專題01不等式（3大重難點詳細講解）…難點及壓軸題突破

第1講——不等式（3大難點）難點1：基本不等式（1）——配湊均值不等式在高考數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到求兩個數(shù)的積的最大值，對于這類題我們需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式來求解，即【例題】（多選）已知，，且，則下列不等式一定成立的有A.C.B.D.【答案】ABD【解析】由題意，對于選項A，我們發(fā)現(xiàn)要求的是從和的乘積的范圍，而題目中所給的是和，因此我們考慮配湊一個.∵，，且，∴，化簡得出的不等式，而我們知道，即可得出的范圍.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A正確；對于選項B，我們知道，而我們要求的是和的和的取值范圍，我們發(fā)現(xiàn)條件是兩個數(shù)字的和，讓我們求的也是兩個數(shù)字的和，不能使用均值不等式，那該怎么辦呢？對于題目條件是兩個數(shù)字和的形式，我們可以借助題目條件進行換元，我們把其中一個字母用另一個字母來表示，進而利用等式和，求出和的和的取值范圍.∵，∴，∴，B正確；對于選項C，我們要求和用含的式子表達，得出只含的表達式，即可求出和的和的取值范圍.∵，∴，C錯誤；對于選項D，我們要求的范圍，分母不是單獨的和和分別設(shè)為和，將求的范圍轉(zhuǎn)化為求的范圍，將已知等式化為.而所求的是分母中含有和，已知等式中含有和，因此我們?yōu)榱讼シ帜钢械暮涂紤]用乘法，而由于等式和是3，因此用乘法時需要乘.設(shè)，∴，∴，這樣，分子和分母中都包含了和，相乘即可消掉，而基本不等式既可以轉(zhuǎn)化成兩數(shù)相乘，還可以求范圍，因此我們考慮用基本不等式，即可求出的范圍.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，∵，∴當(dāng)時，等號成立，D正確.故選：ABD.【總結(jié)】在求解不等式問題的時候，我們需要注意以下幾點：（1）換元法一般是將分母的式子設(shè)成兩個新的未知量，然后將已知的等式化為兩個未知數(shù)的等量關(guān)系，進而利用“1”的性質(zhì)求解；（2）如果給出了一個含有等式，并且所求范圍的式子中含有分母項，且分母中含有，就可以利用“1”的性質(zhì)，使用不等式來進行計算.【變式訓(xùn)練1】（多選）已知正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是A.B.C.D.【答案】ACD【解析】對于，利用基本不等式，將代入，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確；故選：ACD【變式訓(xùn)練2】已知，則的最大值為.【答案】【解析】由題意，,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴的最大值為.故答案為：.難點2：基本不等式（1）——兩個復(fù)雜分式求和的最小值在高考數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到兩個復(fù)雜分式求和的最小值，對于這類題我們需要通過乘以“1”的形式進行轉(zhuǎn)化，而乘以的對象一般是兩個分母的加和相關(guān)的形式，進而構(gòu)造不等式，利用基本不等式來求解，即【例1】已知實數(shù)滿足且，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，題目給的是和范圍，我們要求的是的最小值，即是求的范圍，我們在上一道題中發(fā)現(xiàn)，對于這種分式的加和，我們一般是通過乘以“1”的形式進行轉(zhuǎn)化，而乘以的對象一般是兩個分母的加和相關(guān)的形式，因此我們需要先求的范圍.∵，∴，即，和難點1一樣，我們將和分別看成一個整體，已知的等式中含有和，我們要求的式子分母中含有和，若消去分母則需用乘法，而基本不等式既可以轉(zhuǎn)化成兩數(shù)相乘，還可以求范圍，因此我們考慮用基本不等式，即可求出的范圍.∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，故答案為：.【總結(jié)】在求解不等式問題的時候，我們需要注意以下幾點：（1）求和的最小值的時候，往往考慮正用基本不等式；（2）如果給出了一個含有等式，并且所求范圍的式子中含有分母項，且分母中含有，就可以利用“1”的性質(zhì)，使用不等式來進行計算.【變式訓(xùn)練】若，且，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，∵∴，，∴，∴，即，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，∴難點3：三個及以上正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式在高考數(shù)學(xué)中，我們遇到的不等式證明題往往是兩個數(shù)以上的，對于兩個數(shù)以上的這類不等式證明，如何配湊是解決此類問題的難點。對于此類問題，我們常常用推導(dǎo)的基本不等式，即幾何平均不等式來求解，我們有如下定理。定理如果，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。這個不等式可以表述為：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。事實上，基本不等式可以推廣到一般的情形：對于個正數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。【例題】已知為正數(shù)，且滿足.證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）第一步：對于3個數(shù)的和，左邊是加法，右邊卻是三個數(shù)相乘的形式。那么如何從加法變成乘法呢？在我們所學(xué)過的知識中，只有基本不等式是將加法和乘法聯(lián)系起來的，而基本不等式是兩個數(shù)相加，這里是三個數(shù)，因此我們想到用推導(dǎo)的基本不等式（幾何平均不等式）求范圍∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）∴，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）我們得出是三個數(shù)的乘積，而題目中所給的是三個數(shù)兩兩相乘后的相加，而三個數(shù)相乘后恰好含有三個數(shù)兩兩相乘，又是左邊加法右邊乘積的形式，繼續(xù)使用推導(dǎo)的基本不等式（幾何平均不等式）.第二步：將三個乘積看成是三個數(shù)相加，繼續(xù)使用幾何平均不等式?！咔摇啵ó?dāng)且僅當(dāng)時取等號）（2）我們發(fā)現(xiàn)給出的等式中右邊是，要證明的不等式右邊是3，我們想到可能是左邊的分母的原因消掉了，如果要消掉，就需要每個分母中至少含有其中兩個.第一步：分別兩兩利用基本不等求出范圍，并相加.∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴∴，第二步：我們得出每個分母含有其中兩個數(shù)字后，通分即可得到分子是包含項的，利用三個乘積的倒數(shù)和為1，即可證明不等式.∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）【總結(jié)】使用幾何平均不等式的時候，不同公式的選取取決于我們的“目的”（1）如果在含有的式子中想構(gòu)造多項乘積，就可以直接使用集合平均不