高考北師大版數(shù)學（理）一輪復習學案7-4直線平面平行的判定及其性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)命題分析預測學科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，主要考查直線與平面以及平面與平面平行的判定和性質(zhì)，常出現(xiàn)在解答題的第（1）問中，難度中等．本節(jié)通過線、面平行的判定及性質(zhì)考查考生的直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用．授課提示：對應學生用書第146頁知識點一直線與平面平行直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（線線平行?線面平行）∵l∥a，aα，lα，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡記為“線面平行?線線平行”）∵l∥α，lβ，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b1．下列命題中正確的是（）A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α解析：A錯誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交；D正確，由a∥α，可得a平行于經(jīng)過直線a的平面與α的交線c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b?α，cα，所以b∥α．答案：D2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為_________．解析：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點．因為E為DD1的中點，所以OE∥BD1．又因為BD1平面ACE，OE平面ACE，所以BD1∥平面ACE．答案：平行知識點二平面與平面平行平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行（簡記為“線面平行?面面平行”）∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b?溫馨提醒?平面與平面平行的幾個有用性質(zhì)（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．（2）夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．（3）經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．（4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．（5）如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．（6）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．1．平面α∥平面β的一個充分條件是（）A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，aα，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C．答案：D2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中（）A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線解析：當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線．答案：A3．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_________．解析：因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG．同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形授課提示：對應學生用書第147頁題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的考查重點．多考查直線與平面平行的判定、利用線面平行的性質(zhì)判定線線平行及探索存在性問題．常見的命題角度有：（1）直線與平面平行的判定；（2）直線與平面平行的性質(zhì)．考法（一）直線與平面平行的判定[例1]如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE相交于O點，G是線段OF上一點．（1）求證：AP∥平面BEF；（2）求證：GH∥平面PAD．[證明]（1）連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD的中點，∴BC綊AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點．又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF．（2）連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，又PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，∴FH∥平面PAD．又易知O是BE的中點，∴OH∥AD，易得OH∥平面PAD．又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD．又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD．證明直線與平面平行的三種方法（1）定義法：一般用反證法．（2）判定定理法：關鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程．（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面．考法（二）直線與平面平行的性質(zhì)[例2]如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2eq\r(17)，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（1）證明：GH∥EF；（2）若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．[解析]（1）證明：因為BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可證EF∥BC，因此GH∥EF．（2）連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK．因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD．又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD．又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH．因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF．所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，且G是PB的中點，所以GH＝eq\f(1,2)BC＝4．由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3．易得EF＝BC＝8，故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18．證明線線平行的三種判定方法（1）利用平行公理．（2）利用線面平行的性質(zhì)定理．（3）利用面面平行的性質(zhì)定理．[對點訓練]如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．求證：GH∥平面PAD．證明：如圖，連接AC交BD于點O，連接MO．因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O是AC的中點．又M是PC的中點，所以AP∥OM．根據(jù)直線和平面平行的判定定理．則有PA∥平面BMD．因為平面PAHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，得PA∥GH．因為GH平面PAD，PA平面PAD，所以GH∥平面PAD．題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)[例]如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：（1）B，C，H，G四點共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．[證明]（1）因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．（2）在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC，因為EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因為G，E分別為A1B1，AB的中點，所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．因為A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG．[變式探究1]在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA．證明：如圖所示，連接HD，A1B，因為D為BC1的中點，H為A1C1的中點，所以HD∥A1B．又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[變式探究2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點M，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD，因為D為BC的中點，所以A1B∥DM．因為A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1．又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．判定面面平行的四種方法（1）面面平行的定義，即判斷兩個平面沒有公共點．（2）面面平行的判定定理．（3）垂直于同一條直線的兩平面平行．（4）平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．[對點訓練]如圖所示，平面α∥平面β，點A∈平面α，點C∈平面α，點B∈平面β，點D∈平面β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD．（1）求證：EF∥平面β；（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長．解析：（1）證明：①當AB，CD在同一平面內(nèi)，∵α∥β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，∴AC∥BD．∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD．又EFβ，BDβ，∴EF∥平面β．②當AB與CD異面時，設平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC．∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH．故四邊形ACDH是平行四邊形．在AH上取一點G，使AG∶GH＝CF∶FD，又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH．又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β．又EF平面EFG，∴EF∥平面β．綜上，EF∥平面β．（2）如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF．∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME＝eq\f(1,2)BD＝3，MF＝eq\f(1,2)AC＝2．因此∠EMF為AC與BD所成的角（或其補角）．故∠EMF＝60°或120°．在△EFM中，由余弦定理得，EF＝eq\r(ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF)＝eq\r(32＋22±2×3×2×\f(1,2))＝eq\r(13±6)，即EF＝eq\r(7)或EF＝eq\r(19)．直線與平面平行問題中的核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理——直線與平面平行的創(chuàng)新應用[例]如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動，始終保持MN∥平面DCC1D1，設BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f（x）的圖像大致是（）[解析]過M作MQ∥DD1，交AD于Q，連接QN（圖略）．∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x．在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1（x≥0，y≥1），∴函數(shù)y＝f（x）的圖像為焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分．[答案]C作平面MNQ∥平面DCC1D1，且由勾股定理得出y與x的關系是解題的關鍵．[對點訓練]如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題：①沒有水的部