高等數(shù)學(xué)9二重積分課件

高等數(shù)學(xué)9二重積分課件1柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂2播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法3步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積步驟如下：用若干個小平先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲4２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近5二、二重積分的概念二、二重積分的概念6積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素7對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，8在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)9性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三10性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上11性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）12解解13解解14解解15解解16二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）四、小結(jié)二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體17思考題將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.思考題將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找18定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此19練習(xí)題練習(xí)題20高等數(shù)學(xué)9二重積分課件21高等數(shù)學(xué)9二重積分課件22練習(xí)題答案練習(xí)題答案23求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如24求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如25求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如26求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如27求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如28求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如29如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分［X－型］如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、30應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得31如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］32

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.X型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相33解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖34解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖35解原式解原式36解解37解解38解解39解曲面圍成的立體如圖.解曲面圍成的立體如圖.40高等數(shù)學(xué)9二重積分課件41二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）42思考題思考題43思考題解答思考題解答44高等數(shù)學(xué)9二重積分課件45練習(xí)題練習(xí)題46高等數(shù)學(xué)9二重積分課件47高等數(shù)學(xué)9二重積分課件48高等數(shù)學(xué)9二重積分課件49練習(xí)題答案練習(xí)題答案50高等數(shù)學(xué)9二重積分課件51一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分52二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖53區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖54二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖55極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征56解解57解解58解解59高等數(shù)學(xué)9二重積分課件60高等數(shù)學(xué)9二重積分課件61解解62解解63解解64高等數(shù)學(xué)9二重積分課件65二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）二、小結(jié)二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）二、小66思考題思考題67思考題解答思考題解答68練習(xí)題練習(xí)題69高等數(shù)學(xué)9二重積分課件70高等數(shù)學(xué)9二重積分課件71練習(xí)題答案練習(xí)題答案72高等數(shù)學(xué)9二重積分課件73一、二重積分的換元法一、二重積分的換元法74高等數(shù)學(xué)9二重積分課件75例1解例1解76高等數(shù)學(xué)9二重積分課件77例2解例2解78高等數(shù)學(xué)9二重積分課件79二、小結(jié)基本要求:變換后定限簡便，求積容易．二、小結(jié)基本要求:變換后定限簡便，求積容易．80思考題思考題81思考題解答思考題解答82高等數(shù)學(xué)9二重積分課件83練習(xí)題練習(xí)題84練習(xí)題答案練習(xí)題答案85一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.86二、曲面的面積衛(wèi)星二、曲面的面積衛(wèi)星87１．設(shè)曲面的方程為：如圖，１．設(shè)曲面的方程為：如圖，88曲面S的面積元素曲面面積公式為：曲面S的面積元素曲面面積公式為：89３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面90解解91高等數(shù)學(xué)9二重積分課件92解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域?yàn)榻饨夥匠探M得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域?yàn)?3高等數(shù)學(xué)9二重積分課件94幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）六、小結(jié)幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點(diǎn)的引力（95思考題思考題96薄片關(guān)于軸對稱思考題解答薄片關(guān)于軸對稱思考題解答97定義幾何意義性質(zhì)計算法應(yīng)用二重積分一、主要內(nèi)容定義幾何意義性質(zhì)計算法應(yīng)用二重積分一、主要內(nèi)容981、二重積分的定義1、二重積分的定義99２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體100性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)101性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５若在D上，特殊地性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５若在D上102性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）103４、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下４、二重積分的計算［X－型］X-型區(qū)域的特點(diǎn)：104

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).［Y－型］Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界105（２）極坐標(biāo)系下（２）極坐標(biāo)系下106高等數(shù)學(xué)9二重積分課件1075、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積5、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的108二、典型例題例1解X-型二、典型例題例1解X-型109例2解先去掉絕對值符號，如圖例2解先去掉絕對值符號，如圖110例3解例3解111高等數(shù)學(xué)9二重積分課件112例4解例4解113例5解例5解114高等數(shù)學(xué)9二重積分課件115例6

證例6證116測驗(yàn)題測驗(yàn)題117高等數(shù)學(xué)9二重積分課件118高等數(shù)學(xué)9二重積分課件119高等數(shù)學(xué)9二重積分課件120三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序:1、òòòò-+yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(；2、òò-+21110),(xxdyyxfdx；3、òòqqqq00)sin,cos(rdrrrfda.三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次