新教材高中數學第十章概率單元復習課第5課時概率課件

第5課時

概率知識梳理·構建體系專題歸納·核心突破

知識梳理·構建體系知識網絡要點梳理知識網絡要點梳理1.隨機現象、隨機試驗、樣本點、樣本空間、隨機事件、基本事件、必然事件、不可能事件的含義及符號表示是什么?請完成下表:2.事件的關系和運算與對應的概率性質3.古典概型的兩個特征是什么?對應的概率公式是什么?(1)古典概型的兩個特征:有限性和等可能性.(2)古典概型的概率公式:

.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數.4.頻率與概率的區(qū)別與聯系有哪些?(1)頻率隨著試驗次數的變化而變化;概率卻是一個常數,是客觀存在的,與試驗次數無關.(2)在實際應用中,只要試驗的次數足夠多,所得的頻率就可以近似地當作隨機事件的概率.(3)概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值.(4)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.概率越接近于1,此事件發(fā)生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,此事件發(fā)生的可能性就越小.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)隨機試驗的結果有多種,不止一個.(

√

)(2)“水能載舟,亦能覆舟”是一個隨機現象.(

×

)(3)對立事件一定是互斥事件.(

√

)(4)積事件與并事件類似于集合的交與并.(

√

)(5)A1∪A2∪A3表示三個事件A1,A2,A3至少有兩個發(fā)生.(

×

)(6)對于任意事件A,B,都有P(A+B)=P(A)+P(B).(

×

)(7)拋擲一枚骰子,記事件A=“出現的點數為2”,B=“出現的點數小于4”,則P(A∪B)=P(A)+P(B).(

×

)(8)如果三個事件A,B,C兩兩獨立,那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C).(

×

)(9)概率從數量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.(

√

)(10)用隨機模擬方法只能估計古典概型的概率.(

×

)專題歸納·核心突破專題整合高考體驗專題一

互斥事件與對立事件的概率【例1】

甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有5個不同的題目.其中,選擇題3個,判斷題2個,甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?分析:用列舉法把所有可能的基本結果列舉出來,或考慮互斥及對立事件的概率公式.解:把3個選擇題記為x1,x2,x3,2個判斷題記為p1,p2.則試驗的樣本空間包含的樣本點數為5×4=20個.(1)設事件A=“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”,B=“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”,M=“甲、乙兩人中有一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題”,則M=A∪B.因為A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共有6個樣本點,B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共有6個樣本點,1.互斥事件與對立事件的概率計算(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);2.求復雜事件的概率常用的兩種方法(1)直接法:將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和;(2)間接法:先求其對立事件的概率,然后再應用公式求解.【變式訓練1】

某服務電話,打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1;響第2聲時被接的概率是0.2;響第3聲時被接的概率是0.3;響第4聲時被接的概率是0.35.(1)打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少?(2)打進的電話響4聲而不被接的概率是多少?解:(1)設事件Ak(k∈N*)=“電話響第k聲時被接”,那么事件Ak彼此互斥,設“打進的電話在響5聲之前被接”為事件A,根據互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)設事件B=“打進的電話響4聲而不被接”,事件A“打進的電話在響5聲之前被接”,則事件A與事件B互為對立事件.根據對立事件的概率公式,得P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.專題二

古典概型【例2】

有四張背面相同的紙牌A,B,C,D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形,小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張,放回洗勻后再摸出一張.

(1)用畫樹狀圖法(或列表法)表示試驗的樣本空間(紙牌用A,B,C,D表示);(2)求摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌的概率.解:(1)樹狀圖如圖所示.列表如下:分析:本題旨在考查對古典概型的理解及運用.(2)在A,B,C,D四張紙牌中,牌面圖形是中心對稱圖形的是B,C,所以事件“摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌”包含4個樣本點,即(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率是1.求解古典概型概率“四步”法

2.在應用古典概型的概率公式

時,關鍵是分清事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數n(A)和n(Ω),有時需用列舉法把樣本點一一列舉出來,但列舉時必須按某一順序做到不重復、不遺漏.【變式訓練2】

甲乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數算甲贏,否則算乙贏.(1)記事件A=“和為6”,求P(A);(2)現連玩三次,記事件B=“甲至少贏一次”,事件C=“乙至少贏兩次”,試問B與C是否為互斥事件,為什么?(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由.解:(1)試驗的樣本空間Ω={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5},包含的樣本點有5×5=25個.事件A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共有5個樣本點,(2)B與C不是互斥事件.因為B與C可以同時發(fā)生,如甲贏一次,乙贏兩次時,B,C同時發(fā)生.(3)這種游戲規(guī)則不公平.由(1)知和為偶數的樣本點有13個:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以這種游戲規(guī)則不公平.專題三

獨立事件的概率【例3】

甲、乙2人獨立地破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為

和

,求:(1)2人都譯出密碼的概率;(2)2人都譯不出密碼的概率;(3)至多1人譯出密碼的概率.分析:分析事件的獨立性→利用相互獨立事件的概率公式直接或間接求解.解:記“甲獨立地譯出密碼”為事件A,“乙獨立地譯出密碼”為事件B,A與B為相互獨立事件,(3)“至多1人譯出密碼”的對立事件為“2個人都譯出密碼”,所以至多1人譯出密碼的概率為相互獨立事件概率的求解方法(1)應用相互獨立事件同時發(fā)生的概率的乘法公式求概率的解題步驟:①確定各事件是相互獨立的;②確定各事件會同時發(fā)生;③先求每個事件發(fā)生的概率,再求其積.(2)解決這類問題的關鍵是將事件看作若干事件相互獨立的情形,還要注意互斥事件的拆分,以及對立事件概率的求法,即三個公式的聯用:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(B)=1-P(A)(A,B對立),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨立).【變式訓練3】

某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶,得到用戶對產品的滿意度評分如下:A地區(qū)

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76

78

86

95

66

97

78

88

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76

89B地區(qū)

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46

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79根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”,假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立,根據所給數據,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,求C的概率.解:記CA1表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”;CA2表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”;CB1表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB2表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”;則CA1與CB1相互獨立,CA2與CB2相互獨立,CB1與CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2),專題四

用頻率估計概率【例4】

某射擊運動員為2016年里約奧運會做準備,在相同條件下進行射擊訓練,結果如下:(1)該射擊運動員射擊1次,擊中靶心的概率大約是多少?(2)假設該射擊運動員射擊了300次,則擊中靶心的次數大約是多少?(3)假如該射擊運動員射擊了300次,前270次都擊中靶心,那么后30次一定都擊不中靶心嗎?(4)假如該射擊運動員射擊了10次,前9次中有8次擊中靶心,那么第10次一定擊中靶心嗎?分析:弄清頻率與概率的含義及它們之間的關系是解題的關鍵.解:(1)由題意知,隨著射擊次數的增加,擊中靶心的頻率在0.9附近波動,故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數大約為300×0.9=270(次).(3)由概率的意義,可知概率是個常數,不因試驗次數的變化而變化.后30次中,每次擊中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不擊中靶心.(4)不一定.概率是一個理論值,當做大量的重復試驗時,試驗次數越多,頻率的值越接近概率值.【變式訓練4】

下表是某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結果表,請完成表格并回答問題.(1)完成上面表格;(2)估計該油菜籽發(fā)芽的概率是多少?解:(1)從左到右依次填入:1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.897,0.898,0.897,0.896.(2)由于隨著每批粒數的增加,每批種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.897附近,所以估計該油菜籽發(fā)芽的概率為0.897.專題五

概率與統計的綜合應用【例5】

某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐,對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到下表和各年齡段人數的頻率分布直方圖:(1)補全頻率分布直方圖并求n,a,p的值;(2)從年齡在[40,50)內的“低碳族”中采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領隊,求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)內的概率.解:(1)第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30=2∶1,所以采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣法抽取6人,[40,45)歲中抽4人,[45,50)歲中抽2人.設[40,45)歲中抽取的4人為a,b,c,d,[45,50)歲中抽取的2人為m,n,則選取2人作為領隊對應的樣本空間Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共有15個樣本點;其中恰有1人年齡在[40,45)內的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共有8個樣本點.所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)內的概率為概率與統計的綜合應用的關注點概率與統計相結合,所涉及的統計知識是基礎知識,所涉及的概率往往是古典概型,雖然是綜合題,但是難度不大.在解決問題時,要求對圖表進行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息,排除有關數據的干擾,進而抓住問題的實質,達到求解的目的.(1)完成頻率分布表(直接寫出結果),并作出頻率分布直方圖;解:(1)頻率分布表如下:頻率分布直方圖如圖:(2)獲一等獎的概率約為0.04,所以獲一等獎的人數估計為150×0.04=6(人).記這6人為A1,A2,B,C,D,E,其中,A1,A2為該班獲一等獎的同學.從全校所有獲一等獎的同學中隨機抽取2名同學代表學校參加競賽,對應的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有15個樣本點.事件“該班同學中恰有1人參加競賽”包含8個樣本點:(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E).所以該班同學中恰有1人參加競賽的概率考點一

互斥事件與對立事件的概率1.(2018·全國Ⅲ高考)若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45,既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15,則不用現金支付的概率為(

).3 .4

.6

.7解析:設不用現金支付的概率為P,則P=1-0.45-0.15=0.4.答案:B2.(2019·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是

.

解析:已知男女同學共5名.從5名學生中任選2名,共有10種選法.若選出的2人中恰有1名女生,有6種選法.若選出的2人都是女生,有1種選法.所以所求的概率為考點二

古典概型3.(2019·全國Ⅱ高考)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為(

)解析:設測量過該指標的3只兔子為a,b,c,剩余2只為A,B,則從這5只兔子中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)共10種,其中恰有2只測量過該指標的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共6種,所以恰有2只測量過該指標的概率為

,故選B.答案:B4.(2019·全國Ⅲ高考)兩名男同學和兩名女同學隨機排成一列,則兩名女同學相鄰的概率是(

)解析:兩名男同學和兩名女同學排成一列,共有24種排法.兩名女同學相鄰的排法有12種,故兩名女同學相鄰的概率是

.故選D.答案:D5.(2018·全國Ⅱ高考)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是女同學的概率為(

).6 .5

.4

.3解析:設2名男同學為男1,男2,3名女同學為女1,女2,女3,則任選兩人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)10種,其中選中兩人都為女同學共有(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)3種,故答案:D6.(2018·全國Ⅱ高考)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”,如30=7+23.在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是(

)解析:不超過30的素數有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個.隨機選取兩個不同的數,此事件包含9+8+…+2+1=45個樣本點,其中和為30的情形有7+23,11+19,13+17共3種,故答案:C考點三

獨立事件的概率7.(2019·全國Ⅰ高考)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是

.

解析:前五場中有一場客場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五場中有一場主場輸時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.綜上所述,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.答案:0.188.(2019·全國Ⅱ高考)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩名同學進行單打比賽,假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.解:(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了兩個球該局比賽結束,則這兩個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考點四

頻率估計概率與概率的意義9.(2019·全國Ⅰ高考節(jié)選)某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯表:分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率.10.(2019·北京高考)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,發(fā)現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:(1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數;(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2000元的概率;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發(fā)現他本月的支付金額大于2000元.結合(2)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由.解:(1)由題知,樣本中僅使用A的學生有27+3=30人,僅使用B的學生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數為(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2

000元”,(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,該學生本月的支付金額大于2

000元”.假設樣本僅使用B的學生中,本月支付金額大于2

000

元的人數沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認為本月支付金額大于2

000元的人數發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化.考點五

概率與統計的綜合問題11.(2019·天津高考)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單