安徽省安慶市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page22安徽省安慶市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題總分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=（）A. B.C. D.2【答案】C【解析】【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意可得，所以，所以.故選：C2.已知點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)為正方形所在平面外一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別在和中利用向量加法的平行四邊形法則就可得出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是正方形的中心，所以分別為,的中點(diǎn)，所以在中，，同理，在中，，所以.故選：.3.已知不重合的直線m、n、l和平面，下列命題中真命題是（）A.如果l不平行于，則內(nèi)的所有直線均與l異面B.如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C.如果，，m、n共面，那么D.如果l上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并結(jié)合圖形即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)l與相交時(shí)，在平面內(nèi)且過交點(diǎn)的直線與l都是共面的，故A錯(cuò)；對(duì)于B，如圖1，可能是，故B錯(cuò)；對(duì)于C，這是線面平行的性質(zhì)定理的等價(jià)說法，故C正確；對(duì)于D，如圖2，由于直線l與相交時(shí)，也可以有兩點(diǎn)到的距離相等，故D錯(cuò)．故選：C.4.已知在中，，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理與二倍角公式化簡，再根據(jù)三角形的內(nèi)角范圍分析即可【詳解】由正弦定理有，因?yàn)?，故，故，即，又，故或，即或，故的形狀為等腰三角形或直角三角形故選：D5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】延拓過點(diǎn)三點(diǎn)的平面，再根據(jù)平面與平面的判定定理，即可容易判斷選擇.【詳解】由題意可知經(jīng)過P、Q、R三點(diǎn)的平面即為平面，如下圖所示：對(duì)選項(xiàng)：可知N在經(jīng)過P、Q、R三點(diǎn)的平面上，所以B、C錯(cuò)誤；對(duì)：MC1與是相交直線，所以A不正確；對(duì)：因?yàn)?/，，//，又容易知也相交，平面；平面，故平面//平面故選：.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.6.已知是平面上不共線的三點(diǎn)，是的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則一定為的A.重心 B.邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.邊中線的中點(diǎn) D.邊的中點(diǎn)【答案】B【解析】【詳解】如圖所示：設(shè)的中點(diǎn)是，是三角形的重心，

在邊的中線上，是中線的三等分點(diǎn)，不是重心故選B7.日晷是中國古代用來測定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】【分析】畫出過球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.8.如圖所示，正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出異面直線與所成角的余弦值的最大值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，則在側(cè)面內(nèi)取一點(diǎn)，使得，則易知三角形為直角三角形，則設(shè)，對(duì)稱軸為，則即故選：C二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9.下列命題正確的是（）A.若為復(fù)數(shù)，則B.若為向量，則C.若為復(fù)數(shù)，且，則D.若為向量，且，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算、向量運(yùn)算的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】令，，，，，，，A對(duì)；，不一定成立，B錯(cuò)；，，，，，C錯(cuò)．將兩邊平方并化簡得，D對(duì).故選：AD10.在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是（）A.5 B. C.8 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)判斷，即為銳角時(shí)，三角形有兩解.【詳解】當(dāng)為銳角時(shí)，三角形有兩解.，，的值可以是，8，故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11.點(diǎn)O在所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有A.若,則點(diǎn)O為的重心B.若,則點(diǎn)O為的垂心C.若,則點(diǎn)O為的外心D.若,則點(diǎn)O為的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】解：選項(xiàng)A，設(shè)D為的中點(diǎn)，由于，所以為邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，所以O(shè)為的重心；選項(xiàng)B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)O在的平分線上，同理由，知點(diǎn)O在的平分線上，故O為的內(nèi)心；選項(xiàng)C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為的外心；選項(xiàng)D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點(diǎn)O是的垂心；故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量在三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．12.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折到△AB1M的位置，連接B1C和B1D，N為B1D的中點(diǎn)，在翻折過程中，則下列結(jié)論中正確的是（）A.始終有AM⊥B1CB.線段CN的長為定值C.直線AB1和CN所成的角始終為D.當(dāng)三棱錐B1﹣AMD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直、平行四邊形、線線角、外接球等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于四邊形是菱形，，所以三角形是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，則在折疊的過程中，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，A選項(xiàng)正確.設(shè)是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，在直角三角形中，為定值，，所以三角形是等邊三角形，所以，也即直線AB1和CN所成的角始終為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.三角形的面積不變，所以當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大，由于平面平面且交線為，平面，，所以平面，由于平面，所以.同理可證得平面，由于平面，所以，所以三棱錐B1﹣AMD的體積最大時(shí)，其外接球的球心為，，所以外接球的半徑為，表面積為，D項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若復(fù)數(shù)，且滿足，則點(diǎn)所圍成的圖形面積為__________.【答案】【解析】【分析】在復(fù)平面中，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．【詳解】由可知到的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，點(diǎn)所圍成的圖形面積為．故答案為：．14.在中，，，，為邊上的高，為的中點(diǎn)，若，其中，，則等于___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的加，減，數(shù)乘的法則，結(jié)合圖形，求解的值.【詳解】由條件可知，所以，，所以，，故答案為：15.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度________m.【答案】【解析】【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用．16.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②．有下列四個(gè)結(jié)論：①經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為②異面直線AD與CF所成的角的余弦值為③直線AD與平面DEF所成的角為④球離球托底面DEF的最小距離為其中正確的命題是__________請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上【答案】②③④【解析】【分析】取中點(diǎn)N，M，利用給定條件證明平面判斷③；證明，求異面直線夾角判斷②；求出外接圓半徑，結(jié)合球面的截面圓性質(zhì)計(jì)算判斷①，④作答.【詳解】取中點(diǎn)N，M，連接，如圖，因?yàn)檎切危瑒t，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，同理平面，即，，因此，四邊形是平行四邊形，有，同理，，外接圓半徑，經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓是的外接圓，其面積為，①不正確；連接，因，則四邊形是平行四邊形，，即有是異面直線AD與CF所成的角或其補(bǔ)角，，中，，，由余弦定理得：，②正確；因平面，則是直線AD與平面DEF所成的角，而，③正確；體積為的球半徑，由得，由①知，球心到平面的距離，由①，同理可得點(diǎn)C到平面距離為，即平面與平面的距離為，所以球面上的點(diǎn)到球托底面DEF的最小距離為，④正確，所以正確的命題是②③④.故答案：②③④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)求出角的余弦值為負(fù)時(shí)，要取其相反數(shù)作為異面直線夾角余弦．四、解答題（本大題共7小題，共84.0分）17.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（1）若，求；（2）若為純虛數(shù)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由虛部等于以及得出的值；（2）由實(shí)部等于，且虛部不等于得出的值.【詳解】解：（1）由題知，即，解得；（2）由題知，即.18.中，點(diǎn)．（1）若四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若D在線段上，且，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，然后由，列出方程組即可求解；（2）根據(jù)得到，進(jìn)而根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，然后根據(jù)模長的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，所以，由可得，即，解得，故；（2）因?yàn)?，所以，則，又由，所以.19.在正方體中，棱長，M，N，P分別是，，中點(diǎn)．（1）直線交PN于點(diǎn)E，直線交平面MNP于點(diǎn)F，求證：M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）本意利用點(diǎn)線面位置關(guān)系的額相關(guān)知識(shí)，先證平面平面，再證平面PMN，平面；（2）利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)處理即．【小問1詳解】證明：，，，則平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，點(diǎn)F在直線ME上，則M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【小問2詳解】解：，又，20.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求出此時(shí)的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別選三個(gè)條件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周長最小值，再利用面積公式求出面積.【詳解】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.選③，∵，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，周長的最小值為6，此時(shí)的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.21.如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個(gè)半徑相等的小球球A和球，圓柱的底面直徑為，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球（1）求球A的體積；（2）求圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓柱的軸截面分析即可；（2）直接利用球表面積、圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可．【小問1詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為R，小球的半徑為r，且，由圓柱與球的性質(zhì)知，即，，球A的體積為【小問2詳解】球B的表面積，圓柱的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比為22.如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合).（1）求證：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，N為BC的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先證明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直判定定理，證明結(jié)論；（2）以E為原點(diǎn)，EB，ED，EP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=EB=2，設(shè)N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夾角公式求出m，得到結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM?平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM?平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（2）假設(shè)存在點(diǎn)N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.以E為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PE=EB=2，設(shè)N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，，，，設(shè)平面EMN的法向量為，由，令，得，平面BEN的一個(gè)法向量為，故，解得：m=1，故存在N為BC的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通常可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算．23.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)為底面圓周上異于，的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若圓柱的側(cè)