第一章 1.4.2 第1課時(shí)　距離問(wèn)題

8第一章1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題第1課時(shí)距離問(wèn)題【素養(yǎng)導(dǎo)引】1.理解點(diǎn)線(xiàn)距、點(diǎn)面距、線(xiàn)線(xiàn)距、線(xiàn)面距、面面距的概念與向量表示.(數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象)2.會(huì)利用向量求空間距離.(直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)空間距離的向量求法分類(lèi)向量求法點(diǎn)線(xiàn)距設(shè)直線(xiàn)l的單位方向向量為u,A∈l,P?l,設(shè)=a,則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d=a2點(diǎn)面距已知平面α的法向量為n,A∈α,P?α,則點(diǎn)P到平面α的距離d=【批注】空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度,因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以空間中的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題.(2)如果直線(xiàn)l與平面α平行,可在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)P,將直線(xiàn)l到平面α的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解.(3)如果兩個(gè)平面α,β互相平行,可在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P,將兩個(gè)平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.[診斷]1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離,就是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量的長(zhǎng)度. (×)提示:點(diǎn)A與其在平面α內(nèi)的射影點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到平面α的距離.(2)直線(xiàn)l∥平面α,則直線(xiàn)l到平面α的距離就是直線(xiàn)l上的點(diǎn)到平面α的距離. (√)提示:直線(xiàn)與平面平行時(shí),直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等.2.(教材改編題)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點(diǎn)F,G分別為AB,CC1的中點(diǎn),則點(diǎn)D到直線(xiàn)GF的距離為_(kāi)_______.

【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),所以=(1,-1,-1),=(1,1,0).取a==(1,1,0),u==(33,-33,-3所以點(diǎn)D到直線(xiàn)GF的距離為a2-(a答案:2學(xué)習(xí)任務(wù)一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.已知三棱錐O-ABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,且OA=1,OB=2,OC=2,則點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離為 ()A.2 B.3 C.5 D.3【解析】選B.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意可知A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),所以=(-1,2,0),=(0,-2,2),取a==(-1,2,0),u==(0,-22,22).則點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離為a2-(a·u)22.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,則點(diǎn)B到直線(xiàn)A1C1的距離為_(kāi)_______.

【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線(xiàn)A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以點(diǎn)B到直線(xiàn)A1C1的距離d==10-(95答案:13用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線(xiàn)的單位方向向量u;(3)計(jì)算所求點(diǎn)與直線(xiàn)上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量a;(4)利用公式d=a2-(學(xué)習(xí)任務(wù)二點(diǎn)到平面的距離(直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求點(diǎn)面距、線(xiàn)面距【典例1】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),求點(diǎn)D到平面PEF的距離.【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),E(1,12,0),F(12,1,0),所以=(-12,=(1,12,-1),=(1,12,0),設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則即-1令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以點(diǎn)D到平面PEF的距離d==|2+1|4+4+9=本例條件不變,求直線(xiàn)AC到平面PEF的距離.【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),E(1,12,0),F(1所以=(-12,12,0),=(1,12,-1),=(-1,0,1),設(shè)平面PEF的法向量為n=(x,y,z),則即-1令x=2,則y=2,z=3,所以n=(2,2,3),因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又EF?平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以直線(xiàn)AC到平面PEF的距離為=117=1717角度2求面面距【典例2】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點(diǎn),則平面AMN與平面EFBD的距離為_(kāi)_______.

【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).所以=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),所以=,=,所以EF∥MN,BF∥AM,因?yàn)镋F∩BF=F,MN∩AM=M.所以平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,則解得x取z=1,則x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).點(diǎn)A到平面EFBD的距離即為平面AMN到平面EFBD的距離.因?yàn)?(0,4,0),所以平面AMN與平面EFBD間的距離d==83.答案:8求點(diǎn)到平面的距離的主要方法(1)直接法:作點(diǎn)到平面的垂線(xiàn),點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離;(2)等體積法:在三棱錐中用等體積法求解;(3)向量法:d=(n為平面的法向量,A為平面上一點(diǎn),MA為過(guò)點(diǎn)A的斜線(xiàn)段).提醒:線(xiàn)面距、面面距實(shí)質(zhì)上是求點(diǎn)面距,求直線(xiàn)到平面、平面到平面的距離的前提是線(xiàn)面、面面平行.1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離是 ()A.12 B.24 C.22 【解析】選B.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).因?yàn)镺為A1C1的中點(diǎn),所以O(shè)(12,12,1),=(12,-12,0),=(-1,0,1),=(0,1,0)設(shè)平面ABC1D1的法向量為n=(x,y,z),則有即-x取x=1,則n=(1,0,1),所以點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為d==122=22.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,C1C的中點(diǎn),G為線(xiàn)段DD1上的點(diǎn),且DG=13DD1,過(guò)E,F,G的平面交AA1于點(diǎn)H,則A1D1到平面EFGH的距離為_(kāi)_______【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.則E1,1,12,F0,1,12所以=(-1,0,0),=0,-1,-16所以∥.又因?yàn)镋F?平面EFGH,D1A1?平面EFGH,所以D1A1∥平面EFGH.所以D1到平面EFGH的距離即為A1D1到平面EFGH的距離.設(shè)平面EFGH的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則即-x令z=6,則y=-1,所以n=(0,-1,6),又因?yàn)?0,1所以點(diǎn)D1到平面EFGH的距離d==437=43737,所以A1D1到平面EFGH的距離為答案:4射影法求異面直線(xiàn)的距離分別以這兩條異面直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為a,與這兩條異面直線(xiàn)都垂直的法向量為n,則兩條異面直線(xiàn)間的距離是a在n方向上的正射影向量的模,設(shè)為d,從而由公式d=|a·【典例】如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AB=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1,求異面直線(xiàn)PB與CE的距離.【解析】連接BD,由PE∶ED=2∶1知,在BD上取點(diǎn)F使BF∶FD=2∶1,連接CF,EF,易知PB∥EF,從而PB∥平面CEF,于是只需求直線(xiàn)PB到平面CEF的距離,即可求點(diǎn)P到平面CEF的距離.由PA=AB=a,PB=2a,所以PA2+AB2=PB2,所以∠PAB=90°,即PA⊥AB,同理PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AG所在直線(xiàn)為x軸,AD所在直線(xiàn)為y軸,AP所在直線(xiàn)為z軸,建立如圖