河北容城博奧學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

河北容城博奧學(xué)校2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為A. B.C. D.3．已知集合，且，則的值可能為（）A. B.C.0 D.14．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若.則（）A. B.C.2 D.5．與-2022°終邊相同的最小正角是（）A.138° B.132°C.58° D.42°6．鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為（單位：），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示為（）A. B.C. D.7．已知定義域為R的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8．已知點，，，且滿足，若點在軸上，則等于A. B.C. D.9．，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.10．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則___________12．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移_________個單位長度而得13．已知冪函數(shù)經(jīng)過點，則______14．已知函數(shù)①當a=1時，函數(shù)的值域是___________；②若函數(shù)的圖像與直線y=1只有一個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是___________15．滿足的集合的個數(shù)是______________16．已知，則____________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)重要組成部分，加快發(fā)展冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與冰雪運動具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本（萬元）.當年產(chǎn)量低于60千件時，；當年產(chǎn)量不低于60千件時，.每千件產(chǎn)品售價為60萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？18．空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機抽取一個記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大小．（結(jié)論不要求證明）19．設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.20．已知若，求方程的解；若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根、：求實數(shù)k的取值范圍；證明：21．如圖，正方體的棱長為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】分段函數(shù)值域為R，在x＝1左側(cè)值域和右側(cè)值域并集為R.【題目詳解】當，∴當時，，∵的值域為R，∴當時，值域需包含，∴，解得，故選：C.2、A【解題分析】由題意得，圓心坐標為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱圓方程為考點：點關(guān)于直線的對稱點；圓的標準方程3、C【解題分析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個選項即可【題目詳解】集合，四個選項中，只有，故選：C【題目點撥】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4、A【解題分析】由已知、同角三角函數(shù)關(guān)系、輔助角公式及誘導(dǎo)公式可得解.【題目詳解】由得，∴.故選：A.5、A【解題分析】根據(jù)任意角的周期性，將-2022°化為，即可確定最小正角.【題目詳解】由-2022°，所以與-2022°終邊相同的最小正角是138°.故選：A6、C【解題分析】根據(jù)長、寬、高的和不超過可直接得到關(guān)系式.【題目詳解】長、寬、高之和不超過，.故選：.7、A【解題分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得在上是增函數(shù)，且.由此將不等式轉(zhuǎn)化為來求解得不等式的解集.【題目詳解】因為偶函數(shù)在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，由題意知:不等式等價于,即,即或,解得:或.故選：A【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，考查對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題.8、C【解題分析】由題意得，∴設(shè)點的坐標為，∵，∴，∴，解得故選：C9、D【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到.【題目詳解】易知，，因，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.10、C【解題分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念以及冪函數(shù)的單調(diào)性求出，在根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到，再結(jié)合偶函數(shù)可得答案.【題目詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，當時，，此時滿足在上單調(diào)遞增，不合題意，當時，，此時在上單調(diào)遞減，所以.因為，又，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，又因為為偶函數(shù)，所以，所以.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】將齊次式弦化切即可求解.【題目詳解】解：因為，所以，故答案為：2.12、（答案不唯一）；【解題分析】由于，再根據(jù)平移求解即可.【題目詳解】解：由于，故將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)圖像.故答案為：13、##0.5【解題分析】將點代入函數(shù)解得，再計算得到答案.【題目詳解】，故，.故答案為：14、①.（－∞，1]②.（－1，1]【解題分析】①分段求值域，再求并集可得的值域；②轉(zhuǎn)化為＝在上與直線只有一個公共點，分離a求值域可得實數(shù)a的取值范圍【題目詳解】①當a＝1時，即當x≤1時，，當x＞1時，，綜上所述當a＝1時，函數(shù)的值域是，②由無解，故＝在上與直線只有一個公共點，則有一個零點，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.15、4【解題分析】利用集合的子集個數(shù)公式求解即可.【題目詳解】∵,∴集合是集合的子集，∴集合的個數(shù)為，故答案為：.16、7【解題分析】將兩邊平方，化簡即可得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以,兩邊平方可得，所以，故答案為7.【題目點撥】本題主要考查指數(shù)的運算，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當該企業(yè)年產(chǎn)量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元【解題分析】(1)根據(jù)題意，分段寫出年利潤的表達式即可；（2）根據(jù)年利潤的解析式，分段求出兩種情況下的最大利潤值，比較大小，可得答案.【小問1詳解】當時，；當時，.所以；【小問2詳解】當時，.當時，取得最大值，且最大值為950.當時，當且僅當時，等號成立.因為，所以當該企業(yè)年產(chǎn)量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元.18、（1）；（2）；（3）【解題分析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良有天，利用頻率估計概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，則估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，用表示“這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個基本事件，所以，；（3）【題目點撥】方法點睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.19、（1）最小正周期，最大值為；（2）.【解題分析】把化簡為，（1）直接寫出最小正周期和最大值；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性直接求出單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】（1）的最小正周期;最大值為；（2）要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需，解得：，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.20、（1）（2），見解析【解題分析】當時，分類討論，去掉絕對值，直接進行求解，即可得到答案討論兩個根、的范圍，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解【題目詳解】當時，，當時，，由，得，得舍或；當時，，由得舍；故當時，方程的解是不妨設(shè)，因為，若、，與矛盾，若、，與是單調(diào)函數(shù)矛盾，則；則…①…②由①，得：，由②，得：；的取值范圍是；聯(lián)立①、②消去k得：，即，即，則，,，即【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷根的范圍，以及利用一元二次方程與一次方程的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題綜合性較強，屬于中檔試題21、（1）30°（2）（3）見解析【解題分析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【題目詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設(shè)AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設(shè)A