數(shù)值分析試題及答案匯總

.PAGE1.數(shù)值分析試題填空題〔20×2′〕設(shè)x=0.231是準(zhǔn)確值x*=0.229的近似值，那么x有2位有效數(shù)字。假設(shè)f(x)=x7－x3＋1，那么f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。設(shè)，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=(x)在有解區(qū)間滿足|’(x)|<1，那么使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在[a,b]上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，假設(shè)所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的前插公式，假設(shè)所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點(diǎn)是：1；所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足ai(x)>1，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。要使的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%，至少要取4位有效數(shù)字。對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的準(zhǔn)確解x*的充分必要條件是(B)<1。由以下數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri(i=0,1,…,n)來實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，假設(shè)在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，那么初始點(diǎn)x0的選取依據(jù)為f(x0)f〞(x0)>0。使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計(jì)算。判斷題〔10×1′〕假設(shè)A是n階非奇異矩陣，那么線性方程組AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。()假設(shè)A為n階方陣，且其元素滿足不等式那么解線性方程組AX＝b的高斯——塞德爾迭代法一定收斂。(×)樣條插值一種分段插值。()如果插值結(jié)點(diǎn)一樣，在滿足一樣插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。()從實(shí)際問題的準(zhǔn)確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。()解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX＝b。(×)迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開場(chǎng)估計(jì),直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。(×)數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，那么誤差的最正確分配原那么是截?cái)嗾`差＝舍入誤差。()10、插值計(jì)算中防止外插是為了減少舍入誤差。(×)計(jì)算題〔5×10′〕1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：〔1，5，2〕最大元5在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化為：〔-0.2,2.6〕最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：回代得：2、用牛頓——埃爾米特插值法求滿足以下表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x)，并寫出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯——賽德爾迭代法的迭代公式，并簡(jiǎn)單說明收斂的理由。解答：交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)：雅克比迭代公式："計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根底(2)"數(shù)值分析試題一、單項(xiàng)選擇題(每題3分，共15分) 1.準(zhǔn)確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a10)的絕對(duì)誤差x*－x()． (A)0.5×10s－1－t(B)0.5×10s－t(C)0.5×10s＋1－t(D)0.5×10s＋t2.以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為()． (A)， (B)(C)(D)3.過(0，1)，(2，4)，(3，1)點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(x)=() (A)(B)(C)(D) 4.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是() (A) (B) (C) (D) 5.解常微分方程初值問題的平均形式的改良?xì)W拉法公式是那么yp,yc分別為()．(A) (B)(C) (D)二、填空題(每題3分，共15分) 6.設(shè)近似值x1,x2滿足(x1)=0.05，(x2)=0.005，那么(x1x2)=． 7.三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間[a,b]二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk()，k=0,1,2,…,n，且滿足S(x)在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]上是． 8.牛頓－科茨求積公式，那么＝.9.解方程f(x)=0的簡(jiǎn)單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間，那么在有根區(qū)間任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂．10.解常微分方程初值問題的改良?xì)W拉法預(yù)報(bào)――校正公式是預(yù)報(bào)值：，校正值：yk+1=．三、計(jì)算題(每題15分，共60分) 11.用簡(jiǎn)單迭代法求線性方程組的X(3)．取初始值(0,0,0)T，計(jì)算過程保存4位小數(shù)． 12.函數(shù)值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差f(4，1，3)． 13.將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計(jì)算定積分，計(jì)算過程保存4位小數(shù)．14.用牛頓法求的近似值，取x=10或11為初始值，計(jì)算過程保存4位小數(shù)．四、證明題(此題10分) 15.證明求常微分方程初值問題在等距節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為y(xk+1)yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)"計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根底(2)"數(shù)值分析試題答案一、單項(xiàng)選擇題(每題3分，共15分) 1.A2.B3.A4.B5.D二、填空題(每題3分，共15分) 6.0.05x2+0.005x17.3次多項(xiàng)式 8.b－a9.(x)r<110.yk+hf(xk＋1,)．三、計(jì)算題(每題15分，共60分) 11.寫出迭代格式X(0)=(0,0,0)T. 得到X(1)＝(2.5，3，3)T 得到X(2)=(2.875，2.3637，1.0000)T 得到X(3)=(3.1364，2.0456，0.9716)T.12.計(jì)算均差列給出．f(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=f(4,1,3)=613.f(x)=,h=．分點(diǎn)x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0. 函數(shù)值：f(1.0)=1.4142，f(1.25)=1.6008，f(1.5)=1.8028，f(1.75)=2.0156，f(2.0)=2.2361，f(2.25)=2.4622，f(2.50)=2.6926，f(2.75)=2.9262，f(3.0)=3.1623．(9分) =×[1.4142+3.1623+2×(1.6008+1.8028+2.0156+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)]=0.125×(4.5765+2×15.7363)=4.506114.設(shè)x為所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115． 因?yàn)閒(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100－115)×2<0，f(11)f(11)=(121－115)×2>0 取x0=11．有迭代公式xk+1=xk－=(k=0,1,2,…)x1=＝10.7273x2=＝10.7238x3=＝10.7238x*10.7238四、證明題(此題10分) 15.在子區(qū)間[xk+1,xk]上，對(duì)微分方程兩邊關(guān)于x積分，得y(xk+1)－y(xk)=用求積梯形公式，有y(xk+1)－y(xk)=將y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到y(tǒng)(xk+1)yk+1=yk+[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1)數(shù)值分析期末試題填空題〔分〕〔1)設(shè)，那么______13_______?！?)對(duì)于方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣是?！?)的相對(duì)誤差約是的相對(duì)誤差的倍。〔4〕求方程根的牛頓迭代公式是?！?〕設(shè)，那么差商1?！?〕設(shè)矩陣G的特征值是，那么矩陣G的譜半徑?！?〕，那么條件數(shù)9〔8〕為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)充分大時(shí),應(yīng)將改寫為?！?〕個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)準(zhǔn)確度至少為次。〔10〕擬合三點(diǎn)，，的水平直線是?！?0分〕證明：方程組使用Jacobi迭代法求解不收斂性。證明：Jacobi迭代法的迭代矩陣為的特征多項(xiàng)式為的特征值為，，，故＞1，因而迭代法不收斂性?！?0分〕定義積試在中尋求對(duì)于的最正確平方逼近元素。解：，，，，，，。法方程解得，。所求的最正確平方逼近元素為，〔10分〕給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解:，法方程的解為，，，得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為五.(10分)依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的Lagrange插值多項(xiàng)式，用它計(jì)算，并在假設(shè)下，估計(jì)計(jì)算誤差。解:先計(jì)算插值基函數(shù)所求Lagrange插值多項(xiàng)式為從而。據(jù)誤差公式及假設(shè)得誤差估計(jì)：六.(10分)用矩陣的直接三角分解法解方程組解設(shè)由矩陣乘法可求出和解下三角方程組有，，，。再解上三角方程組得原方程組的解為，，，。七.(10分)試用Simpson公式計(jì)