數學專業(yè)英語(吳炯圻-第2版)2-3

NewWords&Expressions:brace大括號roster名冊consequence結論，推論rosternotation枚舉法designate標記，指定ruleout排除，否決diagram圖形，圖解subset子集distinct互不相同的theunderlyingset基礎集distinguish區(qū)別，辨別universalset全集divisible可被除盡的validity有效性dummy啞的，啞變量visual可視的eveninteger偶數visualize可視化irrelevant無關緊要的voidset(emptyset)空集2.3集合論的基本概念BasicConceptsoftheTheoryofSetsTheconceptofasethasbeenutilizedsoextensivelythroughoutmodernmathematicsthatanunderstandingofitisnecessaryforallcollegestudents.Setsareameansbywhichmathematicianstalkofcollectionsofthingsinanabstractway.

3－ANotationsfordenotingsets集合論的概念已經被廣泛使用，遍及現代數學，因此對大學生來說，理解它的概念是必要的。集合是數學家們用抽象的方式來表述一些事物的集體的工具。Setsusuallyaredenotedbycapitalletters;elementsaredesignatedbylower-caseletters.集合通常用大寫字母表示，元素用小寫字母表示。Weusethespecialnotationtomeanthat“xisanelementofS”or“xbelongstoS”.IfxdoesnotbelongtoS,wewrite.我們用專用記號來表示x是S的元素或者x屬于S。如果x不屬于S，我們記為。Whenconvenient,weshalldesignatesetsbydisplayingtheelementsinbraces;forexample,thesetofpositiveevenintegerslessthan10isdisplayedas{2,4,6,8}whereasthesetofallpositiveevenintegersisdisplayedas{2,4,6,…},thethreedotstakingtheplaceof“andsoon.”如果方便，我們可以用在大括號中列出元素的方式來表示集合。例如，小于10的正偶數的集合表示為{2,4,6,8}，而所有正偶數的集合表示為{2,4,6,…},三個圓點表示

“等等”。Thedotsareusedonlywhenthemeaningof“andsoon”isclear.Themethodoflistingthemembersofasetwithinbracesissometimesreferredtoastherosternotation.只有當省略的內容清楚時才能使用圓點。在大括號中列出集合元素的方法有時被歸結為枚舉法。

Thefirstbasicconceptthatrelatesonesettoanotherisequalityofsets:聯系一個集合與另一個集合的第一個基本概念是集合相等。

DEFINITIONOFSETEQUALITYTwosetsAandBaresaidtobeequal(oridentical)iftheyconsistofexactlythesameelements,inwhichcasewewriteA=B.Ifoneofthesetscontainsanelementnotintheother,wesaythesetsunequalandwewriteA≠B.集合相等的定義如果兩個集合A和B確切包含同樣的元素,則稱二者相等，此時記為A=B。如果一個集合包含了另一個集合以外的元素，則稱二者不等，記為A≠B。EXAMPLE1.Accordingtothisdefinition,thetwosets{2,4,6,8}and{2,8,6,4}areequalsincetheybothconsistofthefourintegers2,4,6and8.Thus,whenweusetherosternotationtodescribeaset,theorderinwhichtheelementsappearisirrelevant.根據這個定義，兩個集合{2,4,6,8}和{2,8,6,4}是相等的，因為他們都包含了四個整數2,4,6,8。因此，當我們用枚舉法來描述集合的時候，元素出現的次序是無關緊要的。EXAMPLE2.Thesets{2,4,6,8}and{2,2,4,4,6,8}areequaleventhough,inthesecondset,eachoftheelements2and4islistedtwice.Bothsetscontainthefourelements2,4,6,8andnoothers;therefore,thedefinitionrequiresthatwecallthesesetsequal.例2.集合{2,4,6,8}和{2,2,4,4,6,8}也是相等的，雖然在第二個集合中，2和4都出現兩次。兩個集合都包含了四個元素2,4,6,8，沒有其他元素，因此，依據定義這兩個集合相等。Thisexampleshowsthatwedonotinsistthattheobjectslistedintherosternotationbedistinct.AsimilarexampleisthesetoflettersinthewordMississippi,whichisequaltotheset{M,i,s,p},consistingofthefourdistinctlettersM,i,s,andp.這個例子表明我們沒有強調在枚舉法中所列出的元素要互不相同。一個相似的例子是，在單詞Mississippi中字母的集合等價于集合{M,i,s,p},

其中包含了四個互不相同的字母M,i,s,和p.FromagivensetSwemayformnewsets,calledsubsetsofS.Forexample,thesetconsistingofthosepositiveintegerslessthan10whicharedivisibleby4(theset{4,8})isasubsetofthesetofallevenintegerslessthan10.Ingeneral,wehavethefollowingdefinition.3－BSubsets一個給定的集合S可以產生新的集合，這些集合叫做S的子集。例如，由可被4除盡的并且小于10的正整數所組成的集合是小于10的所有偶數所組成集合的子集。一般來說，我們有如下定義。Inallourapplicationsofsettheory,wehaveafixedsetSgiveninadvance,andweareconcernedonlywithsubsetsofthisgivenset.Theunderlyingset