專(zhuān)題8函數(shù)的建模與探究-原卷版

專(zhuān)題8函數(shù)的建模與探究中學(xué)數(shù)學(xué)建模是2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的主線(xiàn)之一,也是自1995年高考數(shù)學(xué)引人應(yīng)用題后的一個(gè)熱點(diǎn),新高考數(shù)學(xué)命題中必然會(huì)強(qiáng)化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的檢測(cè).現(xiàn)實(shí)生活中的各類(lèi)現(xiàn)象根據(jù)內(nèi)涵與數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同可以分成許多具體模型,識(shí)別數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)模型、解決數(shù)學(xué)模型中的問(wèn)題,需要掌握特殊的分析問(wèn)題的方法.中學(xué)數(shù)學(xué)建模有兩大類(lèi):一是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng),要作為課題研究來(lái)進(jìn)行;二是數(shù)學(xué)建模題求解,作為數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)成效的一種檢驗(yàn),前者是后者的必要前提.這里主要探討數(shù)學(xué)建模題求解中遇到的障礙,痛點(diǎn)、卡殼點(diǎn)非常多,必須尋找排除痛點(diǎn)的有效途徑.按照2017年普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)定義,數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過(guò)程是在實(shí)際情境中,從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問(wèn)題,8個(gè)步驟,要求步步了解,重點(diǎn)掌握,一旦缺少就會(huì)產(chǎn)生痛點(diǎn).一、電費(fèi)計(jì)算中的建模意識(shí)生活中要用電、用水、用天然氣等,每月都會(huì)有一些支出,作為學(xué)生,你想過(guò)其中的數(shù)學(xué)模型嗎?你會(huì)描述其中的數(shù)學(xué)模型嗎?問(wèn)題1:你知道你的家庭每月電費(fèi)是如何計(jì)算的嗎?使用峰谷電的家庭按照浙江省居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段統(tǒng)計(jì)用電量.電網(wǎng)銷(xiāo)售電價(jià)表如下:高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表月高峰用電量(單位:千瓦?時(shí))高峰電價(jià)(單位:元/(千瓦?時(shí)))月低谷用電量(單位:千瓦?時(shí))低谷電價(jià)(單位:元/(千瓦?時(shí)))50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288實(shí)際計(jì)費(fèi)時(shí),每月每個(gè)時(shí)段每戶(hù)基本用電量為50千瓦?時(shí),超過(guò)50千瓦?時(shí)不足200千瓦?時(shí)(含200千瓦?時(shí)),每千瓦?時(shí)加0.03元,超過(guò)200千瓦?時(shí)部分,每千瓦?時(shí)加0.10元.某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦?時(shí),低谷時(shí)間段用電量為100千瓦?時(shí).(I)該家庭5月應(yīng)付的實(shí)際電費(fèi)為元;(用數(shù)字作答)(II)設(shè)峰電量為x,谷電量為y,確定電價(jià)f(二、最佳工作安排的函數(shù)模型為了提高工作效率,某項(xiàng)工作中會(huì)遇到一些科學(xué)安排問(wèn)題,需要用數(shù)學(xué)模型來(lái)解讀實(shí)際問(wèn)題.然而,現(xiàn)實(shí)中很多學(xué)生不會(huì)用數(shù)學(xué)工具來(lái)解讀,因此產(chǎn)生痛點(diǎn).問(wèn)題2:某省閱卷點(diǎn)高考數(shù)學(xué)閱卷教師共有400人,要完成文理科數(shù)學(xué)試卷的閱卷任務(wù).閱卷安排時(shí),需將400人分成兩組,一組完成475捆理科試卷,另一組完成269捆文科試卷,據(jù)歷年閱卷測(cè)算,理科每捆閱卷需要4天/人,文科每捆閱卷需要3天/人.(I)如何安排文理科閱卷教師的人數(shù),使完成全省文理科閱卷任務(wù)的時(shí)間最省?(閱卷時(shí)間=閱卷工作量/人數(shù)=每捆閱卷時(shí)間×文(理)科試卷捆數(shù)/人數(shù))(II)由于今年理科閱卷任務(wù)加重,理科實(shí)際每捆閱卷需要4.5天/人,在按(I)分配人數(shù)閱卷4天后,從文科組抽調(diào)20人去閱理科卷,試問(wèn)完成全省閱卷任務(wù)至少需要多少天?（天數(shù)計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第3位)三、質(zhì)量分?jǐn)?shù)中的函數(shù)模型對(duì)于已知的數(shù)學(xué)模型,為了解釋其中的現(xiàn)象和本質(zhì),需要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解讀或證明,找到問(wèn)題的解或證明其符合規(guī)律.問(wèn)題3:有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積V=10萬(wàn)立方米,每天流出湖泊的水量都是r=2000立方米.現(xiàn)假設(shè)降水量和蒸發(fā)量正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱(chēng)g(t)為在時(shí)刻(I)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求初始的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù);(II)求證:當(dāng)g(0)<(III)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%?(參考數(shù)據(jù):lg?2≈0.3,ln?20≈3,lg?20≈1.3,ln?50≈4,lg?50≈1.7)四、優(yōu)惠購(gòu)書(shū)中的數(shù)學(xué)建模建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型后,需要根據(jù)模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析,學(xué)生往往在組織文字語(yǔ)言表達(dá)觀(guān)點(diǎn)時(shí)遇到障礙,產(chǎn)生痛點(diǎn).問(wèn)題4:圖書(shū)銷(xiāo)售商為了推銷(xiāo)圖書(shū),提出種種優(yōu)惠辦法.甲公司的批量訂購(gòu)優(yōu)惠辦法是:凡訂購(gòu)額在300元以下者,無(wú)優(yōu)惠;301-1000元,優(yōu)惠10%;1001-2000元,優(yōu)惠13%;2001-3000元,優(yōu)惠15%;3001-4000元,優(yōu)惠18%;4000元以上,優(yōu)惠20%;先款購(gòu)書(shū)者,可在以上優(yōu)惠基礎(chǔ)上,再增加10個(gè)百分點(diǎn)的優(yōu)惠.乙公司的優(yōu)惠辦法是:凡訂購(gòu)額在500元以下者,無(wú)優(yōu)惠;501-2000元,優(yōu)惠20%;2001-4000元,優(yōu)惠25%;4000元以上,優(yōu)惠30%;先款購(gòu)書(shū)者,可在以上優(yōu)惠基礎(chǔ)上,再增加5個(gè)百分點(diǎn)的優(yōu)惠.(I)試分別建立兩家公司先書(shū)后款和先款后書(shū)情形下的優(yōu)惠函數(shù).(實(shí)際付款額與所購(gòu)圖書(shū)款之間的關(guān)系式)(II)試分析哪家公司優(yōu)惠幅度較大?(III)某用戶(hù)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)兩家公司都有且書(shū)價(jià)一樣的一種書(shū)200本,每本價(jià)格為13.80元,在先款后書(shū)的條件下,該用戶(hù)選擇哪家公司最合算?五、三峽水庫(kù)蓄水量的數(shù)據(jù)擬合在大數(shù)據(jù)時(shí)代,要分析大量數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的規(guī)律以服務(wù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)建設(shè),數(shù)據(jù)擬合就是最好的工具.通過(guò)對(duì)大量數(shù)據(jù)所描述的散點(diǎn)圖進(jìn)行分析,用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行擬合,在這個(gè)過(guò)程中,選擇擬合函數(shù)模型是一個(gè)難點(diǎn),計(jì)算誤差是另一個(gè)難點(diǎn),學(xué)生接觸到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)容易遇到痛點(diǎn).問(wèn)題5:2003年6月1日,中央電視臺(tái)播放了十分壯觀(guān)的長(zhǎng)江三峽工程開(kāi)始蓄水的實(shí)況,三峽22個(gè)泄水閘關(guān)閉了19個(gè),當(dāng)時(shí)江面海拔100米.之后,節(jié)目主持人每天都報(bào)告江面海拔高度和三峽水庫(kù)蓄水量情況,現(xiàn)記錄部分公布的數(shù)據(jù)如下:時(shí)間6月1日?6月7日?6月10日?江面海拔/米100?125?135?蓄水量/億立方米23?85?123?在平面直角坐標(biāo)系中以江面海拔高度為x軸,蓄水量為y軸,描點(diǎn)、作圖,觀(guān)察蓄水量y與江面海拔x之間的相關(guān)關(guān)系,用一個(gè)函數(shù)去描述,寫(xiě)出函數(shù)解析式并預(yù)測(cè)當(dāng)江面海拔達(dá)到175米時(shí),長(zhǎng)江三峽水庫(kù)的蓄水量(億立方米).強(qiáng)化練習(xí)1.2019年1月3日,嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”,它沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2設(shè)α=rR,由于α的值很小,因此在近似計(jì)算中3α3+3α4+α5(1+α)2.民用航空委員會(huì)的一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家想要預(yù)測(cè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)尺寸的集裝箱的貨運(yùn)費(fèi)用,從不同公司抽取了一個(gè)包含10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)集裝箱的貨運(yùn)費(fèi)用樣本,用d表示貨運(yùn)路程(單位:英里),用c表示貨運(yùn)費(fèi)用(單位:美元),得到一組數(shù)據(jù)如下:d300500600900100012001400160017002200c294155507060787589105他建立了一個(gè)坐標(biāo)系,描繪了一個(gè)散點(diǎn)圖,描述貨運(yùn)路程d與貨運(yùn)費(fèi)用c之間的數(shù)量關(guān)系,選擇相隔較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的數(shù)據(jù),用一條直線(xiàn)去模擬,并建立直線(xiàn)方程.請(qǐng)寫(xiě)出該直線(xiàn)的方程.第2題圖3.下表是一位駕駛員手冊(cè)中的內(nèi)容:在干燥的混凝土路面上的停車(chē)距離.車(chē)速/(英里?時(shí)駕駛員反應(yīng)距離/英尺脎車(chē)距離/英尺停車(chē)距離/英尺2022224430335083404488132505513819360661982647077270347注:1英尺=0.3048米,1英里≈1.6093千米.假設(shè)觀(guān)察從0秒計(jì)時(shí),反應(yīng)時(shí)間為0.75秒,這是一種樂(lè)觀(guān)的假設(shè).A:制作一個(gè)停車(chē)距離相對(duì)汽車(chē)速度的散點(diǎn)圖.B:能否用一個(gè)二次函數(shù)來(lái)描述這一組數(shù)據(jù)?若能,求出一個(gè)以車(chē)速x為自變量,d為因變量的二次函數(shù).建立數(shù)學(xué)模型:在高速公路或