0515高一數(shù)學(xué)（人教A版）平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示-1教案

教案教學(xué)基本信息課題平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級(jí)高一教材書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員姓名單位設(shè)計(jì)者實(shí)施者指導(dǎo)者課件制作者其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課主要研究平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；探究如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線的充要條件。教學(xué)中關(guān)注向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，通過(guò)應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示判斷三點(diǎn)共線問(wèn)題，解決定比分點(diǎn)確定分點(diǎn)的坐標(biāo)公式的問(wèn)題，體會(huì)向量坐標(biāo)運(yùn)算所帶來(lái)的優(yōu)越性，提高轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合和分類討論的意識(shí)，共設(shè)計(jì)4道例題。教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入在前面的學(xué)習(xí)中，我們理解了平面向量基本定理及其意義；借助平面直角坐標(biāo)系，掌握了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算.首先我們一起來(lái)回顧平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示.已知向量，則用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.請(qǐng)大家思考，我們當(dāng)時(shí)探究的過(guò)程中是通過(guò)怎樣的路徑解決的呢？我們首先已知向量的坐標(biāo)，利用向量的正交分解，取與軸，軸方向相同的兩個(gè)單位向量，向量和向量作為一組基底，則向量可以分解為，向量可以分解為，接著利用向量的加、減運(yùn)算，得到新向量，這里所得向量也是用向量和向量線性表示的.最后，我們?cè)俑鶕?jù)正交分解，利用向量的坐標(biāo)定義，得到新向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示，從而形成由已知向量坐標(biāo)到向量線性運(yùn)算后所得向量的坐標(biāo)的研究路徑.回顧所學(xué)，提煉解決問(wèn)題的一般路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索研究.新課我們知道，平面向量的線性運(yùn)算包括加、減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，那么平面向量的數(shù)乘運(yùn)算該如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？我們可否延續(xù)這樣的研究路徑，去探究平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示呢？下面，我們來(lái)思考這樣的一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1已知向量，你能得出()的坐標(biāo)嗎?我們延續(xù)研究平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示的路徑，已知向量的坐標(biāo)為，利用向量的正交分解，取與軸，軸方向相同的兩個(gè)單位向量，向量和向量作為一組基底，則向量可以分解為，現(xiàn)在我們的目的求解的坐標(biāo)，因此，根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律，可將表示為再根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律，得到，原式等于此時(shí)，我們就得到了用基底向量和向量線性表示的形式，因此，我們?cè)俑鶕?jù)正交分解，利用向量的坐標(biāo)定義，得到：這就是平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.用文字語(yǔ)言表述為：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).至此，我們得到了平面向量的加、減、數(shù)乘這三個(gè)線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.我們來(lái)提煉一下整個(gè)探究過(guò)程中的方法，我們從已知向量出發(fā)，利用向量的正交分解，取一組基底向量和向量，將向量分解為用向量和向量的表達(dá)式，通過(guò)向量已有的加、減、數(shù)乘運(yùn)算，得到和向量、差向量、以及數(shù)乘運(yùn)算后所得向量的表達(dá)式，在正交分解情景下，從而得到加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.實(shí)現(xiàn)了從已知向量坐標(biāo)到向量線性運(yùn)算后所得向量坐標(biāo)的研究路徑.下面我們通過(guò)一個(gè)例題，具體體會(huì)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示.已知，求的坐標(biāo).根據(jù)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，我們得到：根據(jù)平面向量加法運(yùn)算的坐標(biāo)表示，原式即利用平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，我們求出了這兩個(gè)向量的線性組合的坐標(biāo).在學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，我們利用向量的數(shù)乘運(yùn)算刻畫(huà)了兩個(gè)向量共線的充要條件，接下來(lái)，一個(gè)自然的想法是，向量的共線是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)表示呢？下面我們一起探究問(wèn)題2：如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線的條件？首先，請(qǐng)大家回憶什么是向量共線？我們稱：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.并且我們規(guī)定：零向量與任意向量平行（或共線）.接著，回憶兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？前面我們已經(jīng)證明過(guò)兩個(gè)向量共線的充要條件，即對(duì)于向量，其中，共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使現(xiàn)在，我們的目標(biāo)是用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量共線的充要條件，因此我們需要先將向量的坐標(biāo)表示出來(lái)，這樣，我們的核心問(wèn)題就轉(zhuǎn)化到了將向量用坐標(biāo)表示了.因此，我們首先設(shè)設(shè)，其中請(qǐng)大家思考這里，那對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)有何要求呢？不難發(fā)現(xiàn)，向量，即對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)至少有一個(gè)不為零.因?yàn)橄蛄抗簿€，根據(jù)向量共線的充要條件，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得根據(jù)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，等于根據(jù)相等向量的定義，得到如下方程組：我們現(xiàn)在的目標(biāo)是用向量坐標(biāo)來(lái)表示這一條件，因此我們要對(duì)方程組進(jìn)行消元，消去，那么如何進(jìn)行消元呢？有的同學(xué)可能會(huì)說(shuō)，將方程組的兩個(gè)方程相除，消去，得到：，這里我們要注意，該條件中要求且，而這與至少有一個(gè)不為零這一條件顯然是不等價(jià)的，忽略了且這一情況，因此這種消元的方式不嚴(yán)謹(jǐn).同理，消元得到的這一條件中，顯然忽略了且這一情況，同樣是不可取的.或許，還有同學(xué)選擇將方程組中分別除到等式左側(cè)，得到，從而得到這一條件，而這一條件中要求且，同樣的，這與至少有一個(gè)不為零這一條件顯然是不等價(jià)的，忽略了或這兩種情況，所以這種消元的方式也不嚴(yán)謹(jǐn).那么我們?cè)趺聪拍鼙荛_(kāi)出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r呢？我們不妨采取交叉相乘的方式，得到，從而得到這里同樣的，我們檢驗(yàn)一下，當(dāng)或當(dāng)時(shí)，該條件是否依舊成立？當(dāng)時(shí)，由方程得，，此時(shí)，條件成立.當(dāng)時(shí)，由方程得，，此時(shí)，條件仍然成立.由此，我們判斷這個(gè)條件是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?！因此，通過(guò)以上分析和探究，我們最終得到：已知向量，其中則向量共線的充要條件是.我們來(lái)提煉一下整個(gè)探究過(guò)程中的方法，上述過(guò)程我們探究了向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示，過(guò)程中，我們將我們已有的向量形式的充要條件坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算，得到坐標(biāo)形式下的充要條件，本質(zhì)上是將幾何的問(wèn)題代數(shù)化的一個(gè)過(guò)程，這也為我們后續(xù)解決向量共線問(wèn)題提供了兩條路徑.下面，我們利用這一充要條件來(lái)解決一個(gè)向量共線的問(wèn)題：已知，且//，求.因?yàn)槠叫邢蛄坑址Q共線向量，所以根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示，得到解得以上是向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示的直接應(yīng)用.溫故知新，通過(guò)對(duì)平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示的研究路徑的復(fù)習(xí)，引入本節(jié)新課，探究平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)，進(jìn)一步探索、解決平面向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示，提高學(xué)生對(duì)坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)坐標(biāo)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性.過(guò)程中關(guān)注代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性.直接應(yīng)用，深化概念.例題已知，判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.請(qǐng)大家利用本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容解決這一問(wèn)題.我們要判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，需要從“形”的角度入手，在平面直角坐標(biāo)系中作出三點(diǎn)，如圖，觀察圖形，我們猜想三點(diǎn)共線，想要證明三點(diǎn)共線，我們可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明含有公共點(diǎn)的任意兩個(gè)向量共線的問(wèn)題，比如：向量，共線的問(wèn)題.利用今天學(xué)習(xí)的兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示，或者兩個(gè)向量共線的概念均可證明這一問(wèn)題.下面我們從這兩個(gè)角度分別求解，先考慮坐標(biāo)表示：方法1，根據(jù)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，得到向量因?yàn)樗愿鶕?jù)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示，得到//因?yàn)橹本€，直線有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.這里我們要關(guān)注兩點(diǎn)，第一點(diǎn)，由得到的//，我們的依據(jù)是坐標(biāo)形式下的向量共線的充要條件.另外，在證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化成為具有公共點(diǎn)的向量共線的問(wèn)題.下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)向量共線的充要條件的另外一種形式，證明向量，共線.在剛剛得到向量，坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，由得到即：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得又因?yàn)橹本€，直線有公共點(diǎn)，同樣的，我們證明了三點(diǎn)共線.這里我們關(guān)注到，在解法2中，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到了利用向量共線充要條件的數(shù)乘運(yùn)算形式，最終證明了三點(diǎn)共線.我們來(lái)提煉一下上述過(guò)程中的兩種處理策略，我們首先將證明三點(diǎn)共線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明具有公共點(diǎn)的兩個(gè)向量，向量，共線的問(wèn)題，方法1應(yīng)用了本節(jié)課所學(xué)習(xí)的坐標(biāo)形式下的向量共線的充要條件，證明了向量，共線.方法2，則側(cè)重了向量共線的概念，從向量間滿足的數(shù)乘運(yùn)算關(guān)系，證明了向量，共線.這兩種方法也成為我們后續(xù)解決向量共線問(wèn)題的兩種基本策略.下面看這樣一個(gè)問(wèn)題：設(shè)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).這里我們要求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以根據(jù)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，將其轉(zhuǎn)化為以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo).同理，點(diǎn)的坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo).如圖，根據(jù)平面向量基本定理，我們可以選取已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，再代入坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化表示.下面我們具體求解：（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)榈淖鴺?biāo)分別是，所以向量如圖，我們的目標(biāo)是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然向量是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線的一半，利用平行四邊形法則，由向量的線性運(yùn)算可知：向量，代入坐標(biāo)，等于，等于，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是相信同學(xué)們還會(huì)有不同的解法，我們?cè)偻ㄟ^(guò)另外一種角度來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)是線段的中點(diǎn)，根據(jù)上面例題的求解過(guò)程帶給我們的啟示，如圖，這里我們可以看到點(diǎn)三點(diǎn)共線，且向量，我們現(xiàn)在的目標(biāo)是求點(diǎn)的坐標(biāo)，因此，需要將這個(gè)向量的表達(dá)式坐標(biāo)化，這里我已知點(diǎn)的坐標(biāo)，想要表示向量的坐標(biāo)，還需設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用方程的思想，尋找之間滿足的關(guān)系.下面我們沿著這條思路具體求解.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則向量，因?yàn)?，且，代入坐?biāo)，所以根據(jù)相等向量的定義，所以得到方程組解得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是下面我們一起小結(jié)一下這兩個(gè)方法，方法一是將所求點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)，結(jié)合幾何圖形，利用已知向量為一組基底，通過(guò)線性運(yùn)算求解得到的，突出了“以形助數(shù)”的特點(diǎn)；方法二則從代數(shù)方法的角度入手，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，將線段的分點(diǎn)用向量表達(dá)式，即：向量來(lái)刻畫(huà)，再把向量表達(dá)式坐標(biāo)化，利用方程的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)二元一次方程組的問(wèn)題，體現(xiàn)了“以數(shù)輔形”的特點(diǎn).最終，得到了線段中點(diǎn)的坐標(biāo).下面我們提煉出這一結(jié)論：若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.接下來(lái)我們?cè)倏吹诙?wèn)，當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)第一問(wèn)的已知經(jīng)驗(yàn)，我們同樣可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度分別求解.這里我們只介紹方法一，我們從幾何圖形的角度考慮，如圖，當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，因此我們需要分類討論（i）如圖，我們現(xiàn)在的目標(biāo)是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然這里不可能直接得到這樣的線性關(guān)系，因此，我們先將向量放在△，利用三角形法則，得到向量，接著我們的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為將向量用基底向量表示，那如何構(gòu)建向量與向量的聯(lián)系呢？這里，我們觀察圖形，可以得到向量或向量，這里我們的目標(biāo)是用基底向量表示，因此，我們選擇將向量代換為，得到接著，我們就可以在△中，將向量分解為向量，得到原式等于繼續(xù)整理，得到代入坐標(biāo)，原式即點(diǎn)的坐標(biāo)是（ii）同理，第二類情況，如圖，我們現(xiàn)在的目標(biāo)仍然是用已知向量為一組基底，將向量用向量線性表示，顯然這里同樣不能直接得到這樣的線性關(guān)系，因此，我們先將向量放在△，利用三角形法則，得到向量，同樣的，我們需要將向量用基底向量表示，構(gòu)建向量與向量的關(guān)系.根據(jù)第一類討論的經(jīng)驗(yàn)，這里我們將向量代換為，得到，接著，在△中，將向量分解為向量，得到原式等于繼續(xù)整理，得到代入坐標(biāo)，原式那么，點(diǎn)的坐標(biāo)是以上我們利用向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示這一工具，充分討論，得出了線段的中點(diǎn)和三等分點(diǎn)的坐標(biāo)公式.這里，我們不妨對(duì)比一下這兩個(gè)公式，從結(jié)構(gòu)上看，我們看到中點(diǎn)的坐標(biāo)公式中，橫縱坐標(biāo)分母都是2，而三等分點(diǎn)的坐標(biāo)公式中，橫縱坐標(biāo)分母都是3，大家思考這是為什么呢？不難發(fā)現(xiàn)，中點(diǎn)，三等分點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上都是幾何圖形線段上的一個(gè)特殊的分點(diǎn)位置，中點(diǎn)將線段等分為兩份，三等分點(diǎn)則將線段等分為三份，因此在公式的代數(shù)表達(dá)上也有著類似的體現(xiàn)，所以說(shuō)幾何特征與代數(shù)表達(dá)之間有著緊密的聯(lián)系.通過(guò)以上的探究，我們也體會(huì)到了利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決問(wèn)題中所帶來(lái)的優(yōu)越性.那前面我們探究的是線段的中點(diǎn)和三等分點(diǎn)的坐標(biāo)表示，能否將上述特殊位置推廣至一般情況呢？我們來(lái)探究如下問(wèn)題：顯然，該問(wèn)題是前面兩問(wèn)的推廣，前面我們向量和分別滿足的是向量、或的關(guān)系，而這里只是將向量間的數(shù)乘關(guān)系用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示，將問(wèn)題一般化.因此，我們可以延續(xù)前面的思路求解.我們可以考慮第一種解法，利用平面向量基本定理，用基底向量表示向量，求得向量的坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).也可以采取第二種策略，應(yīng)用方程的思想，通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將已知的向量式用坐標(biāo)表示.前面第2小問(wèn)，我們應(yīng)用的是方法一，這里我們?cè)儆梅椒ǘM(jìn)行探究.首先，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則向量因?yàn)橄蛄?，坐?biāo)化，則有根據(jù)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，原式等于根據(jù)相等向量的定義，得到方程組：解得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是.我們稱上述探究的問(wèn)題為定比分點(diǎn)問(wèn)題，這里的點(diǎn)坐標(biāo)稱為定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，其中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是顯然，中點(diǎn)坐標(biāo)公式是定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的一種特例.至此，我們通過(guò)由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，延續(xù)前面探究問(wèn)題的一般思路，拓展延伸，求出了一般情況下的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.下面，我們來(lái)梳理，提煉一下整個(gè)過(guò)程的方法.本題將所求的點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量的坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系，找到向量的線性運(yùn)算表達(dá)式，再將向量表達(dá)式坐標(biāo)化，得到所求向量的坐標(biāo)，最終求出所求點(diǎn)的坐標(biāo).形成了從代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題，再回到代數(shù)問(wèn)題的一個(gè)回路.通過(guò)例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法刻畫(huà)幾何對(duì)象的特征，進(jìn)而用代數(shù)方法證明幾何關(guān)系.體會(huì)向量的工具性.通過(guò)對(duì)圖形的分析，找尋向量間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在研究平面向量問(wèn)題的過(guò)程中，充分挖掘題目中已有圖形的特征.培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).通過(guò)兩種方法的對(duì)比，在學(xué)生體會(huì)不同解決策略的本質(zhì)的同時(shí)，對(duì)比幾何和代數(shù)兩種方法，感受到向量坐標(biāo)運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)，引入坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的必要性.延續(xù)第一問(wèn)的探索思路，繼續(xù)挖掘線段三等分點(diǎn)中的幾何圖形特征，選取已知向量作為基底，應(yīng)用平面向量基本定理求解.培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識(shí)、轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)比第二問(wèn)的方法，第三問(wèn)采取代數(shù)法，應(yīng)用本節(jié)課學(xué)習(xí)的坐標(biāo)運(yùn)算，應(yīng)用方程思想進(jìn)行求解，感受代數(shù)運(yùn)算在解決幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性.通過(guò)設(shè)未知量求解向量的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模和方程思想在用向量法研究幾何