浙江省杭州市臨安名校2023-2024學年高二上學期開學考試數學試題 (Word版含解析)

第第頁浙江省杭州市臨安名校2023-2024學年高二上學期開學考試數學試題(Word版含解析)2022學年第二學期高二年級開學考試

數學試題

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.在空間四邊形中，等于（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據平面向量的加法運算法則，即可求解.

【詳解】.

故選：C

2.直線的一個方向向量是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據方向向量均共線，求解出結果.

【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，

又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，

故選：A.

3.已知命題：直線與平行，命題，則是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據兩直線平行滿足的關系可得命題等價于或，結合充分不必要條件的判斷即可求解.

【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價于或，命題．

則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．

故選：A．

4.若平面，的法向量分別為，，則（）

A.B.C.，相交但不垂直D.以上均不正確

【答案】C

【解析】

【分析】應用空間向量夾角的坐標運算求夾角余弦值，即可判斷面面關系.

【詳解】由，而，

由所得向量夾角余弦值知：，相交但不垂直.

故選：C

5.已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（）

AB.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據空間向量的坐標表示，利用向量相等列方程組即可求出結果．

【詳解】因為向量在基底下的坐標為，即，

設，、、，

所以，

令，解得，，；

所以在基底下坐標為．

故選：B.

6.與直線關于點對稱的直線方程是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為,代入已知直線即可求得結果.

【詳解】解析：

設對稱的直線方程上的一點的坐標為,則其關于點對稱的點的坐標為，以代換原直線方程中的得，即.

故選:D.

【點睛】本題考查了直線關于點的對稱直線問題,一般轉化為點關于點的對稱點問題解決,屬于基礎題.

7.已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用坐標法，根據點到直線的距離的向量求法即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，

所以，

所以，

所以點到直線的距離是.

故選：D.

8.已知，滿足，則的最小值為（）

A.B.C.1D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出點關于線段的對稱點的坐標，且有.根據幾何意義，結合圖象，即可得出取最小值時，點的位置，進而得出答案.

【詳解】

如圖，過點作點關于線段的對稱點，則.

設，則有，解得，所以.

設，則，所以，

又，所以點到軸的距離為，

所以，可視為線段上的點到軸的距離和到的距離之和.

過作軸，顯然有，當且僅當三點共線時，和有最小值.

過點作軸，則即為最小值，與線段的交點，即為最小值時的位置.

因為，所以的最小值為.

故選：B．

二多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.是空間的一個基底，與構成基底的一個向量可以是（）

A.B.C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據空間基底、共面等知識確定正確答案.

【詳解】由于，所以、、共面，

不能構成基底，B選項錯誤.

由于，所以、共面，

不能構成基底，D選項錯誤.

假設，

則，但此方程組無解，所以、不共面，

可以構成基底，A選項正確.

假設，

則，但此方程組無解，所以、不共面，

可以構成基底，C選項正確.

故選：AC

10.已知直線，則下列表述正確的是（）

A.當時，直線的傾斜角為

B.當實數變化時，直線恒過點

C.當直線與直線平行時，則兩條直線的距離為1

D.直線與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項，可求出直線斜率，即可判斷選項正誤；

B選項，將直線方程整理為，由此可得直線所過定點；

C選項，由題可得，后由平行直線距離公式可判斷選項；

D選項，分別令，可得直線與軸，x軸交點為，.

則圍成三角形面積為，后由基本不等式可判斷選項.

【詳解】A選項，當時，直線方程為，可得直線斜率為1，則傾斜角為，故A正確；

B選項，由題可得，則直線過定點，故B正確；

C選項，因直線與直線平行，則，則直線方程為：，即.則與直線之間的距離為

，故C錯誤；

D選項，分別令，可得直線與軸，x軸交點為，.

又交點在兩坐標軸正半軸，則.故圍成三角形面積為，當且僅當

，即時取等號.即面積最小值為4，故D正確.

故選：ABD.

11.在空間直角坐標系中，，，，則（）

A.B.

C.異面直線與所成角的余弦值為D.點到直線的距離是

【答案】BD

【解析】

【分析】根據向量數量積、模、異面直線的夾角、點到直線的距離等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】，，A選項錯誤.

，B選項正確.

設異面直線與所成角為，

則，所以C選項錯誤.

到直線距離為，所以D選項正確.

故選：BD

12.對于兩點，，定義一種“距離”：，則（）

A.若點C是線段AB的中點，則

B.中，若，則

C.在中，

D.在正方形ABCD中，有

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據新定義，，之間的“距離:對選項逐個分析即可判斷其正誤即可．

【詳解】A中，若點C是線段AB的中點，則點C坐標為，

則，故A正確；

B中，因為中，若，取，，

則，，

，

故，，

顯然，故B不正確；

對于C，設，則，

因為，

同理，

所以，故C正確;

D中，因為ABCD為正方形，設正方形邊長為a，可取，

則，，故D正確．

故選：ACD.

三填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量，，且，則___________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】利用向量垂直的坐標運算求解.

【詳解】向量，，且，

則有，解得.

故答案為：

14.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______

【答案】

【解析】

【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計算即可求出答案．

【詳解】向量，，

則，，，

所以向量在向量上的投影向量為

,,0,,0,，

故答案為：．

15.點到直線的距離的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】直線恒過點，根據幾何關系可得，點到直線的距離的最大值為.

【詳解】因為直線恒過點，

記，直線為直線，

則當時，此時點到直線的距離最大，

∴點到直線距離的最大值為：

.

故答案為：.

16.是直線上的第一象限內的一點，為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，當面積最小時，點的坐標是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根據給定條件，設出點的坐標，并表示出點的橫坐標，再列出三角形面積的關系式，利用均值不等式求解作答.

【詳解】依題意，設，，則，

而，則有，顯然，于是，

由點在x軸正半軸上，得，面積

，當且僅當，即時取等號，

所以當面積最小時，點的坐標是.

故答案為：

四解答題：本題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.

17.平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，；

（1）用向量，，表示向量；

（2）求線段的長度．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，

（2）先根據題意可得，，，然后對平方化簡可求得結果.

【小問1詳解】

因為為中點，為中點，，，，

所以

；

【小問2詳解】

因為平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，

所以，，，

所以

所以，即線段PM長為

18.設復數，i為虛數單位，且滿足．

（1）求復數z；

（2）復數z是關于x的方程的一個根，求實數p，q的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據已知條件，結合復數的四則運算，復數模公式以及復數相等的概念，即可求解；

（2）將復數z代入方程，結合復數相等的概念即可求解.

【小問1詳解】

設，

，

，解得.

【小問2詳解】

是方程的一個根，

，即，

則

19.如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點，點B的坐標為，點C，D在第一象限．

（1）求直線CD的方程；

（2）若，求點D橫坐標．

【答案】（1）

（2）橫坐標為或2

【解析】

【分析】（1）由題意可得，設直線CD的方程為（），結合平行四邊形ABCD的面積、求得AB與CD之間的距離，利用平行線的距離公式列方程求參數m，根據題設寫出直線方程；

（2）設點D的坐標為，根據點在直線上、兩點距離公式列方程求坐標即可.

【小問1詳解】

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以，則．

設直線CD的方程為（），即．

因為平行四邊形ABCD的面積為8，，故AB與CD之間的距離為．

由題圖知：直線AB的方程為，于是，解得．

由C，D在第一象限知：，所以，

故直線CD的方程為．

【小問2詳解】

設點D的坐標為，由，則．

所以，解得或，

故點D的橫坐標為或2．

20.在ABC中．a，b，c分別是內角A，B，C所對的邊，

（1）求角C：

（2）若，求銳角ABC面積的取值范圍．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）對已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，然后化簡可求出角；

（2）設的外接圓半徑為，利用正弦定理將已知等式化簡變形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面積，利用三角函數恒等變換公式化簡，再利用正弦函數的性質可求得結果．

【小問1詳解】

及正弦定理得，

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，∵，∴．

【小問2詳解】

設外接圓的半徑為，由，

得，即，

則，∴．

的面積．

∵，∴，，∴，

∵，，，∴，∴，∴，

∴，∴，即銳角面積的取值范圍是．

21.如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，四邊形為梯形，，.

（1）若為的中點，求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取中點，可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定可證得結論；

（2）取中點，結合面面垂直的性質可證得平面，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，，根據線面角的向量求法可構造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得結果.

【小問1詳解】

取中點，連接，

分別為中點，，，

，，又，

，，四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面.

【小問2詳解】

取中點，連接，

，，四邊形為平行四邊形，

又，，即；

為等邊三角形，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面；

則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

設，，則，，，，，

，，，，

設平面的法向量，

則，令，解得：，，，

，解得：，；

設平面的法向量，

則，令，解得：，，；

，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

22.已知函數，

（1）當時，求的單調遞減區(qū)間；

（2）若有三個零點，且求證：

①

②.

【答案】（1）

（2）①證明見解析；②證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據題意去絕對值，然后根據二次函數的性質即可求解；

（2）①根據題意可得當時不符合題意即，且進而得到，然后根據題意代入即可證明；

②根據題意和求根公式可得，，然后作差即可證明.

【小問1詳解】

因為，

所以，

當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，單調遞增；

因此的單調遞減區(qū)間為.

【小問2詳解】

①，

當時，僅有一個零點，不合題意；

當時，

當時，在僅有一個零點，在沒有零點，不合題意；

當時，在僅有一個零點，因為，所以在沒有零點，不合題意；

因此，所以

在僅有一個零點，在有兩個零點，，且當時；

，∴，

∵，∴，

∴，∵，

∴，

綜上：

②由題意可知：

，，

∴

，2022學年第二學期高二年級開學考試

數學試題

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.在空間四邊形中，等于（）

A.B.C.D.

2.直線的一個方向向量是（）

A.B.C.D.

3.已知命題：直線與平行，命題，則是的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若平面，的法向量分別為，，則（）

A.B.C.，相交但不垂直D.以上均不正確

5.已知向量在基底下坐標為，則在基底下的坐標為（）

A.B.

C.D.

6.與直線關于點對稱的直線方程是（）

AB.C.D.

7.已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點是的中點，則點到直線的距離是（）

A.B.C.D.

8.已知，滿足，則的最小值為（）

A.B.C.1D.

二多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.是空間的一個基底，與構成基底的一個向量可以是（）

A.B.C.D.

10.已知直線，則下列表述正確的是（）

A.當時，直線的傾斜角為

B.當實數變化時，直線恒過點

C.當直線與直線平行時，則兩條直線的距離為1

D.直線與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

11.在空間直角坐標系中，，，，則（）

A.B.

C.異面直線與所成角余弦值為D.點到直線的距離是

12.對于兩點，，定義一種“距離”：，