第03章 電路定理

第三章電路定理①疊加定理②替代定理③戴維南定理（諾頓定理)④最大功率傳輸定理⑤特勒根定理⑥互易定理⑦對偶原理。從電阻電路的分析中，我們可以循到線性電阻電路分析的一些規(guī)律，可以將其當(dāng)做一般性定理來使用。它們分別是：第一節(jié)疊加定理一．定理陳述及其解釋性證明1．定理陳述：在線性電路中，任一支路的電流或電壓是電路中各個獨立源(激勵)分別作用時在該支路中產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3

+分析圖中Ua

、I1與各個激勵的關(guān)系R1R3I1′＋US1－aUS1單獨作用時(IS不作用時開路，US不作用時短路)：R1R3IS2I1″IS2單獨作用時US3單獨作用時：R1R3-

US3+I1111顯然有(注意到I1"與I1的參考方向相反)疊加原理證明２．解釋性證明：

線性電路獨立變量方程是線性代數(shù)方程，其方程右端項與各電源成正比，由克萊姆法則知獨立變量與各電源成正比，再由支路VCR可知各支路u、i亦與各電源成正比。二．使用疊加定理的注意點

1、疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征，其重要性不僅僅在于可用疊加法分析電路本身（分解為簡單電路），更重要的是在于它為線性電路的定性分析和一些具體的計算方法提供了理論依據(jù)。3、只適用于線性電路中求解電壓與電流響應(yīng)，而不能用來計算功率。這是由于只有線性電路中的電壓或電流才是激勵的一次函數(shù)，而功率與激勵不再是一次函數(shù)關(guān)系。求“代數(shù)和”時要注意各電壓或電流的參考方向。

2、若uS不作用，則短接之，若iS不作用，則開路之；而受控源不是激勵，即作圖分解時受控源始終保留在電路中，此外，定理中“各個獨立源”可換為“各組獨立源”(分組疊加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

4、當(dāng)線性電路只有一個激勵時，則激勵擴大K倍，任意支路的響應(yīng)也擴大K倍。這稱為線性電路的齊次性。實際上：線性性質(zhì)包括疊加性(可加性)和齊次性(比例性，均勻性).例1：求圖(a)中的uab

、i1．(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab解：本電路用疊加法，可以化為簡單電路的計算。又電路中的激勵獨立源數(shù)目較多，一個個地疊加較繁，為此，我們采用“分組疊加”的方法：①3A電流源單獨作用時（圖(b)）：②其它獨立源共同作用時（圖(c)）：例2．圖示電路中NS為有源線性三端口網(wǎng)絡(luò)，已知：IS1=8A、US2=10V時，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V時，UX=–22V；IS1=US2=0時，UX=2V；試求：IS1=2A、US2=4V時，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：可根據(jù)疊加性用“待定系數(shù)法”求解：即可設(shè)：UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3為NS內(nèi)部所有獨立源對UX

所產(chǎn)生的貢獻。于是有若為無源線性網(wǎng)絡(luò)，則不考慮內(nèi)部電源的作用第二節(jié)替代定理(置換定理)一．定理陳述：在給定的線性或非線性電路中，若已知第k條支路的電壓uK和電流iK

，則該支路可以用下列任何一種元件來替代：

⑴

uS

=uK的電壓源；

⑵

iS

=iK的電流源；

⑶

若pK吸

＞0，則可替代為RK=|uK／iK

|的電阻。若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后①uK

不變；②其它各支路的電壓、電流不變1）設(shè)第K條支路用iS

=iK

來替代，則替代前后①iK

不變；②其它支路VCR未變；③KCL、KVL未變；二．定理的證明：這相當(dāng)于數(shù)學(xué)上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，不會引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。三．定理的應(yīng)用：

①大網(wǎng)絡(luò)的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

替代定理推廣用于二端網(wǎng)絡(luò)時，要求該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量。②

某些線性電路問題的解決(如定理的證明)③

具有唯一解非線性電路問題的簡化分析i+u-Ni+u-N④是測試或試驗中采用假負(fù)載的理論依據(jù)。第三節(jié)戴維南定理與諾頓定理

一．戴維南定理

1．定理陳述：任何一個含獨立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS

，對于外電路來說都可以等效成為有伴電壓源(uOC

與Ri的串聯(lián)組合)，其中：

uOC

──NS端口的開路電壓，

Ri

──NS的“除源電阻”；是指將NS內(nèi)所有的獨立源令為零(將uS短路，將iS開路)時的入端電阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外電路(a)i+u-外電路(b)Ri+Uoc–2．定理證明：開路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-iRii

+u"=－Rii-iNSi+u-i替代定理因此u=u‘+u“=uOC

-Ri

i

如圖（b），定理證畢。例1．試分別求當(dāng)負(fù)載電阻RL為7Ω和11Ω時電流I之值

解：此題特點：求解量均在RL支路(a圖)。最好選用戴維南定理（或諾頓定理）求解,可用方法一求解：①求UOC:其最簡單的解法是用回路法(b圖)：②對除源后的簡單電阻電路用串并聯(lián)的方法求Ri

：③由戴維南等效電路求I

：

IRL＋4V－9Ω此題若用獨立變量法，則對RL的兩個值將求解兩次方程，可見上述解法簡化了計算。3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIaba32I1-20×1=16，得I1=9／8A,UOC=–8I1+16–3×1=4Vabb3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1

+UOC

-3Ω20Ω4Ω8ΩabRic二．諾頓定理

1．定理陳述：任何一個含獨立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS，對于外電路來說都可以等效成為有伴電流源(iSC

與Gi

的并聯(lián)組合)，其中：iSC

──NS端口的短路電流；iSC

方向由u的“+極”沿外電路至“-極”！

Gi

=1／Ri

──NS的“除源電導(dǎo)”；2．定理證明：先將NS等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。由等效關(guān)系可知：iSC

=i|u=0=uOC／Ri

.NSi+u-外電路(a)三．戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法方法一(若除源后N0為簡單純電阻電路)：①求uOC

、iSC

二者之一，其中：uOC

─令端口i=0(開路)，對電路用已知方法計算之；iSC

──令端口u=0(短路)，對電路用已知方法計算之；②對除源網(wǎng)絡(luò)N0(簡單純電阻電路)用串、并聯(lián)的方法求出Ri

．iiSC外電路(b)+u

–Gi方法二：同時求出uOC

、iSC，

則：

Ri

=uOC

／iSC

但當(dāng)uOC

=0時，iSC

也為零，此時就不能用上式求Ri

方法三：若除源后N0為含受控源電阻電路①求出uOC

、iSC

二者之一；②對除源網(wǎng)絡(luò)N0用外加電源法或控制量為“1”法求Ri

方法四(一步法或激勵－響應(yīng)法)：直接對NS求解端口的VCR，若求得為u’=A+Bi’則由戴維南等效電路知：uOC

=A，Ri=B．（當(dāng)求uOC

或iSC

的電路仍然較復(fù)雜時用此法的計算量最少）

NSi'+u'-

+uS

-

方法五：等效變換一步步化簡。若NS中含受控源，則化簡后還得用上述方法二、三與四才能得到最終結(jié)果。方法六：實驗測量法（限于直流電路）：+U

R-

+UOC

-

RiI①測開路電壓UOC

；②允許短路時測ISC，則Ri

=UOC／ISC;否則用一R作為外電路并測其U、I，此時，例2．求下邊電路的最簡等效電路。

解法一：求UOC、Ri②除源（受控源不得除去）求Ri

（圖b）消去非端口變量I1得：Ri

=15Ω；+20V-15Ωa+U-bI5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-ba5Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-bb①I=0求UOC.（圖a）解法二：同時求UOC與ISC①UOC的求法同解法一②求ISC對應(yīng)的電路如圖c：5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1IcISCI3I2由KVL：5ISC-10I1=0得：I1=0.5ISC從而I3

=I1+ISC=1.5ISC

，I2=2I1–I3=–0.5ISC

注意控制量I1在不同狀態(tài)時的變化：短路時I1=2／3A，開路時I1=2A.解法三：一步法（直接求端口VCR）由另一回路的KVL：1×I3–5I2+5ISC=12即：(1.5+2.5+5)ISC=12得：ISC=4／3A；從而Ri

=UOC／ISC=20／(4/3)=15Ω得：U=20+15I

I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I（KVL）I2=I1+I

=0.1U+

0.5I（KCL）I3=2I1–I2=0.1U-1.5I（KCL）U=5I＋5I2–I3+12（KVL）U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12解法四：先等效變換化簡再求解（略）.5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-baI2I3注意點：1、對端鈕處等效，即對外電路等效。2、含源一端口網(wǎng)絡(luò)一定是線性網(wǎng)絡(luò)。3、開路電壓uoc與端電壓u不同，要注意等效電壓源uoc的參考極性。4、外電路為任意（線性、非線性、有源、無源、支路或部分網(wǎng)絡(luò)均可）。5、若含源一端口網(wǎng)絡(luò)Ns內(nèi)具有受控源時，這些受控源只能受Ns內(nèi)部（包括端口）有關(guān)電壓或電流控制，而Ns內(nèi)部的電壓或電流也不能作為外電路中受控源的控制量。即Ns與外電路之間一般應(yīng)沒有耦合關(guān)系。第四節(jié)最大功率傳輸定理一．最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明Ia+U－

RLbNS問題：如圖RL=?時，NS傳給RL的PRL=Pmax

=?Ia+U-

RLb+UOC-Ri得RL=Ri

，此時RL可獲得Pmax

匹配求解：戴維南等效電路如圖則有：（最大功率傳輸定理）

通常UOC發(fā)出的功率并不等于NS中原來電源所發(fā)出的功率，匹配時的效率并不高，對UOC來講，η只有50％(對NS，η≠50％)。因此，對于強電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信號的傳輸，往往就需要實現(xiàn)最大功率傳輸。若用諾頓等效電路例：求RL=?時PRL吸

=Pmax=?Ri+UOC

-

RL11'

iRL

20Ω20Ω10Ω2A11'+15V-

+5V-

i解：先進行戴維南等效：第五節(jié)特勒根定理

一、特勒根定理１對于一個具有n個節(jié)點和b條支路的電路，若其第k條支路的電壓uk

、電流ik取為關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,…，b），則恒有：證明：為了簡化證明，考慮n=4、b=6的電路如圖，各支路只用線段表示，線段的方向表示電壓（或電流）的參考方向，并令0為參考節(jié)點，則：

4①2②3③1560原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0用上述類似的過程，對任何具有n個節(jié)點和b條支路的集總電路，均可證明上式成立。物理意義：功率守恒二．特勒根定理２二．特勒根定理２：對于兩個具有n個節(jié)點和b條支路的電路N和N^

，若它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（圖）相同，設(shè)N與N^的對應(yīng)支路編號一致，所取關(guān)聯(lián)方向相同，如支路電流與電壓分別記為(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，則恒有：特勒根定理２同樣適用于任何集總參數(shù)電路，物理意義為似功率守恒。例．N、N'的各支路電流均已標(biāo)出，試驗證特勒根定理1和特勒根定理2b2b4b1b3

b5定理證明在書上P67頁，請自學(xué)！0.8A5Ω5Ω＋3V－－1V＋1A－6V＋5Ω＋4V－N0.2A+5V-2A3Ω2Ω＋5V－1A5Ω1A+2V-+10V-+3V-+15V-

b1b2b3b4b5Σ

Nu34-1-65

i-0.80.8-0.211

u

i-2.43.20.2-650^Nu'1510523

i'-22111

u'i'-30205230N與^Nu'i-128-1230ui'-68-1-650可列表（u的單位為V，i的單位為A，p的單位為W）來驗證：

有時兩個電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開路或短路來替代或填補某些支路。

第六節(jié)互易定理“互易”─若線性電路只有一個激勵，則該激勵與電路中某個響應(yīng)的位置互換后，其激勵與響應(yīng)的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：+uS

-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'2+uS

-

122'2+u1=0-

+u2

-

i1i2NR一、互易定理的第一種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)：則

=

i2,即恒壓源與短路電流響應(yīng)可互易.證明：設(shè)總共有b條支路，則由特勒根定理2：又因二．互易定理的第二種形式i1i2+u2-

NR+u1-

122'1'iSi1i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS證明：此時將，代入式（*）證明：此時將；

代入式（*）：i1i2+u2=0

-

+u1-

122'2iSNR2'2i1=0i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－三．互易定理的第三種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若

uS

=iS(量值上)，則(量值上)二．互易定理的第二種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則(恒流源與開路電壓響應(yīng)可互易).四、互易定理應(yīng)用時的幾點說明①式（*）是互易定理三種形式的統(tǒng)一表達式，用各種互易定理解題時，可統(tǒng)一使用它，但根據(jù)其證明中使用了特勒根定理，就要求這些端口變量取關(guān)聯(lián)參考方向（對NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激勵端口與響應(yīng)