第7章 二階電路

第七章二階電路

包含一個(gè)電容和一個(gè)電感，或兩個(gè)電容，或兩個(gè)電感的動(dòng)態(tài)電路稱為二階電路。本章著重分析含電感和電容的二階電路，這類電路的響應(yīng)可能出現(xiàn)振蕩的形式。學(xué)習(xí)應(yīng)注意：電路微分方程的建立，特征根的重要意義，微分方程解答的物理含義等方面的內(nèi)容。深圳大學(xué)信息工程學(xué)院返回目錄7.4例題7.1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)7.2恒定電源作用下RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)7.3恒定電源作用下的GCL并聯(lián)電路分析7.1RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)7.1.1電路和方程7.1.2過(guò)阻尼情況

7.1.3臨界阻尼情況7.1.4欠阻尼情況7.1.5零阻尼情況7.1.1電路和方程

換路后電路如圖，電路中無(wú)電源，電路響應(yīng)為零輸入響應(yīng)。有以下三種初始狀態(tài)情況：下面僅以第一種情況為例討論該電路的零輸入響應(yīng)。由KVL，有代入電容的VAR，得微分方程：初始條件為：（1）式的特征方程為

s2+(R/L)s+1/LC=0可求得特征根：7.1.2過(guò)阻尼情況特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，令其中顯然有（1）式通解為：上式求導(dǎo)，得：初始條件代入（3）、（4）式，得：由（5）式求得代入（3）得方程（1）滿足初始條件的特解為：進(jìn)一步求得：分析可知：(1)(2)令diL/dt

=0,求得iL的極值點(diǎn)(3)且uc(t)單調(diào)下降結(jié)果分析*過(guò)渡過(guò)程的能量情況如下圖所示：*過(guò)阻尼情況下，電路具有非振蕩的過(guò)渡過(guò)程。*電壓和電流表達(dá)式中，特征根s1=-

1

對(duì)應(yīng)項(xiàng)在過(guò)渡過(guò)程中起主要作用。*t=0時(shí)，uc(t)的導(dǎo)數(shù)為零，這是與一階電路響應(yīng)的區(qū)別。7.1.3臨界阻尼情況特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根：（1）式通解為：上式求導(dǎo)，得：初始條件代入（6）、（7）式，求得：代入（6）式得微分方程（1）滿足初始條件的解為：分析可知，uc

、iL波形圖與過(guò)阻尼情況類似。7.1.4欠阻尼情況特征根為一對(duì)共軛復(fù)根：其中可設(shè)（1）式通解為：上式求導(dǎo)，得：初始條件代入（8）、（9）式，得：由（10）式求得其中、d、0及的關(guān)系如下圖所示

d

0

方程（1）滿足初始條件的解為：進(jìn)一步求得：分析可知：(1)uc

和iL均是幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦函數(shù)。(2)(3)uc的過(guò)零點(diǎn)為iL的過(guò)零點(diǎn)為(4)uc

的極值點(diǎn)即iL的過(guò)零點(diǎn)。由可求得

iL的極值點(diǎn)為結(jié)果分析*過(guò)渡過(guò)程中電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相互轉(zhuǎn)換，由于耗能電阻的存在，總能量逐漸減少。C

放能L

吸能R

耗能放能放能耗能吸能放能耗能*欠阻尼情況下，電路具有衰減振蕩的過(guò)渡過(guò)程。uc(t)和iL的包絡(luò)線函數(shù)分別為稱為衰減系數(shù)，越大，則電壓和電流衰減越快；稱

d

為衰減振蕩角頻率，d

越大，則電壓和電流振蕩越劇烈。*由可知，若電路中L、C一定，則R越小，就越小，d

就越大。電路過(guò)渡過(guò)程的振蕩性就會(huì)越強(qiáng)，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間也會(huì)越長(zhǎng)?？梢韵胂?，若R＝0，則過(guò)渡過(guò)程會(huì)無(wú)休止地進(jìn)行下去。7.1.5零阻尼情況特征根為一對(duì)共軛虛根：（相當(dāng)于欠阻尼情況下=0、d=0、=0。）

利用欠阻尼情況的分析結(jié)果，得：零阻尼情況下，電路響應(yīng)為等幅振蕩的正弦函數(shù)，

0稱為無(wú)阻尼振蕩角頻率。電場(chǎng)和磁場(chǎng)不斷進(jìn)行著完全的能量交換，但總能量并不減少，任一時(shí)刻的電路總能量都等于電路的初始儲(chǔ)能。總結(jié)：點(diǎn)擊此處查看以上四種情況的比較7.2恒定電源作用下RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)換路后電路如圖，電路響應(yīng)由電源和電路的原始儲(chǔ)能共同產(chǎn)生?？赏频茫海?）式通解為：初始條件為：其中ucp

為方程（1）的一個(gè)特解，可求得：uch

為方程（1）對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，它的形式?jīng)Q定于方程的特征根。求出（3）式后，代入初始條件（2），可確定2個(gè)待定的積分常數(shù)。uch

稱為固有分量,ucp稱為強(qiáng)制分量。若電路特征根均有負(fù)實(shí)部，則uch是衰減的，這種情況下,又稱uch為暫態(tài)分量,ucp為穩(wěn)態(tài)分量。系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的性質(zhì)決定于uch,即決定于電路的特征根。解：如圖電路中，當(dāng)時(shí)的微分方程為方程的強(qiáng)制分量（即穩(wěn)態(tài)值）為因?yàn)?，即電路為過(guò)阻尼情況。例:如圖所示的電路中，，求時(shí)的所以相應(yīng)齊次方程的通解（即暫態(tài)分量）形式為其中即式(1)的全解，即電壓響應(yīng)為電流響應(yīng)為將初始條件代入(2)(3)兩式得：將A1和A2代入式(2)和式(3)得全響應(yīng)代入數(shù)據(jù)后得7.3恒定電源作用下的GCL

并聯(lián)電路分析GCL并聯(lián)電路如圖所示，它是RLC串聯(lián)電路的對(duì)偶電路。所以由于根據(jù)KCL有可推得上式可改寫(xiě)為其中初始值為7.4例題例1：判斷如圖所示電路，是過(guò)阻尼情況還是欠阻尼情況。解：由KVL可知由KCL知?jiǎng)ti(t)RLuS(t)而將式(2)和式(3)代入式(1)得電路的二階微分方程其特征方程為特征根為因，電路為過(guò)阻尼情況。例2：電路如圖所示，試求零輸入響應(yīng)解：求出兩個(gè)固有頻率為的零輸入響應(yīng)呈臨界阻尼形式，設(shè)求導(dǎo)數(shù)代入初始條件，得方程組求出得到例3：如圖所示電路，求的階躍響應(yīng)，若G=10S解：電路方程如下其中或當(dāng)時(shí)用(a)