模煳數(shù)學(xué)教案02ppt省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第2章

含糊聚類分析1/33§2.1含糊矩陣

定義1設(shè)R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為含糊矩陣.

當(dāng)rij只取0或1時(shí)，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當(dāng)含糊方陣R

=(rij)n×n對角線上元素rii都為1時(shí)，稱R為含糊自反矩陣.定義2設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是含糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.2/33含糊矩陣并、交、余運(yùn)算性質(zhì)冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.3/33含糊矩陣合成運(yùn)算與含糊方陣冪

設(shè)A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義含糊矩陣A與B合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.含糊方陣冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.4/33合成(°

)運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)5/33(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)6/33含糊矩陣轉(zhuǎn)置

定義設(shè)A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT

=aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：(AT)T

=A；性質(zhì)2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質(zhì)4：(Ac)T=(AT)c；性質(zhì)5：A≤B

AT≤BT.7/33證實(shí)性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證實(shí)：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉(zhuǎn)置定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.8/33含糊矩陣

-截矩陣

定義7設(shè)A=(aij)m×n,對任意

∈[0,1]，稱A

=(aij(

))m×n,為含糊矩陣A

-截矩陣,其中

當(dāng)aij≥

時(shí)，aij(

)=1；當(dāng)aij＜

時(shí)，aij(

)=0.

顯然，A

-截矩陣為布爾矩陣.

9/33對任意

∈[0,1]，有性質(zhì)1：A≤B

A

≤B

；性質(zhì)2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性質(zhì)3：(A°

B)

=A

°

B

；性質(zhì)4：(AT

)

=(A

)T.下面證實(shí)性質(zhì)1：A≤B

A

≤B

和性質(zhì)3.性質(zhì)1證實(shí)：A≤B

aij≤bij；當(dāng)

≤aij≤bij時(shí)，aij(

)=bij(

)=1；當(dāng)aij＜

≤bij時(shí)，aij(

)=0,bij(

)=1；當(dāng)aij≤bij＜

時(shí)，aij(

)=bij(

)=0；總而言之a(chǎn)ij(

)≤bij(

)時(shí)，故A

≤B

.10/33性質(zhì)3證實(shí)：設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.11/33§2.2含糊關(guān)系與含糊子集是經(jīng)典集合推廣一樣，含糊關(guān)系是普通關(guān)系推廣.

設(shè)有論域X，Y，X

Y一個(gè)含糊子集R稱為從X到Y(jié)含糊關(guān)系.

含糊子集R隸屬函數(shù)為映射R:X

Y[0,1].并稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關(guān)于含糊關(guān)系R相關(guān)程度.

尤其地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱之為X上各元素之間含糊關(guān)系.12/33含糊關(guān)系運(yùn)算

因?yàn)楹P(guān)系R就是X

Y一個(gè)含糊子集，所以含糊關(guān)系一樣含有含糊子集運(yùn)算及性質(zhì).設(shè)R，R1，R2均為從X到Y(jié)含糊關(guān)系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2隸屬函數(shù)為(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2隸屬函數(shù)為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-

R(x,y).13/33

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對含糊關(guān)系“R1或者R2”相關(guān)程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對含糊關(guān)系“R1且R2”相關(guān)程度，Rc(x,y)表示(x,y)對含糊關(guān)系“非R”相關(guān)程度.含糊關(guān)系矩陣表示對于有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y(jié)含糊關(guān)系R可用m×n階含糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關(guān)于含糊關(guān)系R相關(guān)程度.

又若R為布爾矩陣時(shí),則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi與

yj之間要么相關(guān)系(rij=1),要么沒相關(guān)系(rij=0).14/33例設(shè)身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重含糊關(guān)系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8115/33含糊關(guān)系合成

設(shè)R1是X到Y(jié)關(guān)系,R2是Y到Z關(guān)系,則R1與R2合成R1°

R2是X到Z上一個(gè)關(guān)系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，含糊關(guān)系合成化為含糊矩陣合成.

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)含糊關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z含糊關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z含糊關(guān)系可表示為含糊矩陣合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.16/33含糊關(guān)系合成運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質(zhì)4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)運(yùn)算關(guān)于(∩)分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質(zhì)在有限論域情況下,就是含糊矩陣合成運(yùn)算性質(zhì).17/33§2.3含糊等價(jià)矩陣含糊等價(jià)關(guān)系若含糊關(guān)系R是X上各元素之間含糊關(guān)系，且滿足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；(3)傳遞性：R2

R,

則稱含糊關(guān)系R是X上一個(gè)含糊等價(jià)關(guān)系.

當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí),X上一個(gè)含糊等價(jià)關(guān)系R就是含糊等價(jià)矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).18/33含糊等價(jià)矩陣基本定理

定理1

若R含有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是含糊等價(jià)矩陣,則對任意

∈[0,1]，R

是等價(jià)Boole矩陣.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T證實(shí)以下：(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

含有自反性；(2)對稱性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

含有對稱性；(3)傳遞性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

含有傳遞性.19/33

定理3

若R是含糊等價(jià)矩陣,則對任意0≤

＜

≤1,R

所決定分類中每一個(gè)類是R

決定分類中某個(gè)類子類.

證實(shí)：對于論域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一類，則有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一類.

所以，R

所決定分類中每一個(gè)類是R

決定分類中某個(gè)類子類.20/33含糊相同關(guān)系

若含糊關(guān)系R是X上各元素之間含糊關(guān)系，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；則稱含糊關(guān)系R是X上一個(gè)含糊相同關(guān)系.當(dāng)論域X={x1,x2,…,xn}為有限時(shí)，X上一個(gè)含糊相同關(guān)系R就是含糊相同矩陣，即R滿足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對稱性：RT=R

(

rij=rji

).21/33含糊相同矩陣性質(zhì)

定理1

若R是含糊相同矩陣，則對任意自然數(shù)k，Rk也是含糊相同矩陣.

定理2

若R是n階含糊相同矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù)k(k≤n)，對于一切大于k自然數(shù)l，恒有Rl=Rk，即Rk是含糊等價(jià)矩陣(R2k=Rk).此時(shí)稱Rk為R傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一個(gè)含糊相同矩陣可誘導(dǎo)出一個(gè)含糊等價(jià)矩陣.平方法求傳遞閉包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…22/33§2.4含糊聚類分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}為被分類對象,每個(gè)對象又由m個(gè)指標(biāo)表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為23/33平移?標(biāo)準(zhǔn)差變換其中平移?極差變換24/33含糊相同矩陣建立方法相同系數(shù)法----夾角余弦法2