北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京市陳經(jīng)綸中學(xué)2017—2018學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在空間坐標(biāo)系中，空間點(diǎn)，，則等于（）．A。B。C。D?！敬鸢浮緼【解析】因?yàn)?，所以，故選．2。兩圓和的位置關(guān)系是（)．A。相離B。相交C。內(nèi)切D.外切【答案】C【解析】由圓，得圓心為，半徑，圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓心為，半徑,兩圓心距,所以，則兩圓內(nèi)切，故選．3.已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）．A。若,，則B。若，，則C.若，,則D.若,，則【答案】B【解析】對(duì)于項(xiàng)、若，，則，相交、平行、異面都有可能，故錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)、若，，則由線面垂直的定義可知，故正確;對(duì)于項(xiàng)、若，,則或,故錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)、若,，則或與平面相交，故錯(cuò)誤，故選．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷,常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法(如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).4.已知橢圓的長軸是短軸的倍,則橢圓的離心率等于（）．A.B.C。D.【答案】D【解析】試題分析：已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，,,，橢圓的離心率，故選D?？键c(diǎn)：1、橢圓的離心率；2、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)。5。如圖，三棱柱中,側(cè)棱底面,底面三角形是正三角形，是中點(diǎn),則下列敘述正確的是（)．A。與是異面直線B.平面C.，為異面直線，且D.平面【答案】C【解析】試題分析：A不正確,因?yàn)榕c在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知,上底面ABC是一個(gè)正三角形,故不可能存在AC⊥平面;C正確，因?yàn)锳E,為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；D不正確，因?yàn)樗诘钠矫媾c平面AB1E相交,且與交線有公共點(diǎn)，故∥平面不正確；故選C．考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．6。某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）．A。B。C.D?！敬鸢浮緿【解析】此幾何體為組合體．項(xiàng)、若上下兩個(gè)幾何體均為圓柱，此俯視圖為，故項(xiàng)正確；項(xiàng)、若上面的幾何體為正四棱柱,下面的幾何體為圓柱，則俯視圖為,故項(xiàng)正確；項(xiàng)、若俯視圖為項(xiàng)，則主視圖中應(yīng)該是虛線，故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng)、若上面的幾何體為底面的等腰直角三角形的直三棱柱，下面的幾何體為正四棱柱時(shí)，俯視圖為，故項(xiàng)正確,故選．7.直線與圓的位置關(guān)系為（）．A。相交B.相切C。相離D。相交或相切【答案】D【解析】試題分析：由不等式知，，因此圓心到直線的距離，即圓心到直線距離小于等于半徑，故直線與圓相交或相切．選D．考點(diǎn)：?直線與圓的位置關(guān)系；?重要不等式的應(yīng)用．【方法點(diǎn)睛】（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法:設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則：?若,則直線與圓相交；?若,則直線與圓相交或相切；?若，則直線與圓相離；④若，則直線與圓相離或相切．（2）需記憶常用的重要不等式?若則；?．8。在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面，及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）．A.線段B。線段C。的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段D.的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段【答案】A【解析】在正方體中,平面，又點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)的軌跡為平面與平面的交線段，故選A．9.如圖，已知正方體,、分別是、的中點(diǎn)，則至少過正方體個(gè)頂點(diǎn)的截面中與平行的截面?zhèn)€數(shù)為(）．A。B。C。D?！敬鸢浮緿【解析】∵、分別是，的中點(diǎn)，∴，則至少過正方體個(gè)頂點(diǎn)的截面中與平行的平面有平面，平面，平面,平面,平面共個(gè)，故選．10.已知矩形,，，將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中，則（）．A。當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得B。當(dāng)時(shí),存在某個(gè)位置，使得C。當(dāng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得D.時(shí)，都不存在某個(gè)位置，使得【答案】C【解析】∵，∴若存在某個(gè)位置，使得直線,則平面，則,在中,，,則由直角邊小于斜邊可知，，即，結(jié)合選項(xiàng)可知只有選項(xiàng)中時(shí),存在某個(gè)位置,使得，故選．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查翻折問題、線面垂直與線線垂直轉(zhuǎn)換的應(yīng)用以及空間想象能力,屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進(jìn)行推理,本題中，先根據(jù)線線垂直得到線面垂直，在根據(jù)線面垂直得到線線垂直，從而得到，進(jìn)而得到結(jié)果。二、填空題：本大題共6個(gè)小題,每小題5分,共30分11.若方程表示圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】方程表示圓，則，即,解得或,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為．12.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為，的矩形，則圓柱的體積為__________．【答案】或【解析】當(dāng)母線為時(shí)，圓柱的底面半徑是，此時(shí)圓柱的體積是,13.如圖，把橢圓的長軸八等分,過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為__________．【答案】28【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且,故,故答案為。14.一個(gè)四棱錐的底面為矩形，其正視圖和俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積是__________．【答案】6【解析】由該四棱錐的正視和俯視圖可知，側(cè)視圖是直角三角形，且兩直角邊分別是和，故其側(cè)視圖的面積是,故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響。15?！敖邓俊笔侵笍奶炜战德涞降孛嫔系囊簯B(tài)或固態(tài)（經(jīng)融化后)降水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而水平面上積聚的深度，降水量以為單位．為了測(cè)量一次降雨的降水量,一個(gè)同學(xué)使用了如圖所示的簡(jiǎn)易裝置：倒置的圓錐．雨后，用倒置的圓錐接到的雨水的數(shù)據(jù)如圖所示，則這一場(chǎng)雨的降水量為__________．【答案】1【解析】設(shè)圓錐形液面的底面半徑為,則圓錐容器的底面半徑為，圓錐形液面的體積，設(shè)降水量為，則，解得，故答案為。16。在正方形中，，分別在線段，上,且，以下結(jié)論：①；②；③平面；④與異面，其中有可能成立的是__________．【答案】①②③④【解析】當(dāng),分別是線段，的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)，，則為的中點(diǎn)，∵在中,,分別為和的中點(diǎn),∴，故②有可能成立，∵，平面,平面,∴平面,故③有可能成立，∵平面,平面，∴，又，∴，故①有可能成立．當(dāng)與重合,與重合時(shí)，與異面，故④有可能成立，綜上所述，結(jié)論中有可能成立的是①②③④，故答案為①②③④.三、解答題：本大題共3個(gè)小題，共40分17。（分）已知圓及直線．直線被圓截得的弦長為．(Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值．（Ⅱ）求過點(diǎn)并與圓相切的切線方程．【答案】（1）（2)或試題解析：（）根據(jù)題意可得圓心,半徑，則圓心到直線的距離，由勾股定理可以知道，代入化簡(jiǎn)得,解得或,又，所以．(）由（）知圓，圓心為,半徑,點(diǎn)到圓心的距離為，故點(diǎn)在圓外,當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，則圓心到切線的距離，化簡(jiǎn)得：,故．∴切線方程為，即,當(dāng)切線方程斜率不存在時(shí)，直線方程為與圓相切，綜上，過點(diǎn)并與圓相切的切線方程為或．18。（分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，,，，、分別為、的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面平面．（Ⅱ)求證:平面．（Ⅲ）求三棱錐的體積．【答案】(1）詳見解析（2）詳見解析（3）【解析】試題分析：（1)由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直;（2)證明直線與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC,所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面。（2)取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G,因?yàn)镋,F分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形,所以EG,又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面。（3)因?yàn)?AC=2,BC=1，AB⊥BC,所以AB=，所以三棱錐的體積為：==?？键c(diǎn):本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．19.（分）如圖，在三棱錐中,底面為等邊三角形，,，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：．（Ⅱ）判斷在線段上是否存在點(diǎn)(與點(diǎn)不重合)，使得為直角三角形？若存在,試找出一個(gè)點(diǎn),并求的值；若不存在,說明理由．【答案】（1)詳見解析（2）當(dāng)時(shí)，為直角三角形．【解析】試題分析：(1)根據(jù)正三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)勾股定理可得,由線面垂直證的判定定理可得平面,由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）在（1）基礎(chǔ)上可知平面與平面的垂直性，所以只需過作交線的垂線，由線線垂直線面垂直，再由線面垂直線線垂直，證明直角三角形的存在性,在上述條件下分別求出,，從而求出的值即可.試題解析：（Ⅰ)證明：如圖，連結(jié)，∵在等邊中，是的中點(diǎn)，且，∴，，∵在直角中，是斜邊的中點(diǎn)，且，∴，在中，由,得，∴，又∵，平面,平面，∴平面，又∵平面，∴．(Ⅱ）解：線段上存在點(diǎn)使得為直角三角形,此時(shí)，如圖，過作于點(diǎn)，連結(jié)，∵平面，∴,又∵,平面，平面,∴