2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-22.2.1綜合法與分析法含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課時(shí)作業(yè)：2.2.1綜合法與分析法含解析第二章2。22。2.1請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案［16]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．用分析法證明不等式:欲證①A〉B，只需證②C<D，這里①是②的(D）A．既不充分也不必要條件B．充要條件C．充分條件D．必要條件［解析］∵②?①，但①不一定推出②，故選D．2．下圖是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖:在此流程圖中，①、②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是(C)A．①綜合法，②反證法 B．①分析法,②反證法C．①綜合法，②分析法 D．①分析法，②綜合法［解析］由已知到可知，進(jìn)而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法；由未知到需知，進(jìn)而找到與已知的關(guān)系為分析法，故選C．3．（2020·德州高二檢測(cè))在R上定義運(yùn)算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙（x－2）〈0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（BA．(0,2) B．(－2，1）C．(－1，2） D．(－∞，－2)∪（1,＋∞）［解析]由定義得x(x－2）＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2〈0，∴－2<x〈1.故選B．4．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足eq\f(1，x）＋eq\f(4，y)＝1,且不等式x＋eq\f（y,4）<m2－3m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(B）A．（－1，4) B．（－∞，－1）∪（4，＋∞)C．（－4,1） D．（－∞，0)∪（3，＋∞)［解析]∵x>0，y〉0，eq\f(1，x)＋eq\f(4，y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝(x＋eq\f(y，4））(eq\f（1,x）＋eq\f（4，y）)＝2＋eq\f（y，4x）＋eq\f（4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y，4x）·\f(4x,y））＝4，等號(hào)在y＝4x,即x＝2，y＝8時(shí)成立，∴x＋eq\f(y，4)的最小值為4，要使不等式m2－3m〉x＋eq\f（y，4)有解，應(yīng)有m2－3m〉4，∴m〈－1或m>4，故選5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（D)A．x<eq\f（x＋y,2)〈y<2xy B．2xy〈x<eq\f（x＋y,2）〈yC．x〈eq\f（x＋y，2)〈2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y，2）〈y［解析］∵y〉x〉0，且x＋y＝1,∴設(shè)y＝eq\f（3，4），x＝eq\f(1，4）,則eq\f(x＋y，2）＝eq\f（1，2)，2xy＝eq\f（3,8）。所以有x<2xy〈eq\f(x＋y,2)<y，故排除A、B、C，選D．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2））），B＝f(eq\r(ab)），C＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2ab,a＋b)）)，則A、B、C的大小關(guān)系為（A）A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析］eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab，a＋b)，又函數(shù)f（x)＝(eq\f(1,2）)x在(－∞，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴f(eq\f(a＋b，2））≤f(eq\r（ab))≤f(eq\f(2ab，a＋b））．二、填空題7．如果aeq\r（a)＋beq\r(b）>aeq\r(b)＋beq\r(a），則實(shí)數(shù)a、b應(yīng)滿足的條件是__a≠b且a≥0，b≥0__.[解析］aeq\r(a)＋beq\r(b）〉aeq\r(b）＋beq\r（a）?aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r（b)－beq\r(a)〉0?a（eq\r(a)－eq\r(b))＋b（eq\r（b）－eq\r(a)）〉0?（a－b）(eq\r（a）－eq\r(b))〉0?（eq\r(a）＋eq\r（b）)（eq\r（a)－eq\r（b））2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，則x1＋x2的值是__4__.［解析]∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x與y＝4－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．又∵x＋log2x＝4，∴l(xiāng)og2x＝4－x，∴x2是y＝log2x與y＝4－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．又y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù),其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝4－x，，y＝x）)得x＝2，∴eq\f（x1＋x2,2）＝2,∴x1＋x2＝4。三、解答題9．已知n∈N＊,且n≥2，求證：eq\f（1，\r(n)）〉eq\r（n)－eq\r（n－1）。［證明］要證eq\f(1，\r（n））>eq\r(n）－eq\r(n－1），即證1〉n－eq\r（nn－1)，只需證eq\r(nn－1)>n－1,∵n≥2，∴只需證n（n－1)>(n－1)2,只需證n>n－1，只需證0〉－1，最后一個(gè)不等式顯然成立，故原結(jié)論成立．10．已知a，b，c表示△ABC的三邊長(zhǎng)，m＞0,求證：eq\f(a，a＋m）＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).[證明]要證明eq\f（a,a＋m）＋eq\f(b，b＋m）＞eq\f(c，c＋m）,只需證明eq\f（a，a＋m)＋eq\f（b,b＋m)－eq\f(c，c＋m)＞0即可．∵eq\f（a，a＋m）＋eq\f（b，b＋m）－eq\f(c，c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m，a＋mb＋mc＋m），∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴（a＋m）（b＋m)（c＋m)＞0，∵a(b＋m）(c＋m）＋b（a＋m)(c＋m）－c（a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋（a＋b－c)m2，∵△ABC中任意兩邊之和大于第三邊，∴a＋b－c＞0,∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a，a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)關(guān)于綜合法和分析法說法正確的是(ABC）A．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法B．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D．綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法［解析］選項(xiàng)A成立,選項(xiàng)B和C是綜合法的思路就是由因?qū)Ч?，和分析法的概念，是?zhí)果索因法,正確．選項(xiàng)D不符合定義，排除D選項(xiàng)．故選ABC．2．（多選題)在f(m,n)中，m、n、f（m，n)∈N＊，且對(duì)任意m、n都有：（1）f(1，1)＝1，（2）f(m，n＋1)＝f(m，n）＋2，（3）f（m＋1,1）＝2f(m，1）;給出下列三個(gè)結(jié)論①f(1，5）＝9；②f（5,1)＝16；③f(5，6）＝26.其中結(jié)論正確的是（ABC）A．① B．②C．③ D．都不正確［解析]∵f（m，n＋1)＝f（m，n）＋2，∴f(m，n）組成首項(xiàng)為f(m，1），公差為2的等差數(shù)列，∴f（m，n）＝f(m，1）＋2(n－1）．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1，1）＋2×(5－1）＝9，又∵f（m＋1，1）＝2f(m，1），∴f（m,1)構(gòu)成首項(xiàng)為f(1,1），公比為2的等比數(shù)列，∴f（m，1)＝f(1,1）·2m－1＝2m－1,∴f（5,1）＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f（5，1）＋2×(6－1)＝16＋10＝26，二、填空題3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0,cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos（α－β）＝__－eq\f(1,2）__。［解析]由題意sinα＋sinβ＝－sinγ,①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①，②兩邊同時(shí)平方相加得，2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1，2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－eq\f（1,2).4．我國唐代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家張逐曾以“李白喝酒”為題編寫了如下一道題：“李白街上走,提壺去買酒，遇店加一倍,見花喝一斗(計(jì)量單位)，三遇店和花，喝光壺中酒．”問最后一次遇花時(shí)有酒__1__斗，原有酒__eq\f(7,8)__斗．［解析］因?yàn)樽詈笠淮魏裙饩?，且見花喝一斗，所以最后一次遇花時(shí)有酒1斗,設(shè)原有酒x斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，見花喝一斗得:第一次見店又見花后酒有2x－1斗,第二次見店又見花后酒有2(2x－1）－1斗，第三次見店又見花后酒有2［2(2x－1)－1]－1斗，因?yàn)樽詈笠淮魏裙饩?，所?［2(2x－1）－1]－1＝0，解得x＝eq\f（7,8)。三、解答題5．用分析法證明eq\r(6）＋eq\r（10)＞2eq\r（3）＋2。［解析]要證eq\r(6）＋eq\r（10）＞2eq\r（3)＋2,只要證(eq\r(6）＋eq\r(10）)2＞（2eq\r(3）＋2）2，即證16＋2eq\r（60）＞16＋8eq\r（3)，即證240＞192，因?yàn)?40＞192顯然成立,所以原不等式成立．6．已知a、b是不等正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證：1〈a＋b<eq\f(4，3）。［證明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b,由（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2〉a2＋ab＋b2得（a＋b）2>a＋b，又a＋b>0,∴a＋b>1，要證a＋b<eq\f（4，3）,即證3（a＋b)<4，∵a＋b〉0，