重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊(cè)常考題專練（人教A版2019選修一）專題17 圓錐曲線?？碱}型05-圓錐曲線中的存在性問(wèn)題與面積問(wèn)題含答案

重難點(diǎn)突破--高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（人教A版2019選修一）專題17圓錐曲線中的存在性問(wèn)題與面積問(wèn)題題型一圓錐曲線中的存在性問(wèn)題1．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)、，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上是否存在，兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若存在，求的面積；若不存在，說(shuō)明理由．4．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線使得？若存在，求的方程；若不存在，說(shuō)明理由．6．已知圓，圓的弦過(guò)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)，使得為定值．

7．已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出的方程，若不存在，說(shuō)明理由．8．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，使直線交橢圓于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

9．已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否在點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線，且直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．

11．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求、的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程．（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？（說(shuō)明理由）

13．如圖，橢圓的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型二圓錐曲線中的面積問(wèn)題14．已知橢圓焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)，的距離之差為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△的面積．

15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求的面積．16．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求此橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在第二象限，，求△的面積．

17．已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求為原點(diǎn)）面積的最大值．18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足與的斜率之積等于，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且四邊形的面積為，求的方程．

19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）．（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程．20．橢圓與拋物線的公共弦長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若的面積為，求直線的方程．

21．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為8．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，是該橢圓上的一點(diǎn)，且它位于第一象限，點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，求四邊形的面積．22．已知拋物線，圓，是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求的面積．

23．李華找了一條長(zhǎng)度為8的細(xì)繩，把它的兩端固定于平面上兩點(diǎn)，處，，套上鉛筆，拉緊細(xì)繩，移動(dòng)筆尖一周，這時(shí)筆尖在平面上留下了軌跡，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，經(jīng)測(cè)量此時(shí)，且△的面積為4．（1）以，所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求李華筆尖留下的軌跡的方程（鉛筆大小忽略不計(jì)）；（2）若直線1與軌跡交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求的面積．24．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求的離心率；（2）如果存在點(diǎn)，使得，且△的面積等于16，求的值和的取值范圍．

25．已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積．26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，，為的兩條切線，，是切點(diǎn)，求面積的最大值．

27．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程和拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)異于，直線與軸相交于點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程．28．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)在定直線上；直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．專題17圓錐曲線中的存在性問(wèn)題與面積問(wèn)題題型一圓錐曲線中的存在性問(wèn)題1．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)、，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，可得右焦點(diǎn)，即，由題意可得，解得，，即有橢圓的方程為；（Ⅱ）假設(shè)橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)、，可設(shè)的方程為，代入橢圓方程，可得，即有△，即，解得，設(shè)，，，，可得，即有的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，代入直線，可得，即有，，則存在，，且的方程為．2．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可得，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為：，證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，且此圓為，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△，即，由方程組得，則△，設(shè)，，，，則，，設(shè)直線，直線的斜率為，，所以，將，代入上式得，要使得以為定值，則，即，所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為，此時(shí)圓與的交點(diǎn)，也滿足以為定值，綜上，當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿足定值．3．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上是否存在，兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若存在，求的面積；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，其點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，點(diǎn)在拋物線上，則：，解方程可得：，由對(duì)稱性，不妨取，則：，直線的方程為，即，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離：，易知．4．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）依題意，可設(shè)橢圓的方程為，且可知左焦點(diǎn)為，從而有，解得，，又，所以，故橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以有△，解得，另一方面，由直線與的距離，從而，由于，，所以符合題意的直線不存在．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線使得？若存在，求的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）由題及（Ⅰ）知，，假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組，可得，由，解得，由題意可知點(diǎn)為的重心，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不存在直線，使得．6．已知圓，圓的弦過(guò)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)，使得為定值．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，，為焦點(diǎn)的橢圓，則，，所以，，，所以的方程為，（2）假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題意，設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程，消去整理可得：，所以，，所以，，所以，，，因?yàn)闉槎ㄖ担耘c無(wú)關(guān)，所以，解得，此時(shí)，所以存在點(diǎn)，使得為定值．7．已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出的方程，若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由的面積為，則，得，所以，又點(diǎn)在橢圓上，①因?yàn)槭菣E圓的焦點(diǎn)，所以②由①②解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）假設(shè)存在直線滿足題意，因?yàn)榈男甭剩O(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，△，解得，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，則，，以為直徑的圓的方程為，該圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以存在直線滿足題意，此時(shí)直線的方程為．8．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，使直線交橢圓于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可得，所以，，所以，所以橢圓的方程為：；（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與橢圓，整理可得：，△，即，，，，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則，即，，，所以，整理可得：，即，解得：符合判別式大于0，所以直線的方程為：．9．已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否在點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題可知，解得，，．所求的方程為；（2）設(shè)存在定點(diǎn)，并設(shè)，，，．由，消可得．，．，，即．，整理為．．可得．即，．存在定點(diǎn)滿足題意．10．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線，且直線交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，，解得，所以，故橢圓的方程為；（2）由（1）可知，，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)．①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，可得，所以，，故，因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有，即，此時(shí)；②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，亦有．綜上所述，在軸上有在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為．11．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求、的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）依題意，，當(dāng)軸時(shí)，則，，得；（2）設(shè)，，，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即．直線，聯(lián)立，解得，；（3）設(shè)，，，，，，直線，則，．聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標(biāo)；由直線的方程：，得的縱坐標(biāo)．若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得．存在直線或滿足題意．12．在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程．（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？（說(shuō)明理由）【解答】解：聯(lián)立，不妨取，，由曲線可得：，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，其切線方程為：，化為．同理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為：．存在符合條件的點(diǎn)，下面給出證明：設(shè)滿足．，，，，直線，的斜率分別為：，．聯(lián)立，化為，，．．當(dāng)時(shí)，，直線，的傾斜角互補(bǔ)，．點(diǎn)符合條件．13．如圖，橢圓的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得，，又，且，，解得，，橢圓的方程為：；（Ⅱ）結(jié)論：存在常數(shù)，使得為定值．理由如下：對(duì)直線斜率的存在性進(jìn)行討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得：，△，，，從而．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為定值；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線即為直線，此時(shí)；故存在常數(shù)，使得為定值．題型二圓錐曲線中的面積問(wèn)題14．已知橢圓焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)，的距離之差為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△的面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意，橢圓焦點(diǎn)為，，則橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且；又由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，則，又由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又由橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)，的距離之差為2，設(shè)，則有，解可得：，，又由，則為直角三角形，其面積；故△的面積為6．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求的面積．【解答】解：（1）把點(diǎn)代入拋物線，可得，解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為的直線方程為，聯(lián)立，解得或．不妨設(shè)，．則的面積為，所以所求的面積為2．16．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求此橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在第二象限，，求△的面積．【解答】解：（1）依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．（3分）（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，所在直線的方程為，即．（4分）解方程組并注意到，，可得（6分）．（8分）17．已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與軸不垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求為原點(diǎn)）面積的最大值．【解答】解：（1）由題意可得，，，因?yàn)殡x心率，所以，因?yàn)椋?，解得．?）由（1）知，橢圓，上焦點(diǎn)，設(shè)，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，所以，，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以為原點(diǎn)）面積的最大值為．18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足與的斜率之積等于，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且四邊形的面積為，求的方程．【解答】解：（1）設(shè)，由題意可得，化為，可得的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在，即直線方程為，可得四邊形的面積為，不符題意，舍去；設(shè)直線方程為，代入方程，可得，，由，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得四邊形的面積為，解得，即有直線的方程為．19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）．（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程．【解答】解：（1）由題知，故，拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，得，，，，．（2），由（1）知，可求得，，故，的方程為，即．20．橢圓與拋物線的公共弦長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若的面積為，求直線的方程．【解答】解：（1）由橢圓和拋物線的對(duì)稱性可設(shè)、交點(diǎn)的坐標(biāo)為，和，，由兩曲線的公共弦長(zhǎng)為，可得，代入拋物線得，將點(diǎn)代入橢圓方程得，①，離心率為可得②，聯(lián)立①，②可得，，即橢圓方程為：．（2）由題意可知，且點(diǎn)不是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，因此可設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得：，△恒成立，，原點(diǎn)到直線的距離，則點(diǎn)到直線的距離為，，解得或（舍去），即直線的方程為．21．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為8．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，是該橢圓上的一點(diǎn)，且它位于第一象限，點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，求四邊形的面積．【解答】解：（1）由題意，解得，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，又點(diǎn)的坐標(biāo)軸為，，．22．已知拋物線，圓，是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求的面積．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，即，可得，設(shè)，，，，所以，故，所以，，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入圓方程可得，解得，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，故．23．李華找了一條長(zhǎng)度為8的細(xì)繩，把它的兩端固定于平面上兩點(diǎn)，處，，套上鉛筆，拉緊細(xì)繩，移動(dòng)筆尖一周，這時(shí)筆尖在平面上留下了軌跡，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，經(jīng)測(cè)量此時(shí)，且△的面積為4．（1）以，所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求李華筆尖留下的軌跡的方程（鉛筆大小忽略不計(jì)）；（2）若直線1與軌跡交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求的面積．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，故．在△中，，假設(shè)，，又△的面積為，，故，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，弦的中點(diǎn)為，，且．又，均在橢圓上，，得，即．．，故直線的方程為：．聯(lián)立，整理得．得，，，，．的面積為4．24．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求的離心率；（2）如果存在點(diǎn)，使得，且△的面積等于16，求的值和的取值范圍．【解答】解：（1）連接，由為等邊三角形可知在△中，，，，于是，故曲線的離心率．（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)：，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故，由②③得，所以，從而，故，當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)．所以，的取值范圍為，．25．已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積．【解答】解：（1）證明：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)，，，，即有，，切線的方程為，即為，切線的方程為，聯(lián)立兩切線方程可得，可得，即，直線的方程為，即為，可化為，可得恒過(guò)定點(diǎn)；（2）法一：設(shè)直線的方程為，由（1）可得，，中點(diǎn)，由為切點(diǎn)可得到直線的距離即為，可得，解得或，即有直線的方程為或，由可得，四邊形的面積為；由，可得，此時(shí)到直線的距離為；到直線的距離為，則四邊形的面積為；法二：（2）由（1）得直線的方程為．由，可得．于是，，，．設(shè)，分別為點(diǎn)，到直線的距離，則，．因此，四邊形的面積．設(shè)為線段的中點(diǎn)，則．由于，而，與向量平行，所以．解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，四邊形的面積為3或．26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為4．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，，為的兩條切線，，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【解答】解：（1）點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則，設(shè)切點(diǎn)，，，，則易得，從而得到，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去并整理可得，△，即，且，，，，，①，又點(diǎn)在圓上，故，代入①得，，而，，當(dāng)時(shí)，．27．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程和拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)異于，直線與軸相交于點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為．依題意可得，解得，，，于是．所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（Ⅱ）解：直線的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)，故．聯(lián)立方程組，消去，整理得，解得，或．，．直線的方程為，令，解得，故，．．又的面積為，，整理得，解得，．直線的方程為，或．28．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)在定直線上；直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，即有，，解得，，可得橢圓的方程為；（Ⅱ）證法一：設(shè)，，可得，由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率為，則切線的方程為，可化為，代入橢圓方程，可得，△，可得．設(shè)，，，，可得，即有中點(diǎn)，，直線的方程為，可令，可得．即有點(diǎn)在定直線上；證法二、如圖：設(shè)，切線的方程為，設(shè)，，，，則，，兩式相減可得，可得，則，即直線，再令，可得，所以點(diǎn)在定直線上；直線的方程為，令，可得，則；，則，令，則，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．專題18圓錐曲線選填中檔題匯編(1)一．選擇題（共10小題）1．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為A． B． C． D．2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．3．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．4．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，且交軸于點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．5．設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)．若，且，則雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．6．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為A．5 B．4 C．2 D．17．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，，分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則等于A．4 B． C．2 D．38．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．9．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作圓的切線，交軸于點(diǎn)，切圓于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．10．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．二．多選題（共13小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是參考數(shù)據(jù)A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在不同的四個(gè)點(diǎn)，2，3，，使得垂直12．已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)，曲線為橢圓 B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為 C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件 D．不存在實(shí)數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線13．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，，，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率可能為A． B． C． D．14．設(shè)，，，是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為A．為定值 B．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn) C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為415．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且△的面積為雙曲線和橢圓焦點(diǎn)相同，且雙曲線的離心率為，是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．16．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．的離心率為 C．曲線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn) D．直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)

17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，，分別為，在上的射影，且，為中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B．為等腰直角三角形 C．直線的斜率為 D．線段的長(zhǎng)為18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記，的斜率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為 C．為定值 D．存在點(diǎn)，使得19．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是A． B． C．軸，且 D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，則A．若拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，則拋物線的方程為 B．若，則直線的斜率為 C．若直線的斜率為，則 D．設(shè)線段的中點(diǎn)為，若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為21．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，分別為其實(shí)軸的左、右端點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支一點(diǎn)，為△的內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的有A．離心率 B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 C．若成立，則 D．若垂直軸于點(diǎn)，則22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的，若點(diǎn)是橢圓上不與，共線的任意點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為16，則下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．的離心率為 C．雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 D．點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)不與，重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，若，，三點(diǎn)共線，則23．發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對(duì)把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對(duì)橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)．已知：曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是A．曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) B．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 C．曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 D．若點(diǎn)在曲線上，則△的面積不大于三．填空題（共10小題）24．已知橢圓的上焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為．25．設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為上第一象限的一點(diǎn)．若，，則橢圓的離心率為．26．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，、為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若△的面積為，則直線的斜率為．27．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為，過(guò)點(diǎn)分別作兩條直線，，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為．28．汽車前照燈的反射鏡為一個(gè)拋物面．它由拋物線沿它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成．通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，其中燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上．由燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射后形成平行光束，再經(jīng)過(guò)透鏡的折射等作用達(dá)到照亮路面的效果．如圖，從燈泡發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行射出，的角平分線所在的直線方程為，則拋物線方程為．29．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則直線的方程為．30．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為．31．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)度是．32．以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)．已知，，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．33．已知是拋物線與雙曲線上有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，，則的最小值是．專題18圓錐曲線選填中檔題匯編(1)一．選擇題（共10小題）1．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，，設(shè)，，，，則有：，，兩式作差得：，又的斜率是，所以將代入，解得，．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：．2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：在△中，，，由雙曲線的定義知，，，，，，即，即，，即，雙曲線的漸近線方程為．故選：．3．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，或，由題意可得，，，，則，，，或，當(dāng)時(shí)，取最小值為．故選：．4．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，且交軸于點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)闉榈闹写咕€，所以，又為的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)，，，，因?yàn)?，所以，同理可得，所以，則，又由已知橢圓方程可得，，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：．5．設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)．若，且，則雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．【解答】解：由雙曲線的定義知，，，，，，，即，在△中，由余弦定理知，，，，化簡(jiǎn)得，，雙曲線的漸近線方程為，即．故選：．6．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為A．5 B．4 C．2 D．1【解答】解：是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)，為的外角平分線，，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，由題意知是△的中位線，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以5為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)與軸重合時(shí)，與短軸端點(diǎn)取最近距離．故選：．7．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，，分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則等于A．4 B． C．2 D．3【解答】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，在雙曲線的右支上，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，，可得，，設(shè)，，四邊形是平行四邊形，所以，，在△中由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，該式可化為：，結(jié)合，，則．故選：．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接，，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，，依題意可得，，，，，，，，雙曲線的漸近線方程為．故選：．9．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作圓的切線，交軸于點(diǎn)，切圓于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【解答】解：若，可得，且，由，，可得，，在中，由直角三角形的射影定理可得，則，即，則，故選：．10．已知點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，設(shè)，，，則，，根據(jù)雙曲線的定義，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，該雙曲線的離心率．故選：．二．多選題（共13小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是參考數(shù)據(jù)A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在不同的四個(gè)點(diǎn)，2，3，，使得垂直【解答】解：如圖，設(shè)，則由正六邊形性質(zhì)可得點(diǎn)，，由點(diǎn)在橢圓上可得，結(jié)合，可得，所以橢圓的離心率，故正確，所以，所以當(dāng)點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，故錯(cuò)誤，點(diǎn)，在雙曲線的漸近線上可得，即，所以雙曲線的離心率，故正確，當(dāng)由正六邊形的性質(zhì)可知，雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)，，，，使得垂直，故正確．故選：． 12．已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)，曲線為橢圓 B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為 C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件 D．不存在實(shí)數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線【解答】解：對(duì)于：當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)，且，解得，但時(shí)，曲線為，表示圓，故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，曲線為，漸近線為，故正確；對(duì)于：當(dāng)曲線為雙曲線，則，解得或，故正確；對(duì)于：當(dāng)曲線為離心率為的雙曲線時(shí)，則，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，曲線表示圓，故正確，故選：．13．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，，，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率可能為A． B． C． D．【解答】解：由題意設(shè)，，，，則，，且為向量與的夾角，因?yàn)闉殁g角，則，即，，，即，又，所以，即，解得，又，所以，故選：．14．設(shè)，，，是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為A．為定值 B．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn) C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【解答】解：設(shè)直線方程為，，，，，將直線方程代入拋物線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)得，則，，，，．于是直線方程為，該直線過(guò)定點(diǎn)．故正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)不滿足直線方程，所以不正確；，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，最小值為16．所以正確；到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最大值4，即正確；故選：．15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且△的面積為雙曲線和橢圓焦點(diǎn)相同，且雙曲線的離心率為，是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是A． B． C． D．【解答】解：由題意可得△的面積為，即有，則，設(shè)雙曲線的方程為，在第一象限，且，，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，在△中，，則，可得，則，即有，由，可得，則，，，，所以選項(xiàng)正確；錯(cuò)誤．故選：．16．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．的離心率為 C．曲線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn) D．直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)【解答】解：設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)條件可得，且，解得，，所以雙曲線的方程為，故對(duì)；離心率，故錯(cuò)；雙曲線的焦點(diǎn)為，，將代入得，所以對(duì)；聯(lián)立，整理得，則△，故只有一個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)，故選：．17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，，分別為，在上的射影，且，為中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B．為等腰直角三角形 C．直線的斜率為 D．線段的長(zhǎng)為【解答】解：由拋物線方程，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意可得直線的斜率不為0，由題意設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，由題意可知，，將直線與拋物線聯(lián)立整理得，則，，中，，，，即，即，所以正確；中，由正確，不可能，更不會(huì)或?yàn)橹苯?，所以不正確；中，因?yàn)?，所以，即，又，，所以，解得，即，所以直線的斜率為，所以正確；中，由題意可得弦長(zhǎng)，所以正確．故選：．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記，的斜率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為 C．為定值 D．存在點(diǎn)，使得【解答】解：雙曲線的離心率為，，，漸近線方程為，故錯(cuò)誤；又，則，，則雙曲線方程為，故正確；，，設(shè)，則，故正確；，點(diǎn)在第一象限，漸近線方程為，，則，，即存在點(diǎn)，使得，故正確．故選：．19．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是A． B． C．軸，且 D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，【解答】解：由橢圓，可得，，，，，，對(duì)于，，即為，所以，即，不符題意，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，即，所以，即有，解得舍去），符合題意，正確；對(duì)于，若軸，且，所以，由，可得，解得，又，所以，不符題意，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，則，結(jié)合，所以，即，解得（舍去）或，所以，故正確．故選：．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，則A．若拋物線上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，則拋物線的方程為 B．若，則直線的斜率為 C．若直線的斜率為，則 D．設(shè)線段的中點(diǎn)為，若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為【解答】解：對(duì)于，拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為，故正確；對(duì)于，可設(shè)，，，，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去，可得，可得，，①由，即為，可得，②，由①②可得，，則，可得，即有直線的斜率為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若直線的斜率為，由選項(xiàng)可得，，由拋物線的弦長(zhǎng)公式可得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則該拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立可得，△，，所以，，到軸的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故正確．故選：．21．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，分別為其實(shí)軸的左、右端點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支一點(diǎn)，為△的內(nèi)心，則下列結(jié)論正確的有A．離心率 B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 C．若成立，則 D．若垂直軸于點(diǎn)，則【解答】解：，且，，，，，即選項(xiàng)正確；設(shè)內(nèi)切圓與△的三邊分別相切于點(diǎn)，，，如圖所示，由圓的切線長(zhǎng)定理知，，，，由雙曲線的定義知，，而，，，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，故選項(xiàng)正確；設(shè)圓的半徑為，，，即，，即，，即選項(xiàng)正確；假設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)其坐標(biāo)為，則，垂直軸于點(diǎn)，，，，，若，則，化簡(jiǎn)得，此時(shí)點(diǎn)與重合，不符合題意，即選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．22．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的，若點(diǎn)是橢圓上不與，共線的任意點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為16，則下列結(jié)論正確的是A．的方程為 B．的離心率為 C．雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 D．點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，是的左、右頂點(diǎn)不與，重合），設(shè)直線，的斜率分別為，，若，，三點(diǎn)共線，則【解答】解：根據(jù)題意可得，解得，，，對(duì)于：橢圓的方程為，即正確；對(duì)于，即錯(cuò)誤；對(duì)于：雙曲線的漸近線為，聯(lián)立，且，，解得，，雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，即正確；對(duì)于：由題意知，，，設(shè)，，則，在圓上，且，，三點(diǎn)共線，，，，即，故選項(xiàng)正確．故選：．23．發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對(duì)把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對(duì)橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)．已知：曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是A．曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) B．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 C．曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 D．若點(diǎn)在曲線上，則△的面積不大于【解答】解：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐