幅頻特性。它表述了響應(yīng)和輸入信號(hào)幅值之比與信號(hào)角頻率的關(guān)系。稱為相頻特性。它表述了響應(yīng)與輸入信號(hào)間相移和輸入信號(hào)角頻率的關(guān)系。奈奎斯特圖奈奎斯特圖(又稱為頻率特性的極坐標(biāo)圖)：是在復(fù)平面[G(s)]上畫出頻率特性函數(shù)G(j)當(dāng)由0+時(shí)的圖像。在繪制奈氏圖時(shí)并不需要逐點(diǎn)精確。一般=0時(shí)，=時(shí)的G(j)值；圖像與實(shí)軸的交點(diǎn)值，圖像和虛軸的交點(diǎn)值應(yīng)準(zhǔn)確，其余無特殊需要的點(diǎn)只要有其粗略形狀即可。如果將由-0部分的圖像也畫出稱為增補(bǔ)奈氏圖，二者之間可根據(jù)圖像關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的原則轉(zhuǎn)換。奈奎斯特圖舉例（一）例3.7已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。解：令s=j代入得

則有例3.7（續(xù)1）此處利用了三角公式：當(dāng)=0時(shí)得A(0)=5，(0)=0°當(dāng)時(shí)得A(+)0，(+)0°與實(shí)軸交點(diǎn)：就是虛部為0，即-3=0，則=0，得A(0)=5，(0)=0°與虛軸交點(diǎn)：就是實(shí)部為0，即1-22=0，則例3.7（續(xù)2）奈奎斯特圖舉例（二）例3.8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制其奈氏圖。解：令s=j代入得

當(dāng)時(shí)得G(+j)=0

例3.8（續(xù)1）=0+時(shí)得G(j0+)=-16-j，在=0處是一個(gè)間斷點(diǎn)，故不能取0值，而取比0多一個(gè)無窮小的正值。與實(shí)軸交點(diǎn)：Im=0，即152-1=0得與虛軸交點(diǎn)：Re=0，即-8=0，得=0，可見與虛軸無交點(diǎn)。例3.8（續(xù)2）幅角定理圍道映射：復(fù)變函數(shù)W(s)是一個(gè)在S平面具有有限個(gè)奇點(diǎn)且除了這些奇點(diǎn)外，處處連續(xù)而又單值的解析函數(shù)。如果在S平面任取一條不穿越奇點(diǎn)的連續(xù)封閉曲線ГS

，則在W(s)平面亦有一條封閉曲線ГW與之對(duì)應(yīng)。輻角定理：當(dāng)s按順時(shí)針方向沿ГS變化一周時(shí)，在W(s)平面上的向量||W(s)||圍繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的次數(shù)N等于ГS內(nèi)包含的W(s)的零點(diǎn)數(shù)目z和極點(diǎn)數(shù)目p之差。即：N=z-p幅角定理（續(xù)）若N＞0說明||W(s)||順時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，N＜0說明||W(s)||逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，N=0說明||W(s)||沒有繞行W(s)平面原點(diǎn)，即曲線ГW不包含W(s)平面的原點(diǎn)。

怎么和控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性關(guān)聯(lián)起來？特征式和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則其特征式為因此，特征式的零點(diǎn)為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，特征式的極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)。特征式1+G(s)的圖像和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)圖像形狀完全一致，只是坐標(biāo)原點(diǎn)不同而已。1+G(s)坐標(biāo)原點(diǎn)是G(s)中的(-1，0)點(diǎn)。奈奎斯特圍線（D圍線）S平面上s取值為：由虛軸負(fù)無窮遠(yuǎn)處開始，沿虛軸至正無窮遠(yuǎn)處，再以無窮大為半徑順時(shí)針繞至虛軸負(fù)無窮遠(yuǎn)處而達(dá)到封閉。奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù)：D圍線所包含的零極點(diǎn)是在S平面右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z和在S平面右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)P。若系統(tǒng)是穩(wěn)定的必有Z=0，故式變?yōu)镹=－P。使用1+G(s)圖像的判定：若處于S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)為P，圖像圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)繞行的周數(shù)為N，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是滿足N=－P

；使用G(s)圖像的判定：若位于S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)為P，圖像圍繞(-1,0)點(diǎn)繞行的周數(shù)為N,則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是滿足N=－P：特別指出上述結(jié)論是依據(jù)D圍線的，即由-+，因而對(duì)應(yīng)的圖像是增補(bǔ)奈氏圖。由于對(duì)稱性，人們往往畫奈氏圖取(=0+)，因此若使用奈氏圖判定應(yīng)除以2，故改為：N和P值的獲取P值的確定：通過開環(huán)傳遞函數(shù)直接看出。例3.9判斷下列開環(huán)傳遞函數(shù)的P值解：首先確定它有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：P1=0；P2=-10；P3=-100

而P1、P2和P3不在D圍線內(nèi)，不能認(rèn)為是右半平面的開環(huán)極點(diǎn)。則P=0。N值的計(jì)算在G(s)平面中以(-1,0)點(diǎn)至(-,0)的實(shí)軸射線為依據(jù)，研究奈氏曲線對(duì)其穿越情況來計(jì)算N值(使用增補(bǔ)奈氏圖則求N值)。約定：如果曲線由上向下穿越射線一次記為-1；由下向上穿越一次記為+1。對(duì)該射線所有穿越的和值即為N值。計(jì)算N值舉例例3.10某系統(tǒng)奈氏圖如圖所示，求其N值。具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：在原點(diǎn)ω=0處存在間斷點(diǎn)，按D圍線約定以無窮小正數(shù)ε為半徑逆時(shí)針繞行，可表述為具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)1）代入G(s)得當(dāng)0時(shí)有當(dāng)θ=-π/2時(shí)在負(fù)虛軸上靠近原點(diǎn)位置，記為=0-，當(dāng)θ=π/2時(shí)在正虛軸上靠近原點(diǎn)處，記為=0+

說明=0-逆時(shí)針繞至=0+，G(s)曲線以為半徑由G(j0-)順時(shí)針繞行v×180到達(dá)G(j0+)

具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)2）當(dāng)v=1~4時(shí)增補(bǔ)奈氏圖

具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)3）具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖在無窮遠(yuǎn)處對(duì)射線的穿越次數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，這由兩個(gè)因素決定：積分重?cái)?shù)v和=0-時(shí)G(j0-)的位置。v為偶數(shù)，間斷點(diǎn)在實(shí)軸無窮遠(yuǎn)處；v為奇數(shù)，間斷點(diǎn)在虛軸無窮遠(yuǎn)處。注意：當(dāng)用N=-P時(shí)，使用增補(bǔ)奈氏圖，不會(huì)出錯(cuò)。但當(dāng)用N=-P/2時(shí)，使用的是奈氏圖，則要以增補(bǔ)奈氏圖的每個(gè)穿越點(diǎn)穿越次數(shù)的一半來計(jì)算N值，具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)4）例3.11系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的奈氏圖及其P值如圖所示，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。含有積分環(huán)節(jié)的不超過二重。具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)5）例3.12系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。解：由G(s)知有一個(gè)s=1的開環(huán)極點(diǎn)在圍線內(nèi)，故p=1。該系統(tǒng)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)則v=1令s=j并代入得：具有間斷點(diǎn)的增補(bǔ)奈氏圖（續(xù)6）找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出奈圖并補(bǔ)充0+的進(jìn)入方向：由于v=1故在無窮遠(yuǎn)處的穿越值為+1/2故系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定裕量奈氏判定不僅可以判定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可以判斷系統(tǒng)離不穩(wěn)定相差的程度即體現(xiàn)了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，稱為穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定裕度分為相位裕度和幅值裕度。能考察實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行中參數(shù)變化、離散化時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定情況。在負(fù)反饋系統(tǒng)中模為1，相角為-180°將產(chǎn)生等幅振蕩，故臨界穩(wěn)定在奈氏圖中的位置--復(fù)平面上的(-1，0)點(diǎn)相位裕度相位裕量是在幅值滿足振蕩條件時(shí)，離等幅振蕩相位條件相差的程度。以負(fù)實(shí)軸方向?yàn)榛鶞?zhǔn),原點(diǎn)和G(jc)連線間的夾角稱為相位裕度，記為。逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。幅值裕度幅值裕度是在滿足振蕩的相位條件時(shí)，距離等幅振蕩幅值條件相差的程度，即奈氏曲線和實(shí)軸的交點(diǎn)。使G(s)相角為-180的值記為g，稱為相角交越頻率。

臨界振蕩的幅值1和|G(jg)|的比值稱為系統(tǒng)的幅值裕度，記為kg，即3.6系統(tǒng)穩(wěn)定性的改進(jìn)系統(tǒng)不穩(wěn)定可以分為兩類：結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定和非結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定。從特征方程的角度看結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定的特征方程缺項(xiàng)，而非結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定不缺項(xiàng)。非結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定系統(tǒng)中影響穩(wěn)定性的因素主要是參數(shù)，因此通過改變參數(shù)來穩(wěn)定系統(tǒng)或達(dá)到要求的穩(wěn)定裕量。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，由于缺少某些冪次的項(xiàng)，是不能通過改變參數(shù)來改變其不穩(wěn)定性的。其鎮(zhèn)定的基本原則是：想辦法補(bǔ)齊其缺項(xiàng)。穩(wěn)定性的改進(jìn)舉例（一）例3.13單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判定K的穩(wěn)定域及保證閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=-1左側(cè)時(shí)K的取值范圍。解：求取系統(tǒng)特征方程為0.025s3+0.35s2+s+K=0

作勞斯表：例3.13續(xù)（1）-(0.025K-0.35)0.02510.35KK若