第十二章 代數(shù)結(jié)構(gòu)基本概念及性質(zhì)

第十二章代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及性質(zhì)12.1代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例12.2代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)12.3同態(tài)與同構(gòu)12.1代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義與例在正式給出代數(shù)結(jié)構(gòu)的定義之前，先來(lái)說(shuō)明什么是在一個(gè)集合上的運(yùn)算，因?yàn)檫\(yùn)算這個(gè)概念是代數(shù)結(jié)構(gòu)中不可缺少的基本概念。定義12.1.1設(shè)S是個(gè)非空集合且函數(shù) 或f:Sn

→S，則稱(chēng)f為一個(gè)n元運(yùn)算。其中n是自然數(shù)，稱(chēng)為運(yùn)算的元數(shù)或階。當(dāng)n=1時(shí)，稱(chēng)f為一元運(yùn)算，當(dāng)n=2時(shí)，稱(chēng)f為二元運(yùn)算，等等。注意，n元運(yùn)算首先是一個(gè)函數(shù)，其次是個(gè)閉運(yùn)算(所謂閉運(yùn)算是指：集合上的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果都在原來(lái)的集合中，我們把具有這種特征的運(yùn)算稱(chēng)作封閉的，簡(jiǎn)稱(chēng)閉運(yùn)算)。封閉性表明了n元運(yùn)算與一般函數(shù)的區(qū)別之處。此外，有些運(yùn)算存在幺元或零元，它在運(yùn)算中起著特殊的作用，稱(chēng)它為S中的特異元或常數(shù)。運(yùn)算的例子很多，例如，在數(shù)理邏輯中，否定是謂詞集合上的一元運(yùn)算，合取和析取是謂詞集合上的二元運(yùn)算；在集合論中，并與交是集合上的二元運(yùn)算；在整數(shù)算術(shù)中，加、減、乘運(yùn)算是二元運(yùn)算，而除運(yùn)算便不是二元運(yùn)算，因?yàn)樗粷M(mǎn)足封閉性。在下面討論的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，主要限于一元和二元運(yùn)算，將用'、┐或ˉ等符號(hào)表示一元運(yùn)算符；用

、

、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示二元運(yùn)算符，一元運(yùn)算符常常習(xí)慣于前置、頂置或肩置，如┐x、、x'；而二元運(yùn)算符習(xí)慣于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上運(yùn)算的概念后，便可定義代數(shù)結(jié)構(gòu)了。定義12.1.2設(shè)S是個(gè)非空集合且fi是S上的ni元運(yùn)算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm組成的結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，記作<S，f1，f2，…，fm>。例：設(shè)Z是整數(shù)集，“＋”是Z上的普通加法運(yùn)算，則<Z，＋>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。例：設(shè)R是實(shí)數(shù)集，“＋”與“×”是實(shí)數(shù)集R上的普通加法和乘法運(yùn)算，則<R,＋,×>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。例：我們可以構(gòu)造下述的一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)：設(shè)有一個(gè)由有限個(gè)字母組成的集合∑

，叫字母表，在∑上任意長(zhǎng)的字母串，叫做∑上句子或字符串，串中字母的個(gè)數(shù)m叫這個(gè)串的長(zhǎng)度，我們假定當(dāng)一個(gè)字的長(zhǎng)度m=0時(shí)用符號(hào)

表示，它叫做空串。這樣我們可以構(gòu)造一個(gè)在∑上的所有串的集合∑*。其次，我們定義一個(gè)在∑*上的運(yùn)算“//”——并置運(yùn)算或者連接運(yùn)算，設(shè)

，

∑*，則

//

＝

。通過(guò)并置運(yùn)算將兩個(gè)串聯(lián)成一個(gè)新的串，而此聯(lián)成的新串也在∑*內(nèi)，這樣構(gòu)造的<∑*，//>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)如果令∑+＝∑*－{

}，則<∑+，//>也是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。這兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)都是計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常要用到的代數(shù)結(jié)構(gòu)。例：設(shè)有一計(jì)算機(jī)它的字長(zhǎng)是32位，它以定點(diǎn)加、減、乘、除及邏輯加、邏輯乘為運(yùn)算指令，并分別用01，02，…，06表示之。則在該計(jì)算機(jī)中由232有限個(gè)不同的數(shù)字所組成的集合S以及計(jì)算機(jī)的運(yùn)算型機(jī)器指令就構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，01，02，…，06>。因此，一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)需要滿(mǎn)足二個(gè)條件：

(1)有一個(gè)非空集合S

(2)在集合S上定義的運(yùn)算一定是封閉的此外，我們把集合S的基數(shù)即|S|，定義為代數(shù)結(jié)構(gòu)的基數(shù)。如果S是有限集合，則說(shuō)代數(shù)結(jié)構(gòu)是有限代數(shù)結(jié)構(gòu)；否則便說(shuō)是無(wú)窮代數(shù)結(jié)構(gòu).有時(shí)，要考察兩個(gè)或多個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里就有個(gè)是否同類(lèi)型之說(shuō)，請(qǐng)看下面定義：定義12.1.3設(shè)兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>和<T，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相同的元數(shù)，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是同類(lèi)型的?？梢?jiàn)，判定兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否同類(lèi)型，主要是對(duì)其運(yùn)算進(jìn)行考察：①兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)是否有相同個(gè)數(shù)的運(yùn)算符；②每個(gè)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算符是否有相同的元數(shù)。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<N，＋>與代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，×>是相同類(lèi)型的，因?yàn)樗鼈兌加幸粋€(gè)二元運(yùn)算符。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，＋，×>與<N，＋>的類(lèi)型是不相同的，因?yàn)樗鼈兊倪\(yùn)算符的個(gè)數(shù)不同。例：設(shè)S是非空集合，P(S)是它的冪集。對(duì)任意集合A，B∈P(S)上的運(yùn)算

和

如下:A

B=(A－B)∪(B－A)A

B=A∩B

則<P(S)，

，

>是一代數(shù)結(jié)構(gòu)。因?yàn)椋@然

和

是閉運(yùn)算。<R，＋，×>與<P(S)，

，

>是同類(lèi)型代數(shù)結(jié)構(gòu)的。有時(shí)還需要在代數(shù)結(jié)構(gòu)中集合的某個(gè)子集上討論其性質(zhì)，這就引出子代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念.定義12.1.4設(shè)<S，f1，f2，…，fm>是一代數(shù)結(jié)構(gòu)，且非空集T

S在運(yùn)算f1，f2，…，fm作用下是封閉的，且T含有與S中相同的特異元，則稱(chēng)<T，f1，f2，…，fm>為代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，f1，f2，…，fm>的子代數(shù)。記為<T，f1，…>

<S，f1，…>。例：設(shè)E是所有偶數(shù)所組成的集合，則代數(shù)結(jié)構(gòu)<E，＋>是<Z，＋>的一個(gè)子代數(shù)結(jié)構(gòu)例：顯然，<Z，＋，×>

<R，＋，×>.12.2代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)即是結(jié)構(gòu)中任何運(yùn)算所具有的性質(zhì)。以下我們均假設(shè)運(yùn)算為二元運(yùn)算。1.結(jié)合律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿(mǎn)足結(jié)合律或“⊙”是可結(jié)合的，即(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))例12.2.1給定<A，⊙>且對(duì)任意a，b∈A有a⊙b=b。證明運(yùn)算“⊙”是可結(jié)合的。證明：因?yàn)閷?duì)任意a，b，c∈A

(a⊙b)⊙c=b⊙c=c

a⊙(b⊙c)=a⊙c=c

故(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)注意，不是任何代數(shù)結(jié)構(gòu)上的運(yùn)算都滿(mǎn)足結(jié)合律，如整數(shù)集上“－”運(yùn)算就不滿(mǎn)足結(jié)合律。如：5－(2－1)＝4,但是(5－2)－1＝2.2.交換律給定<S，⊙>，則運(yùn)算“⊙”滿(mǎn)足交換律或“⊙”是可交換的，即(

x)(

y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。例12.2.2給定<Q，○>，其中Q為有理數(shù)集合，并且對(duì)任意a，b∈Q有a○b=a+b-a·b，問(wèn)運(yùn)算○是否可交換?證：a○b=a+b-a·b=b+a

-b·a＝b○a，故運(yùn)算○是可交換的。同樣，并不是所有代數(shù)結(jié)構(gòu)上運(yùn)算均滿(mǎn)足交換律，如矩陣的乘法就不滿(mǎn)足交換律。易見(jiàn)，如果一代數(shù)結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算⊙是可結(jié)合和可交換的，那么，在計(jì)算a1⊙a(bǔ)2⊙···⊙a(bǔ)m時(shí)可按任意次序計(jì)算其值。特別當(dāng)a1＝a2＝···＝am＝a時(shí)，則a1⊙a(bǔ)2⊙···⊙a(bǔ)m＝am。稱(chēng)am為a的m次冪，m稱(chēng)a的指數(shù)。下面給出am的歸納定義：設(shè)有<S，⊙>且a

S，對(duì)于m

Z+，其中Z+表示正整數(shù)集合，可有：(1)a1=a(2)am+1=am⊙a(bǔ)由此利用歸納法不難證明指數(shù)定律：(1)am⊙a(bǔ)n=am+n(2)(am)n=amn這里，m,n

Z+。類(lèi)似地定義某代數(shù)結(jié)構(gòu)中的負(fù)冪和給出負(fù)指數(shù)定律。3.分配律一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)若具有兩個(gè)運(yùn)算時(shí)，則分配律可建立這兩個(gè)運(yùn)算之間的某種聯(lián)系。給定<S，⊙，○>，稱(chēng)運(yùn)算⊙對(duì)于○滿(mǎn)足左分配律，或者⊙對(duì)于○是可左分配的，如果有(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))同理，稱(chēng)運(yùn)算⊙對(duì)于○滿(mǎn)足右分配律或⊙對(duì)于○是可右分配的，如果有(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x))類(lèi)似地可定義○對(duì)于⊙是滿(mǎn)足左或右分配律.若⊙對(duì)于○既滿(mǎn)足左分配律又滿(mǎn)足右分配律，則稱(chēng)⊙對(duì)于○滿(mǎn)足分配律或是可分配的。同樣可定義○對(duì)于⊙滿(mǎn)足分配律。由定義不難證明下面定理：定理12.2.1給定<S，⊙，○>且⊙是可交換的。如果⊙對(duì)于○滿(mǎn)足左或右分配律，則⊙對(duì)于○滿(mǎn)足分配律。例12.2.3

給定<B,⊙,○>，其中B={0,1}。表12.2.1分別定義了運(yùn)算⊙和○，問(wèn)運(yùn)算⊙對(duì)于○是可分配的嗎？○對(duì)于⊙呢？形如表12.2.1的表常常被稱(chēng)為運(yùn)算表或復(fù)合表，它由運(yùn)算符、行表頭元素、列表頭元素及復(fù)合元素四部分組成。當(dāng)集合S的基數(shù)很小，特別限于幾個(gè)時(shí)，代數(shù)結(jié)構(gòu)中運(yùn)算常常用這種表給出。其優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)明直觀，一目了然。解可以驗(yàn)證⊙對(duì)于○是可分配的，但○對(duì)于⊙并非如此。因?yàn)?○(0⊙1)

(1○0)⊙(1○1)4.吸收律給定<S，⊙，○>，則⊙對(duì)于○滿(mǎn)足左吸收律

:=(

x)(

y)(x,y∈S→x⊙(x○y)=x)⊙對(duì)于○滿(mǎn)足右吸收律

:=(

x)(

y)(x,y∈S→(x○y)⊙x=x)若⊙對(duì)于○既滿(mǎn)足左吸收律又滿(mǎn)足右吸收律，則稱(chēng)⊙對(duì)于○滿(mǎn)足吸收律或可吸收的?！饘?duì)于⊙滿(mǎn)足左、右吸收律和吸收律類(lèi)似地定義。若⊙對(duì)于○是可吸收的且○對(duì)于⊙也是可吸收的，則⊙和○是互為吸收的或⊙和○同時(shí)滿(mǎn)足吸收律。例12.2.4給定<N，⊙，○>，其中N是自然數(shù)集合，⊙和○定義如下：對(duì)任意a，b∈N有a⊙b=max{a，b}，a○b=min{a，b}，試證，⊙和○互為吸收的。證明：不妨假設(shè)a＞ba⊙(a○b)=max{a，min{a，b}}=a(a○b)⊙a(bǔ)=max{min{a，b}

，a}=a故⊙對(duì)于○滿(mǎn)足吸收律。同理可證，○對(duì)于⊙滿(mǎn)足吸收律。故⊙和○互為吸收的。5.等冪律與等冪元給定<S，⊙>，則“⊙”是等冪的或“⊙”滿(mǎn)足等冪律:=(

x)(x∈S→x⊙x=x)給定<S，⊙>且x∈S，則x是關(guān)于“⊙”的等冪元:=x⊙x=x于是，不難證明下面定理：定理12.2.2若x是<S，⊙>中關(guān)于⊙的等冪元，對(duì)于任意正整數(shù)n，則xn=x。例12.2.5給定<P(S)，∪，∩>，其中P(S)是集合S的冪集，∪和∩分別為集合的并和交運(yùn)算。驗(yàn)證：∪和∩是等冪的。證：對(duì)任意A

P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪和∩是等冪的。6.幺元或單位元給定<S，⊙>且el，er，e∈S，則el為關(guān)于⊙的左幺元:=(

x)(x∈S→el⊙x=x)er為關(guān)于⊙的右幺元:=(

x)(x∈S→x⊙er=x)若e既為⊙的左幺元又為⊙的右幺元，稱(chēng)e為關(guān)于⊙的幺元。亦可定義如下：e為關(guān)于⊙的幺元:=(

x)(x∈S→e⊙x=x⊙e=x)。定理12.2.3給定<S，⊙>且el和er分別是關(guān)于⊙的左、右幺元，則el=er=e且幺元e唯一。證明:由題設(shè)知el=el⊙er=er=e，下證幺元e是唯一的.若還有一幺元e1∈S，則e1=e1⊙e=e。例：實(shí)數(shù)集R上的代數(shù)結(jié)構(gòu)<R，＋，×>的“×”運(yùn)算的幺元為1，因?yàn)閷?duì)任意x

R有x×1＝1×x＝x。而“＋”運(yùn)算的幺元為0，因?yàn)閷?duì)任意x

R有x＋0＝0＋x＝x。例：前面例子中關(guān)于串的并置運(yùn)算，它的單位元素是空串

，因?yàn)閷?duì)任一串A，均有//A=A

//=A。7.零元給定<S，○>及θl，θr，θ∈S，則θl為關(guān)于○的左零元:=(

x)(x∈S→θl○x=θl)θr為關(guān)于○的右零元:=(

x)(x∈S→x○θr=θr)θ為關(guān)于○的零元:=(

x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)定理12.2.4給定<S，⊙>且θl和θr分別為關(guān)于⊙的左零元和右零元，則θl=θr=θ且零元θ是唯一的。證明:由題設(shè)知θl=θl⊙θr=θr=θ，下證零元θ是唯一的.若還有一零元θ1∈S，則θ1=θ1⊙θ=θ。定理12.2.5給定<S，⊙>且|S|＞1。如果θ，e∈S，其中θ和e分別為關(guān)于⊙的零元和幺元，則θ≠e。證明：用反證法。假設(shè)θ=e，則對(duì)任意x∈S，有x

=e⊙x=θ⊙x=e?？梢?jiàn)，S中的所有元素都是相同的，這與|S|＞1矛盾。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，×>上的零元是“0”，因?yàn)閷?duì)于任何整數(shù)x，均有x×0＝0×x＝0。例：正整數(shù)集Z+上的運(yùn)算“min”，叫“取最小”運(yùn)算。min(a,b)為取a,b的最小者。代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z+，min>中對(duì)應(yīng)于運(yùn)算“min”的零元為1。8．逆元給定<S，⊙>且幺元e，x∈S，則x為關(guān)于⊙的左逆元:=(

y)(y∈S∧x⊙y=e)x為關(guān)于⊙的右逆元:=(

y)(y∈S∧y⊙x=e)x為關(guān)于⊙可逆的:=(

y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)給定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，則y為x的左逆元:=y⊙x=ey為x的右逆元:=x⊙y=ey為x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e顯然，若y是x的逆元，則x也是y的逆元，因此稱(chēng)x與y互為逆元。通常x的逆元表示為x-1。一般地說(shuō)來(lái)，一個(gè)元素的左逆元不一定等于該元素的右逆元。而且，一個(gè)元素可以有左逆元而沒(méi)有右逆元，反之亦然。甚至一個(gè)元素的左或右逆元還可以不是唯一的。定理12.2.6給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且一個(gè)元素x的左逆元xl-1和右逆元xr-1存在，則xl-1=xr-1。定理12.2.7給定<S，⊙>及幺元e∈S。如果⊙是可結(jié)合的并且x的逆元x-1存在，則x-1是唯一的。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<Z，＋>上的幺元是“0”，對(duì)于任何整數(shù)x，它的逆元是－x，因?yàn)閤＋(－x)＝0。例：代數(shù)結(jié)構(gòu)<R，＋，×>中0和1分別為＋和×的幺元。對(duì)于“＋”，對(duì)每個(gè)元素r

R都有逆元－r；對(duì)于“×”，對(duì)每個(gè)非零元素

r

R都有逆元1/r。9.可約律與可約元給定<S，⊙>且零元θ∈S，則⊙滿(mǎn)足左可約律或是左可約的

:=(

x)(

y)(

z)((x,y,z∈S∧x≠θ∧x⊙y=x⊙z)→y=z)，并稱(chēng)x是關(guān)于⊙的左可約元。⊙滿(mǎn)足右可約律或是右可約的

:=(

x)(

y)(

z)((x,y,z∈S∧x≠θ∧y⊙x=z⊙x)→y=z)，并稱(chēng)x是關(guān)于⊙的右可約元。若⊙既滿(mǎn)足左可約律又滿(mǎn)足右可約律或⊙既是左可約又是右可約的，則稱(chēng)⊙滿(mǎn)足可約律或⊙是可約的。若x既是關(guān)于⊙的左可約元又是關(guān)于⊙的右可約元，則稱(chēng)x是關(guān)于⊙的可約元?？杉s律與可約元也可形式地定義如下：⊙滿(mǎn)足可約律:=(

x)(

y)(

z)(x,y,z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))x是關(guān)于⊙的可約元:=(

y)(

z)(y,z∈S∧x≠θ∧((x⊙y=x⊙z∧y⊙x=z⊙x)→y=z))例：給定<Z，×>，其Z是整數(shù)集合，×是一般乘法運(yùn)算。顯然，每個(gè)非零整數(shù)都是可約元，而且運(yùn)算×滿(mǎn)足可約律。定理12.2.8給定<S，○>且○是可結(jié)合的，如果x關(guān)于○是可逆的且x≠θ，則x也是關(guān)于○的可約元。證明設(shè)任意y,z

S且有x○y=x○z或y○x=z○x。因?yàn)椤鹗强山Y(jié)合的及x關(guān)于○是可逆的，則有x-1○(x○y)=(x-1○x)○y=e○y=yx-1○(x○z)=(x-1○x)○z=e○z=z故得x○y=x○z

y=z，故x是關(guān)于○的左可約元。同樣可證得y○x=z○x

y=z，故x是關(guān)于○的右可約元。故x是關(guān)于○的可約元。最后，作一補(bǔ)充說(shuō)明，用運(yùn)算表定義一代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，從表上很能反映出關(guān)于運(yùn)算的各種性質(zhì)。為確定起見(jiàn)，假定<S，○>及x，y，θ，e∈S。(1)運(yùn)算○具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)表中的每個(gè)元素都屬于S。(2)運(yùn)算○滿(mǎn)足交換律，當(dāng)且僅當(dāng)表關(guān)于主對(duì)角線是對(duì)稱(chēng)的。(3)運(yùn)算○是等冪的，當(dāng)且僅當(dāng)表的主對(duì)角線上的每個(gè)元素與所在行或列表頭元素相同?！餫bc…aabbcc……(4)元素x是關(guān)于○的左零元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中的每個(gè)元素都與x相同；元素y是關(guān)于○的右零元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中的每個(gè)元素都與y相同；元素

是關(guān)于○的零元，當(dāng)且僅當(dāng)

所對(duì)應(yīng)的行和列中的每個(gè)元素都與

相同?！餷mn…axxxx…c…左零元x○mny…aybycy……右零元y○mn

…a

…c

……零元

(5)元素x為關(guān)于○的左幺元，當(dāng)且僅當(dāng)x所對(duì)應(yīng)的行中元素依次與行表頭元素相同；元素y為關(guān)于○的右幺元，當(dāng)且僅當(dāng)y所對(duì)應(yīng)的列中元素依次與列表頭元素相同；元素e是關(guān)于○的幺元，當(dāng)且僅當(dāng)e所對(duì)應(yīng)的行和列中元素分別依次地行表頭元素和列表頭元素相同。○lmn…axlmn…c…左幺元x○mny…aabbcc……右幺元y○mne…aaemne…cc……幺元e(6)x為關(guān)于○的左逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行的元素中至少存在一個(gè)幺元，y為關(guān)于○的右逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于y所在列的元素中至少存在一個(gè)幺元；x與y互為逆元，當(dāng)且僅當(dāng)位于x所在行和y所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都是幺元?！餷mn…axec…左逆元○mny…aebc…右逆元○mxy…xebye…逆元例12.2.8給定<S，○>，其中S={α，β，γ，δ，ζ}且○的定義如表12.2.5所示。試指出該代數(shù)結(jié)構(gòu)中各元素的左、右逆元情況。表12.2.5解：α是幺元；β的左逆元和右逆元都是γ，即β與γ互為逆元；δ的左逆元是γ而右逆元是β；β有兩個(gè)左逆元γ和δ；ζ的右逆元是γ，但ζ沒(méi)有左逆元?！穰力娄忙摩痞力娄忙摩痞力娄忙摩痞娄摩力忙摩忙力娄力娄摩力忙摩忙痞摩力忙啤餰βγδζeβγδζ

eβγδζβδeγδγeβeβδeγδγζδeγζ12.3同態(tài)與同構(gòu)本節(jié)將闡明兩個(gè)重要概念——同態(tài)與同構(gòu)。在以后各節(jié)中，它們會(huì)經(jīng)常被使用到。定義12.3.1設(shè)<X，⊙>與<Y，○>是同類(lèi)型的。稱(chēng)<X，⊙>同態(tài)于<Y，○>或<Y，○>為<X，⊙>的同態(tài)象，記為<X，⊙>~<Y，○>，其定義如下：<X，⊙>~

<Y，○>

:=(

f)(f∈YX∧(

x1)(

x2)(x1,x2∈X→f(x1⊙x2)=f(x1)○f(x2)))同時(shí)，稱(chēng)f為從<X，⊙>到<Y，○>的同態(tài)映射.可以看出，同態(tài)映射f不必是惟一的。

Xx1x2x3x1⊙x3f(X)y1=f(x1)f(x1)=f(x2)y3=f(x3)y1○y3Y同態(tài)示意圖f例12.3.1給定<R，＋>和<R，×>，其中R是實(shí)數(shù)集合，＋和×分別是加法和乘法運(yùn)算，試證<R，＋>~<R，×>。證：關(guān)鍵是找一個(gè)同態(tài)映射。今構(gòu)造函數(shù)f∈RR如下：f(x)=ax,其中a＞0,x∈R則f為所求的同態(tài)映射，這是因?yàn)閷?duì)任意y,z∈R，有f(y＋z)=ay＋z＝ay×az＝f(y)×f(z)因此，<R，＋>~<R，×>兩個(gè)同類(lèi)型的代數(shù)結(jié)構(gòu)間的同態(tài)定義不僅適用于具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，也可以推廣到具有多個(gè)二元運(yùn)算的任何兩個(gè)同類(lèi)型代數(shù)結(jié)構(gòu)。例如，對(duì)于具有兩個(gè)二元運(yùn)算的兩個(gè)同類(lèi)型代數(shù)結(jié)構(gòu)<X,⊙,○>和<Y,

,

>的同態(tài)定義如下：<X,⊙,○>~<Y