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文檔簡介
本章主要內容第3章Bessel
函數用分離變量法求解多個自變量的方程,自變量個數3.1二階線性常微分方程的冪級數解法二階線性常微分方程的如下形式y
+p(x)y
+q(x)y=f(x)稱為二階線性微分方程,簡稱二階線性方程.
f
(x)稱為自由項,當
f(x)0時,稱為二階線性非齊次微分方程,簡稱二階線性非齊次方程.
當
f(x)恒為
0時,稱為二階線性齊次常微分方程,
簡稱二階線性齊次方程.
定理
1
如果函數y1
與y2
是線性齊次方程的兩個解,y=C1y1+C2y2仍為該方程的解,其中
C1,
C2
是任意常數.則函數
定義設函數y1(x)和y2(x)
是定義在某區(qū)間I
上的兩個函數,k1y1(x)+
k2y2(x)
=0如果存在兩個不全為0的常數k1和k2,使在區(qū)間I
上恒成立.則稱函數y1(x)與y2(x)在區(qū)間上是線性相關的,否則稱為線性無關.
定理
2如果函數y1
與y2
是二階線性齊次方程y
+p(x)y
+q(x)y=0的兩個線性無關的解,y=C1y1+C2y2是該方程的通解,則其中C1,C2為任意常數.
定理
3如果函數y*
是線性非齊次方程的一個特解,y=Y+y*,是線性非齊次方程的通解.Y是該方程所對應的線性齊次方程的通解,則求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為:
(1)
求線性齊次方程y
+p(x)y
+q(x)y=0的線性無關的兩個解y1與y2,得該方程的通解Y=C1y1+C2y2.
(2)
求線性非齊次方程y
+p(x)y
+q(x)y=f(x)的一個特解y*.那么,線性非齊次方程的通解為y=Y+y*.
y
+p(x)y
+q(x)y=f1
(x)+f2
(x),y
+p(x)y
+q(x)y=f1
(x),和y
+p(x)y
+q(x)y=f2
(x)則是方程①
的特解.定理
4設二階線性非齊次方程為①②③的特解,3.1.1二階常系數線性常微分方程的解法如果二階線性常微分方程為y
+py
+qy=f(x),其中p、q均為常數,則稱該方程為二階常系數線性常微分方程.設二階常系數線性齊次方程為y
+py
+qy=
0.考慮到左邊p,q均為常數,我們可以猜想該方程具有y=erx形式的解,其中r
為待定常數.將y
=rerx,y
=r2erx
及y=erx代入上式,erx(r2+pr+q)=0.二階常系數線性齊次常微分方程的解法由于erx
0,因此,只要r
滿足方程r2+pr+q=0,即r
是上述一元二次方程的根時,
y=erx就是④式的解.方程⑤稱為方程④的特征方程.特征方程的根稱為特征根.④⑤得1
特征方程具有兩個不相等的實根r1與r2,因而方程的通解為所以y1
與y2
線性無關,都是④的解,即r1
r2.那么,這時函數2
特征方程具有兩個相等的實根,即這時,由特征根可得到常系數線性齊次方程的一個解y1=erx.還需再找一個與y1線性無關的解y2,將y2
及其一階、二階導數y
2=(c(x)erx)
=erx(c(x)+rc(x)),為此,設y2=c(x)y1,其中c(x)為待定函數.y
2=erx(c(x)+2rc(x)+r2c(x)),代入方程y+py+qy=0中,得注意到是特征方程的重根,所以有r2+
pr+
q=0及2r
+
p=0.且erx
0,因此只要c(x)滿足則y2=cerx就是④式的解,為簡便起見,取方程c(x)=0的一個解c(x)=x,于是得到方程④且與y1=erx
線性無關的解y2=xerx.因此,④式的通解為
3
特征方程具有一對共軛復根r1=a+ib與r2=a–ib.這時有兩個線性無關的解y1=e(a+ib)x與y2=e(a-ib)x.這是兩個復數解,為了便于在實數范圍內討論問題,我們再找兩個線性無關的實數解.由歐拉公式可得于是有由定理1知,以上兩個函數eax
cosbx與eaxsinbx
均為④
式的解,且它們線性無關.因此,這時方程的通解為上述求二階常系數線性齊次常微分方程通解的方法稱為特征根法,其步驟是:(1)
寫出所給方程的特征方程;(2)
求出特征根;
(3)
根據特征根的三種不同情況,寫出對應的特解,并寫出其通解.例
1
求方程y
-2y
-3y=0
的通解.
解
該方程的特征方程為r2
-2r–3=0,它有兩個不等的實根r1=-1,r2=3,
其對應的兩個線性無關的特解為y1=e-
x
與y2=e3x,所以方程的通解為
例
2
求方程y
-4y
+4y=0
的滿足初始條件y(0)=1,y(0)=4的特解.
解
該方程的特征方程為r2
-4r
+4=0,求得將y(0)=1,y
(0)=4代入上兩式,得C1=1,C2=2,y=
(1+2x)e2x.其對應的兩個線性無關的特解為y1=e2x
與y2=xe2x,所以通解為因此,所求特解為它有重根r=2.例
3
求方程2y
+2y
+3y=0
的通解.
解
該方程的特征方程為2r2
+2r
+3=0,它有共軛復根對應的兩個線性無關的解為所以方程的通解為例
4
求方程y
+4y=0
的通解.
解
該方程的特征方程為r2
+4=0,它有共軛復根r1,2=2i.即a=0,b=2.對應的兩個線性無關的解
y1=cos2x.
y2=sin2x.所以方程的通解為注:第二章分離變量法經常出現的兩個常微分方程通解為通解為二階常系數線性非齊次常微分方程的解法1
自由項
f(x)為多項式Pn(x).設二階常系數線性非齊次常微分方程為y
+
py
+
qy=Pn(x),其中Pn(x)為x
的n
次多項式.當原方程⑥
中
y
項的系數q
0時,k
取
0;當q
=0,但
p
0時,k
取
1;當p
=0,q
=0時,k取2.⑥因為方程中p、q均為常數且多項式的導數仍為多項式,所以可設⑥
式的特解為其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式,例
5
求方程y
-2y+y
=x2
的一個特解.解
因為自由項f(x)
=x2
是x的二次多項式,則代入原方程后,有且y
的系數q=10,取k=0.所以設特解為比較兩端x
同次冪的系數,有解得A=1,B=4,C=6.故所求特解為例
6
求方程y
+
y
=x3–x+
1的一個特解.解
因為自由項f(x)
=x3–x+
1是一個x的三次多項式,則代入原方程后,有且y
的系數q=0,p=1
0,取k=1.所以設方程的特解為比較兩端x
同次冪的系數:解得故所求特解為2
自由項
f(x)為Aeax
型設二階常系數線性非齊次常微分方程為y
+
py
+
qy=Aeax,其中a,A
均為常數.由于p,q
為常數,且指數函數的導數仍為指數函數,其中B為待定常數,
當
a
不是⑦
式所對應的線性齊次方程的特征方程
r2+pr+q=0的根時,取
k=0;當
a
是其特征方程單根時,取
k=1;
當
是其特征方程重根時,取
k=2.⑦因此,我們可以設⑦
的特解當
a
不是特征方程
r2+pr+q=0的根時,取
k=0;當
a
是其特征方程單根時,取
k=1;當
是其特征方程重根時,取
k=2.例
7
求方程y
+
y+y
=2e2x
的通解.
解
a=2不是特征方程r2+r+1=0的根,取k=0,則代入方程,得故原方程的特解為所以,設特解為.B72=例
8
求方程y
+2y
-3y
=ex
的特解.
解
a=1是特征方程r2+2r
-3=0的單根,取k=1,則代入方程,得故原方程的特解為所以,設特解為,41=B注:第二章分離變量法出現的非齊次常微分方程P42一個特解為3
自由項
f(x)為eax
(Acoswx+Bsinwx)型設二階常系數線性非齊次常微分方程為y
+
py
+
qy=eax(Acoswx+Bsinwx),其中a,A
,B
均為常數.由于p,q
為常數,且指數函數的各階導數仍為指數函數,正弦函數與余弦函數的導數也總是余弦函數與正弦函數,因此,我們可以設⑧有特解⑧其中C,D
為待定常數.取
k=0,是根時,取
k=1。
當
a+wi
不是
⑧
式所對應的齊次方程的特征方程的根時,當
a+wi
不是
特征方程的根時,取k=0當
a+wi
是
特征方程的根時,取k=1例9
求方程y
+3y
-
y
=excos2x
的一個特解.
解
自由項f(x)=excos2x
為eax(Acoswx+Bsinwx)
型的函數,則且a
+
wi
=
1+2i,它不是對應的常系數線性齊次常微分方程的特征方程r2
+3r–1=0的根,取k=0,所以設特解為代入原方程,得比較兩端cos2x與sin2x的系數,得解此方程組,得故所求特解為例
10
求方程y
+
y
=sinx
的一個特解.
解
自由項f(x)
=sinx
為eax(Acoswx+Bsinwx)型的函數,且a
=
0,w=1,則代入原方程,得且a
+
wi
=
i
是特征方程r2+1=0的根,取k=1,所以,設特解為比較兩端sinx
與cosx
的系數,得故原方程的特解為而對應齊次方程y
+
y=0的通解為Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解為例11
方程y
+4y
=x+1+sinx
的通解.
解
自由項f(x)
=x+1+sinx可以看成f1
(x)
=x+1和f2
(x)
=sinx
之和,y
+4y
=x+1,y
+4y
=sinx.和⑨⑩方程⑨
的特解易求得,設方程
⑩
的特解為的特解.所以分別求方程代入⑩,得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解原方程所對應的線性齊次方程為
y
+4y
=0,其通解為Y=C1cos2x+C2sin2x,故原方程的通解為3.1.2變系數線性方程的冪級數解法定理3.1考慮下面的二階變系數線性常微分方程
y
+p(x)y
+q(x)y=0(3.1.3)如果p(x)、q(x)在x0的鄰域解析,即在該鄰域可展成Taylor級數,則方程(3.1.3)有如下形式的解析解其中可由待定系數法求出。例12求解下列方程根據定理3.1,可設解為將該級數求一階和二階導數并將y(x),y
(x)和y(x)代入到原方程或,它們都是R上的解析函數。解:本題此即可得將上面的結果代入到得系數全為零解:此題,它們都是R上的解析函數。根據定理3.1,可設,將該級數帶入原方程,可得或又代入到(1),可得展開可得系數全為零,可得代入,可得
例13
求解下列方程根據定理3.1,可設解為將該級數求一階和二階導數并將y(x),y
(x)和y(x)代入到原方程,它們在(-1,1)解析。解:本題此即系數全為零或將上面的結果代入到得可得作業(yè)P76習題3第一題(2)(4)
3.2Bessel函數3.2.1Γ函數記為Γ函數。它對任意有定義,該廣義積分收斂。Γ函數具有下面兩條性質證明下面求記利用極坐標變換可得所以利用性質還可得到例1計算下列積分解(1)延拓問題,將定義域延拓到定義則在區(qū)間(-1,0)有定義。類似可以定義在區(qū)間(-2,-1)上的值,如此繼續(xù)下去,可以擴充到整個實軸(去掉負實數點集),其圖象如下:3.2.2
Bessel方程和Bessel函數設,二階線性常微分方程稱為r階Bessel方程。r階Bessel方程可以寫成利用冪級數解法,待定系數,注意到定理3.2考慮下面的二階變系數線性常微分方程
y
+p(x)y
+q(x)y=0(3.1.5)如果解析,即,方程(3.1.5)有如下形式的解析解其中可由待定系數法求出。在的鄰域最多為p(x),q(x)的一階和二階極點。則在該去心鄰域令其中和為待定常數。有帶入(1),得即整理,有有即比較前面的系數,可得由于,故有首先取則由(4)可得如果選取,則有代入到得到原方程的一個解此函數稱為r階Bessel函數,通常記如果則由(4)式可得如果選取,則有代入到得到原方程的另一個解此函數稱為-r階Bessel函數,通常記注1
當r為正整數時,例如,取對于,當時的系數等于零。特別r=m(m為正整數)時,有所以,對所有的實數r,都有意義。求解過程失效。
注2
記表達式中冪級數部分的系數為,直接計算可得即表達式中冪級數部分的收斂半徑為無窮大。類似可證表達式中冪級數部分的收斂半徑也為無窮大。因此,中冪級數部分是兩個在實數軸上的解析函數。
注3
注意到在x=0右連續(xù)而在x=0的鄰域無界,故當r>0不等于整數時,是線性無關的,它們構成原方程的一個基解組。當r=m(m為正整數)時,直接計算可得令n階第一類貝塞爾函數
1
r不為整數時,貝塞爾方程的通解和線性無關n階第二類貝塞爾函數(Neumann函數)
n為整數時2
r為整數時,貝塞爾方程的通解A、B為任意常數,n為任意正整數作業(yè)P76習題3第七題(1)第十三題(3)(4)3.2.3貝塞爾函數的性質性質1有界性
性質2奇偶性
當n為正整數時
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