專題2.5 點(diǎn)、線間的對稱關(guān)系【六大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題2.5點(diǎn)、線間的對稱關(guān)系【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題】 1【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題】 3【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題】 5【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】 7【題型5光線反射問題】 8【題型6將軍飲馬問題】 12【知識點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱】1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題】【例1】（2023·四川·高二專題練習(xí)）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(-2,4) D．(4,-2)【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【解答過程】解：設(shè)Ba,b，由題知，點(diǎn)A和點(diǎn)B4+a2=20+所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2故選：B.【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6)【解題思路】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可【解答過程】設(shè)點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對稱的點(diǎn)為則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．∴3=解得x=5∴點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：(5,6)．【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A（5，8），B（4，1），則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,-6．【解題思路】設(shè)出A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后直接代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算．【解答過程】設(shè)C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點(diǎn)是A，C的中點(diǎn)，所以x+52=4所以C的坐標(biāo)為3,-6．故答案為：3,-6.【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對稱點(diǎn)為(-2,-3)，則點(diǎn)P【解題思路】根據(jù)對稱性，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x-22解得x=4，y=1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為則點(diǎn)P(x,故答案為：17.【知識點(diǎn)2直線關(guān)于點(diǎn)的對稱】1．直線關(guān)于點(diǎn)的對稱【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題】【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l:x+2y-1=0關(guān)于點(diǎn)A．2x-y-5=0 B．x+2【解題思路】根據(jù)直線關(guān)于直線外一點(diǎn)(1,-1)的對稱直線互相平行可知其斜率，再取l上一點(diǎn)求其關(guān)于點(diǎn)(1,-1)的對稱點(diǎn)，即可求出l'的方程【解答過程】由題意得l'//l在l上取點(diǎn)A(1,0)，則點(diǎn)A(1,0)關(guān)于點(diǎn)(1,-1)的對稱點(diǎn)是所以1+2×(-2)+c=0，即故直線l'的方程為x故選：C.【變式2-1】（2022·高二課時練習(xí)）點(diǎn)P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，則一定在直線l1A．(12,32) B．(-1,【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對稱，利用中點(diǎn)公式即可求直線l上P(1,2)的對稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l1【解答過程】由題設(shè)，P(1,2)關(guān)于(0,1)對稱的點(diǎn)必在l1上，若該點(diǎn)為∴{1+x2=02+y2=1故選：C.【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線2x+3y-6=0A．3x-2C．2x+3y【解題思路】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y,則其關(guān)于點(diǎn)-1,2對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為【解答過程】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，則其關(guān)于點(diǎn)-1,2對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2-因?yàn)辄c(diǎn)(-2-x,4-y所以2-2-x故選：D.【變式2-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線ax+3y-9=0與直線xA．a(chǎn)=-1，b=-9 B．a(chǎn)C．a(chǎn)=1，b=-9 D．a(chǎn)【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點(diǎn)（m，n），關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結(jié)論．【解答過程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點(diǎn)（m，n），關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），則am∵點(diǎn)（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點(diǎn)∴a＝﹣1，b＝﹣9故選A．【知識點(diǎn)3直線關(guān)于點(diǎn)的對稱】1．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱(4)幾種特殊位置的對稱：點(diǎn)對稱軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題】【例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x-yA．-3,5 B．-1,-4 C．4,1 D【解題思路】利用中點(diǎn)和斜率來求得Q點(diǎn)坐標(biāo).【解答過程】設(shè)點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x則b-0a所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-3,5故選：A.【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀c(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+yA．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【解題思路】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【解答過程】設(shè)點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線x+y則{b-0所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,-3)故選：A.【變式3-2】（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【解題思路】利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【解答過程】點(diǎn)A，B關(guān)于直線4x+3y即b+2-(-b且AB中點(diǎn)(b代入得2(b+2)+3=11聯(lián)立①②組成的方程組，解得a=4故選：D.【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解題思路】先利用線段的中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+2y﹣2＝0，結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得m,n，從而求得m+【解答過程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對稱，∴線段AB的中點(diǎn)C（1+m2，-2+n2）在直線x+2y∴1+m2-2+n﹣2∴m+2n＝7，而n+2m-1×（-12）＝﹣1，得解方程組m+2n=72m-n=4，可得∴m+n＝5.故選：C.【知識點(diǎn)4直線關(guān)于直線的對稱】【題型4直線關(guān)于直線的對稱問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線2x+3y+4=0關(guān)于A．2x+3yC．2x-3【解題思路】利用對稱性質(zhì)可得原直線上的點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，代入對稱點(diǎn)，即可得到答案.【解答過程】設(shè)點(diǎn)Px,y是所求直線上任意一點(diǎn)，則P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P-x,y故選：C.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項(xiàng).【解答過程】設(shè)對稱直線方程為x+21+11+22=c-所以所求直線方程為x+2故選：B.【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果直線y=ax+2與直線y=3xA．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)【解題思路】由題意在y=ax+2上任取一點(diǎn)(0,2)，其關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)在y=3x-b上，代入可求出b【解答過程】在y=ax+2則由題意可得其關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)(2,0)在所以0=6-b，得b在y=3x-則其關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)(-6,0)在所以0=-6a+2，得綜上a=故選：A.【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1：ax-y+3=0與直線l2關(guān)于直線l：x+y-1=0A．-13 B．13 C．3【解題思路】利用直線l2與直線l3：x+3y-1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)，在直線l【解答過程】解：直線l2與直線l3：x+3y-∵直線l1：ax-y+3=0與直線∵由ax-y+3=0x+在直線l1上取點(diǎn)0,3，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于l對稱的點(diǎn)為Pm,n，則m2+n故選：B.【題型5光線反射問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x-yC．3x+y【解題思路】根據(jù)對稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點(diǎn)A'2,-4【解答過程】點(diǎn)A2,4關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A又反射光線傾斜角為180°-60°=∴反射光線所在直線方程為：y+4=-3x故選：C.【變式5-1】（2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點(diǎn)P-4,8和Q-3,6，然后被直線A．x+2y-C．x-2y【解題思路】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線y=x【解答過程】入射光線所在的直線方程為y-68-6聯(lián)立方程組x-y-3=0,2設(shè)P關(guān)于直線y=x-則a-42-b因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過入射點(diǎn)和P'所以反射光線所在直線的斜率為-7-所以反射光線所在的直線方程為y+2=-即x+2故選：D.【變式5-2】（2022秋·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知A4,0，B0,6，從點(diǎn)P2,0射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)PA．126513 B．813013 C．【解題思路】求出P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1和它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P2，則P【解答過程】解：直線AB的方程為x4+y設(shè)點(diǎn)P2,0關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為P則ba-2=2又點(diǎn)P2,0關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過的路程長P1故選：B.【變式5-3】（2023春·山東東營·高二?？奸_學(xué)考試）已知：A0,4，B0,-4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,-2，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．-∞,-14 B．-14【解題思路】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點(diǎn)關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P，再求P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)M,由此可確定動點(diǎn)D在直線BC上的變動范圍，進(jìn)而求的其斜率的取值范圍.【解答過程】由題意可知：直線BC的方程為y=x-4，直線設(shè)F0,-2關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為P(a解得a=2b=-4同理可求P2,-4關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M連接MA,ME,ME交AC于而MN方程為y=2,聯(lián)立y=2y=-x+4連接PA,PN，分別交BC于PA方程為：y=-4x+4，和直線BC解得H點(diǎn)坐標(biāo)為H(PN的方程為x=2,和直線BC方程y=x-連接FG,FH,則H,而kFG故FD斜率的取值范圍是(-14故選B.【題型6將軍飲馬問題】【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為B(-2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬A．27 B．5 C．15 D．29【解題思路】設(shè)B(-2,0)關(guān)于x+y=3的對稱點(diǎn)為(x,【解答過程】由B(-2,0)關(guān)于x+y所以{x-22+y所以“將軍飲馬”的最短總路程為(3-1)2故選：D.【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求x2+1+A．5 B．10 C．1+5 D．【解題思路】將已知變形設(shè)出P0,1，Q1,2，則x2+1+x2-2x【解答過程】x2=x設(shè)P0,1，Q1,2，則x2+1+x2-2點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P'連接P'則PS+當(dāng)且僅當(dāng)P'，S，Q故選：B.【變式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考階段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開關(guān)兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為B(-2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，則“A．1453 B．37 C．1353 D【解題思路】先求點(diǎn)B(-2,0)關(guān)于直線x+y=4【解答過程】如圖，設(shè)B(-2,0)關(guān)于直線x+y則有a-22+b2依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為AC，此時AC=故選：B.【變式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交