北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第一冊：4.4《指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較》教案

本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較【教學(xué)目標(biāo)】1．通過具體實例體會三類函數(shù)模型增長的差異，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。2．利用三類函數(shù)的圖像對比研究函數(shù)的增長快慢培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重難點】1．結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義，理解它們增長的差異性。(重點)2．會利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像對比研究函數(shù)的增長快慢。(難點)【教學(xué)過程】一、基礎(chǔ)鋪墊(1)三種函數(shù)的增長趨勢當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長就越快。當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長就越快。當(dāng)x>0，n>1時，冪函數(shù)y＝xn也是增函數(shù)，并且當(dāng)x>1時，n越大，其函數(shù)值的增長就越快。思考1：在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三類函數(shù)中，函數(shù)值增長最快的是哪個函數(shù)？[提示]指數(shù)函數(shù)(2)三種函數(shù)的增長對比對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)增長最慢，冪函數(shù)y＝xn(n>0)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)增長的快慢交替出現(xiàn)，當(dāng)x足夠大時，一定有ax>xn>logax。思考2：在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>1，n>0時，是否總有l(wèi)ogax<xn<an成立？[提示]不是，但總存在x0，使得當(dāng)a>1，n>0，x>x0時，logax<xn<ax成立。二、新知探究1．指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)增長趨勢的比較【例1】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖像如圖所示。設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖像，比較f(8)，g(8)，f(2016)，g(2016)的大小。[解](1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x。(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)?！?<x1<2，9<x2<10.∴x1<8<x2<2016．從圖像上知，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)；當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)?！鄁(2016)>g(2016)>g(8)>f(8)?！窘處熜〗Y(jié)】（一）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長趨勢比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性遞增遞增遞增增長的速度先慢后快先快后慢隨著n值的不同而不同圖象的變化隨x的增大越來越陡隨x的增大逐漸變緩隨著n值的不同而不同（二）指數(shù)、冪、對數(shù)比較大小(1)常用方法單調(diào)性法、圖象法，中間搭橋法、作差(商)法。(2)當(dāng)需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較。(3)比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”和“1”作為分界點，即先將它們分為“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小。2．建立函數(shù)模型解決實際問題【例2】假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？[思路探究]首先建立不同回報對應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合其圖像解決問題。[解]設(shè)第x天所得回報是y元。由題意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)。作出三個函數(shù)的圖像如圖：由圖可以看出，從每天所得回報看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一樣多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，經(jīng)驗證到第30天，所得回報已超過2億元，∴若是短期投資可選擇方案一或方案二，長期的投資則選擇方案三。通過計算器計算列出三種方案的累積收入表?！嗤顿Y1天到6天，應(yīng)選方案一，投資7天方案一、二均可，投資8天到10天應(yīng)選方案二，投資11天及其以上，應(yīng)選方案三。【教師小結(jié)】解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，結(jié)合函數(shù)圖像有助于直觀認(rèn)識函數(shù)間在不同范圍的大小關(guān)系。三、課堂總結(jié)三種函數(shù)模型的表達(dá)式及其增長特點的總結(jié)(1)指數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0)，當(dāng)b>1時，增長特點是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”；當(dāng)0<b<1時，函數(shù)值由快到慢地減少。(2)對數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m>0)，當(dāng)a>1時，增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”；當(dāng)0<a<1時，相應(yīng)函數(shù)值逐漸減少，變化得越來越慢。(3)冪函數(shù)模型：表達(dá)式為f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1，α>0)，其增長情況由a和α的取值確定，常見的有二次函數(shù)模型。四、課堂檢測1．思考辨析(1)y＝x10比y＝1．1x的增長速度更快些。()(2)對于任意的x>0，都有2x>log2x。()(3)對于任意的x，都有2x>x2．()[答案](1)×(2)√(3)×2．三個變量y1，y2，y3隨自變量x的變化情況如下表：x1357911y15135625171536456633y2529245218919685177149y356．16．616．957．207．40其中關(guān)于x呈對數(shù)型函數(shù)變化的變量是______________，呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________，呈冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量是________。y3y2y1[由表中數(shù)據(jù)可知，y1隨x的增加成倍增加，屬于冪函數(shù)型函數(shù)變化，y2隨x的增加成“幾何級數(shù)”增加，屬于指數(shù)型函數(shù)變化，y3隨x的增加增加越來越慢，屬于對數(shù)函數(shù)變化。]3．某商場2018年一月份到十二月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q。能較準(zhǔn)確反映商場月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為________(填寫相應(yīng)函數(shù)的序號)，若所選函數(shù)滿足f(1)＝10，f(3)＝2，則f(x)＝________。③，x2－8x＋17[①②均單調(diào)，③先減后增，故能較準(zhǔn)確反映商場月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10,9＋3p＋q＝2))，解得p＝－8，q＝17，所以，f(x)＝x2－8x＋17．]4．用模型f(x)＝ax＋b來描述某企業(yè)每季度的利潤f(x)(億元)和生產(chǎn)成本投入x(億元)的關(guān)系。統(tǒng)計表明，當(dāng)每季度投入1(億元)時利潤y1＝1(億元)，當(dāng)每季度投入2(億元)時利潤y2＝2(億元)，當(dāng)每季度投入3(億元)時利潤y3＝2(億元)。又定義：當(dāng)f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的數(shù)值最小時為最佳模型。(1)當(dāng)b＝eq\f(2,3)時，求相應(yīng)的a使f(x)＝ax＋b成為最佳模型；(2)根據(jù)題(1)得到的最佳模型，請預(yù)測每季度投入4(億元)時利潤y4(億元)的值。[解](1)b＝eq\f(2,3)時，[f(1)－y1]2＋[f(2