寬翼緣薄壁工字形梁動位移分析

寬翼緣薄壁工字形梁動位移分析

由于工字墻梁具有良好的力學，因此在鋼、混凝土、各種建筑材料的結(jié)構(gòu)中得到了廣泛應(yīng)用。隨著材料技術(shù)的進一步發(fā)展，其應(yīng)用前景更加廣泛。然而，如果在這條寬的翼側(cè)截面上的梁對稱彎曲，翼側(cè)板上的彎曲正應(yīng)力的分布是不均勻的，這就是所謂的剪力減速效果。近年來，隨著國內(nèi)外科學家的不懈努力，這種結(jié)構(gòu)靜力分析的分析方法不斷完善。但是在動力反應(yīng)分析中由于薄壁工字形梁受剪力滯后效應(yīng)影響，經(jīng)典強迫振動理論已不適用，又由于其主振型的正交性難以把握，其動力學分析難度加大。本文運用直接解法對工字形梁的動力反應(yīng)進行了分析，在考慮剪力滯和剪切變形效應(yīng)影響的前提下，獲得結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)振動的勢能和動能，根據(jù)能量變分原理，推導出了結(jié)構(gòu)振動控制微分方程和自然邊界條件。本文方法揭示了薄壁工字形結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的規(guī)律，因而在工程上具有重要的理論意義和實用價值。1控制方程和自然邊界條件對i型梁的動態(tài)反應(yīng)1.1上翼板、下翼板應(yīng)力能及動力特性對圖1所示的工字形截面梁，在對稱彎曲狀態(tài)下，若結(jié)構(gòu)的跨度為L，截面上的豎向動撓度為w(x,t)，則剪滯效應(yīng)引起工字形梁上翼板、下翼板的翹曲位移為：上翼板：下翼板：式中：fy1(y,z)、fy2(y,z)分別為剪滯效應(yīng)在工字形梁上翼板、下翼板產(chǎn)生的翹曲形函數(shù)；wsy0為常數(shù)，且wsy0=wsy01+wsy02,wsy01和wsy02分別為上下翼板各自滿足軸向自平衡條件分別求得的常數(shù)；wsy1、wsy2為沿翼板的不均勻分布函數(shù)。工字形梁各項應(yīng)力分別為：下翼板：考慮剪滯效應(yīng)，則工字梁總的正應(yīng)力分別為：上翼板：下翼板：腹板：工字形梁各項應(yīng)變能分別為：式中：下翼板：式中：腹板：鐵木辛柯剪切應(yīng)變能：工字形截面梁的荷載勢能Vp為：體系總勢能為：體系總動能為：式中：x、y、z分別為通過截面形心的軸向坐標、豎向坐標和橫向坐標；θ(x,t)為工字形截面動轉(zhuǎn)角；u1(x,t)、u2(x,t)分別為振動時剪力滯效應(yīng)引起上翼板、下翼板的縱向位移差函數(shù)；Iy為全截面對中性軸(y軸)的慣性矩，且Iy=Iy1+Iy2+Iy3;E、G分別為材料的彈性模量和剪切彈性模量；My(x,t)為梁端產(chǎn)生豎向轉(zhuǎn)角θ(x,t)的動彎矩；M1x、M2x分別為上翼板、下翼板剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的動彎矩；k為截面形狀系數(shù)；A為截面面積；ρ為材料的質(zhì)量密度；q(x,t)為均布簡諧力。1.2工字梁動力反應(yīng)微分方程及自然邊界條件由哈密頓原理δ(T-V)dt=0，可推導出工字梁動力反應(yīng)微分方程及自然邊界條件為：式(5)―式(26)中，符號“·”和“′”分別表示對時間t和對坐標x求偏導數(shù)。1.3u2xsint3,xsint若工字形梁強迫振動的頻率為ω0，那么可令：q(x,t)=q0(x)sin(ω0t+?),w(x,t)=W(x)sin(ω0t+?),u1(x,t)=U1(x)sin(ω0t+?),u2(x,t)=U2(x)sin(ω0t+?)和θ(x,t)=Θ(x)sin(ω0t+?)。通過式(19)、式(20)、式(21)和式(22)之間的整理代換，最后可得關(guān)于W的新微分方程為：式中：對式(27)進行分析可知，其特征方程解為下列形式：故式(27)的通解為：根據(jù)常微分方程組性質(zhì)和式(28)可以假設(shè)Θ(x)解的形式，將式(28)和Θ(x)代入式(19)，根據(jù)恒等式原理求得Θ(x)的常系數(shù)，Θ(x)的解可表示為：式中：同樣，根據(jù)式(29)和常微分方程組性質(zhì)可假設(shè)U1(x)、U2(x)解的形式，將其分別代入式(20)和式(21)，可得U1(x)和U2(x)的解為：式中，當n=1時：當n=2時：2梁式壓力反應(yīng)的一般邊界條件1簡言之梁的幾何和物理邊界條件如下(1)簡單和一致的布局力(2)集中力的計算對于簡支工字形梁，若跨間所受力為簡諧集中力，且Pj=Pksin(ω0t+?)左右相鄰邊界距離為Lk1和Lk2。如圖3，則k點須引入連續(xù)邊界條件為：2mm字段的幾何和物理邊界條件為若第1跨、第j跨至第m跨的跨距為L1、Lj及Lm，且每跨具有均布質(zhì)量和剛度(j=1,2,…,m)，則：(1)簡單和一致的布局力注：U下標括號內(nèi)數(shù)字表示剪滯效應(yīng)引起上翼板、下翼板的縱向位移差函數(shù)。(2)簡單的和諧和中心強度若強迫力為跨間簡諧集中力，則同樣須引入邊界條件式(32)，若為多個簡諧集中力，則按單個簡諧集中力計算，最后將各個集中力結(jié)果疊加。3自振頻率值對比如圖4所示，薄壁工字截面梁其材料參數(shù)和幾何參數(shù)為：梁高為h=1m，簡諧集中力幅值為0p=9800N。在工字形梁自振頻率的求解過程中，令均布簡諧力q(x,t)=0，然后應(yīng)用MATLAB軟件和邊界條件式(31)便可計算出簡支工字形梁的自振頻率值如表1。同樣，應(yīng)用MATLAB軟件和邊界條件式(31)、邊界條件式(32)，可計算出簡諧集中荷載下簡支工字形梁跨中特定點上的動應(yīng)力幅值如表2和不同理論動應(yīng)力幅值的比較圖如圖5所示。表1表明：工字形梁自振頻率本文理論值小于鐵木辛柯梁理論值，由能量最低原理可以判斷，在工字梁靜、動力分析中，與鐵木辛柯梁理論值相比較，本文理論計算值更加逼近真實解。表2和圖5表明：簡諧力的頻率值對于工字形梁動剪滯系數(shù)的影響很小，而接近共振點動剪滯系數(shù)的差異主要來至鐵木辛柯梁理論共振點與本文理論共振點的不同。盡管剪滯效應(yīng)對于自振頻率值的影響較小，但其對工字梁上下翼板動應(yīng)力的不均勻分布影響很大，因而動力分析中平截面變形假定不再適用。4動力反應(yīng)的結(jié)果(1)在考慮剪力滯后效應(yīng)的前提下，本文理論分