數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課堂探究2.3數(shù)學(xué)歸納法

課堂探究探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0(n0≥1，n∈N*)，這個(gè)n0，就是我們要證明的命題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．(2)遞推是關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．(3)利用假設(shè)是核心．在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．【典型例題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先驗(yàn)證等式成立的第一個(gè)值n0；第二步在n＝k時(shí)等式成立的基礎(chǔ)上，等式左邊加上n＝k＋1時(shí)新增的項(xiàng)，整理出等式右邊的項(xiàng)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.則n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，由(1)(2)知，等式對(duì)任意n∈N*都成立．探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1．驗(yàn)證第1個(gè)n的取值時(shí)，要注意n0不一定為1，若條件為n＞k，則n0＝k＋1.2．證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過(guò)程中，一定要應(yīng)用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙佟皻w納遞推”．3．應(yīng)用歸納假設(shè)后，若證明方法不明確，可采用分析法證明n＝k＋1時(shí)也成立，這樣既易于找到證明的突破口，又完整表達(dá)了證明過(guò)程．4．證明n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，即明確要證明的不等式是什么，目標(biāo)明確了，要根據(jù)不等號(hào)的方向適當(dāng)放縮，但不可“放的過(guò)大”或“縮的過(guò)小”．【典型例題2】用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＞eq\r(n)(其中n∈N*，n＞1)．思路分析：按照數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法與步驟進(jìn)行證明，在由n＝k證n＝k＋1成立時(shí)，可利用比較法或放縮法證得結(jié)論．證明：①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋eq\f(1,\r(2))，右邊＝eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(2))))－eq\r(2)＝1－eq\f(\r(2),2)＞0，所以左邊＞右邊，即不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＞eq\r(k)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1)).(方法1)由于eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\r(k)＋\f(1,\r(k＋1))))－eq\r(k＋1)＝eq\f(\r(k2＋k)＋1－(k＋1),\r(k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)－k,\r(k＋1))＝eq\f(k,\r(k＋1)(\r(k2＋k)＋k))＞0，所以eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1)，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1).(方法2)由于eq\r(k)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝eq\f(\r(k2＋k)＋1,\r(k＋1))＞eq\f(\r(k2)＋1,\r(k＋1))＝eq\f(k＋1,\r(k＋1))＝eq\r(k＋1)，所以1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))＞eq\r(k＋1).即當(dāng)n＝k＋1時(shí)原不等式也成立，由①②知原不等式成立．探究三歸納—猜想—證明數(shù)學(xué)歸納法源于對(duì)某些猜想的證明，而猜想是根據(jù)不完全歸納法對(duì)一些具體的、簡(jiǎn)單的情形進(jìn)行觀察、類比而提出的．因此歸納—猜想—證明能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法遞推的本質(zhì)，在解決某些歸納猜想問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①計(jì)算特例時(shí)，不僅僅是簡(jiǎn)單的算數(shù)過(guò)程，有時(shí)要通過(guò)計(jì)算過(guò)程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律；②猜想必須準(zhǔn)確，絕對(duì)不能猜錯(cuò)，否則將徒勞無(wú)功；【典型例題3】數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\f((n－1)an,n－an)(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明．③如果猜想出來(lái)的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān)，一般用數(shù)學(xué)歸納法證明．思路分析：本題考查數(shù)列中的歸納——猜想——證明問(wèn)題，先由前n項(xiàng)猜測(cè)an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：∵a2＝eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\f((n－1)an,n－an)(n≥2)，∴a3＝eq\f(a2,2－a2)＝eq\f(\f(1,4),2－\f(1,4))＝eq\f(1,7)，a4＝eq\f(2a3,3－a3)＝eq\f(2×\f(1,7),3－\f(1,7))＝eq\f(1,10).猜想：an＝eq\f(1,3n－2)(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確．(1)當(dāng)n＝1,2時(shí)易知猜想正確．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)猜想正確，即ak＝eq\f(1,3k－2).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝eq\f((k－1)ak,k－ak)＝eq\f((k－1)·\f(1,3k－2),k－\f(1,3k－2))＝eq\f(\f(k－1,3k－2),\f(3k2－2k－1,3k－2))＝eq\f(k－1,3k2－2k－1)＝eq\f(k－1,(3k＋1)(k－1))＝eq\f(1,3k＋1)＝eq\f(1,3(k＋1)－2)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也正確．由(1)(2)可知，猜想對(duì)任意n∈N*都正確．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：沒有利用歸納假設(shè)而導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝eq\f(1,2)n(3n－1)．錯(cuò)解：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝eq\f(1,2)k(3k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，需證1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝eq\f(1,2)(k＋1)(3k＋2)(*)．由于等式左邊是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3，項(xiàng)數(shù)為k＋1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其和為eq\f(1,2)(k＋1)(1＋3k＋1)＝eq\f(1,2)(k＋1)(3k＋2)，所以(*)式成立，即n＝k＋1時(shí)等式成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)一切n∈N*都成立．錯(cuò)因分析：判斷用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題是否正確，關(guān)鍵要看兩個(gè)步驟是否齊全，特別是第二步假設(shè)是否被應(yīng)用，如果沒有用到假設(shè)，那就是不正確的．錯(cuò)解在證明當(dāng)n＝k＋1等式成立時(shí)，沒有用到假設(shè)“當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立”，故不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求．正解：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝eq\f(