河南省林州市林慮中學2023年數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)，滿足，則與的關系是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，關于的不等式只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知a=1,b=3-2A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a4．從1、2、3、4、5、6中任取兩個數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則（）A． B． C． D．5．與圓及圓都外切的圓的圓心在（）．A．一個圓上 B．一個橢圓上 C．雙曲線的一支上 D．拋物線上6．設，則（）A． B． C． D．7．設，隨機變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當X的數(shù)學期望取得最大值時，Y的數(shù)學期望為（）A．2 B． C． D．8．某校為了解本校高三學生學習的心理狀態(tài)，采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人參加某種測試，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為，抽到的人中，編號落在區(qū)間的人做試卷，編號落在的人做試卷，其余的人做試卷，則做試卷的人數(shù)為()A． B． C． D．9．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．21010．的展開式中的系數(shù)是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．235211．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時，,則（）A．12 B．20 C．28 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．=________________。14．已知是以為直徑的半圓弧上的動點，為圓心，為中點，若，則__________．15．在的展開式中，的系數(shù)為_____.16．高一（10）班有男生人，女生人，若用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為的樣本，則抽取男生的人數(shù)為__________人．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18．（12分）已知二項式．（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）設展開式中系數(shù)最大的項為求的值。19．（12分）已知正實數(shù)列a1，a2，…滿足對于每個正整數(shù)k，均有，證明：（Ⅰ）a1+a2≥2；（Ⅱ）對于每個正整數(shù)n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．20．（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.21．（12分）已知函數(shù)，.（I）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，即在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）時，求在點處的函數(shù)切線方程；（2）時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設，，則，對進行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【詳解】設，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【點睛】本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題2、C【解析】試題分析：，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，又∵，，不等式只有兩個整數(shù)解，∴，即實數(shù)的取值范圍是故選C．【考點】本題主要考查導數(shù)的運用．3、A【解析】

將b、c進行分子有理化，分子均化為1，然后利用分式的基本性質(zhì)可得出三個數(shù)的大小關系?！驹斀狻坑?而3+2<6+5，所以b>c，又【點睛】本題考查比較大小，在含有根式的數(shù)中，一般采用有理化以及平方的方式來比較大小，考查分析問題的能力，屬于中等題。4、D【解析】

根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】事件分為兩種情況：兩個均為奇數(shù)和兩個數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：，故選D.【點睛】本題考查條件概率，屬于基礎題.5、C【解析】

設動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與圓及圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為1．依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支．故選C．【點睛】本題主要考查了圓與圓的位置關系，以及雙曲線的定義的應用，其中解答中熟記圓與圓的位置關系和雙曲線的定義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、B【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比較的大小關系得解.詳解：由題得＜ln1=0,>.所以ab<0..所以，所以.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查實數(shù)大小的比較和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)解答本題的關鍵是對數(shù)的運算.7、D【解析】

利用數(shù)學期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學期望.【詳解】∵，∴當時，EX取得最大值，此時.故選：D【點睛】本題主要考查數(shù)學期望和分布列的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、B【解析】，由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項公式為，落入?yún)^(qū)間的人做問卷，由，即，解得，再由為正整數(shù)可得，做問卷的人數(shù)為，故選B.9、C【解析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．【點睛】本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應用，考查計算能力．10、B【解析】

先把多項式化簡，再用二項式定理展開式中的通項求出特定項的系數(shù)，求出對應項的系數(shù)即可.【詳解】解：，的二項式定理展開式的通項公式為，的二項式定理展開式的通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：B.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用以及利用二項式展開式的通項公式求展開式中某項的系數(shù)問題，是基礎題目.11、C【解析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．12、A【解析】

先計算出的值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出可得出的值?！驹斀狻慨敃r，，則，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，求函數(shù)值時要注意根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式，合理利用奇偶性是解本題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用定積分的幾何意義及其計算公式，可得結(jié)論．【詳解】由題意，可得.故答案為．【點睛】本題主要考查了定積分的計算公式，以及定積分的幾何意義的應用，其中解答中熟記定積分的計算公式，合理使用定積分的幾何意義求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

先用中點公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值．【詳解】，【點睛】本題主要考查向量中的中點公式應用以及數(shù)量積的定義．15、【解析】

本題考查二項式定理.二項展開式的第項為.則的第項為，令，可得的系數(shù)為16、6【解析】分析：根據(jù)分層抽樣的定義直接計算即可.詳解：設抽取男生的人數(shù)為，因為男生人，女生人，從該班的全體同學中抽取一個容量為的樣本，所以，取男生的人數(shù)為，故答案為.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個層次，抽取的比例相同.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)見解析．【解析】

（1）將代入函數(shù)中，求出導函數(shù)大于零求出遞增區(qū)間，導函數(shù)小于零求出遞減區(qū)間；（2）分為和和三種情況分別判斷在上的單調(diào)性，然后求出最大值和最小值．【詳解】（1）若，則，求導得．因為，令，即，解得或令，即，解得∴函數(shù)在和上遞增，在上遞減．即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①當時，∵在上遞減，∴在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．②當時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．③當時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬中檔題．18、（1）7920；（2）12.【解析】

(1)直接利用展開式通項,取次數(shù)為0,解得答案.(2)通過展開式通項最大項大于等于前一項和大于等于后一項得到不等式組,解得答案.【詳解】解：（1）展開式中的通項，令得所以展開式中的常數(shù)項為（2）設展開式中系數(shù)最大的項是，則所以代入通項公式可得.【點睛】本題考查了二項式定理的常數(shù)項和最大項,意在考查學生的計算能力.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）利用已知條件可得，然后結(jié)合基本不等式可證；（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法進行證明.【詳解】證明：（Ⅰ）當k＝2時，有，即，，∵，數(shù)列為正實數(shù)列，由基本不等式2，∴，∴a2+a2≥2．（Ⅱ）用數(shù)學歸納法：由（Ⅰ）得n＝2時，a2+a2≥2，不等式成立；假設當n＝k（k≥2）時，a2+a2+…+ak≥k成立；則當n＝k+2時，a2+a2+…+ak+ak+2≥k，要證kk+2，即證2，即為kak≥ak2+k﹣2，即為（ak﹣2）（k﹣2）≥0，∵k≥2，∴k﹣2≥2，當ak﹣2≥0時，a2+a2+…+ak+ak+2≥k+2，∴對于每個正整數(shù)n≥2，均有a2+a2+…+an≥n．當0＜ak＜2時，∵對于每個正整數(shù)k，均有，∴，則，a2+a2+…+an+an+2an+2n﹣2+2＝n+2．綜上，對于每個正整數(shù)n≥2，均有a2+a2+…+an≥n．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法在數(shù)列問題中的應用，明確數(shù)學歸納法的使用步驟是求解的關鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).20、解（1）；（2）或.【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì)，列出關于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，寫出切線方程即可（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.【詳解】（1）當時，，所以，

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為；

（2）因為函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，

所以在[1，3]上恒成立，令，則，解得，故.所以實數(shù)的取值范圍.