圖形變換的矩陣方法

第四章圖形變換的矩陣方法

§1概述

§2二維圖形變換

§3三維圖形變換

本章小結(jié)該向量集合實(shí)際上就是一個(gè)矩陣。如果這些點(diǎn)代表一個(gè)空間圖形的頂點(diǎn)，也就是說(shuō)，我們可以用矩陣來(lái)描述（表示）空間中的圖形。§1概述一、空間圖形的矩陣表示若用一個(gè)行向量[x1

x2

…

xn

]表示n維空間中一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，那么n維空間中m個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)就可以表示為一個(gè)向量集合：

對(duì)于二維空間，用表示圖形(其中xi

yi是頂點(diǎn)坐標(biāo)）。

例：如圖所示的△ABC，用矩陣表示為

C(3,1)A(1,1)B(3,3)二、圖形變換是指對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、投影（透視）等變換。圖形變換的實(shí)質(zhì)是改變圖形的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

因此，圖形變換可以通過(guò)對(duì)表示圖形坐標(biāo)的矩陣進(jìn)行運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，稱(chēng)為矩陣變換法。矩陣變換法的一般形式：·

=

本章討論的問(wèn)題：如何利用變換矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)二維、三維圖形的各種變換?！?二維圖形變換

分為兩類(lèi)：二維基本變換，二維組合變換。

二維基本變換：比例變換（縮放）、對(duì)稱(chēng)變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換。

二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換

矩陣變換法的形式為：·

=

通過(guò)對(duì)變換矩陣

T中各元素的不同取值，可以實(shí)現(xiàn)各種不同的二維基本變換。㈠比例變換（縮放變換）變換矩陣：

設(shè)二維平面的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為[x

y]，對(duì)其進(jìn)行矩陣變換：變換后該點(diǎn)的坐標(biāo)為：㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向的縮放因子。根據(jù)a、d取值的不同，分為幾種情況：⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大ABC例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為設(shè)，對(duì)△ABC進(jìn)行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當(dāng)0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小ABC例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為設(shè)，對(duì)△ABC進(jìn)行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當(dāng)a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當(dāng)0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮?、钱?dāng)a=d=1，圖形不發(fā)生變化圖形不變的變換稱(chēng)之為恒等變換。⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變，對(duì)□ABCD進(jìn)行變換：㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變例：設(shè)正方形ABCD的矩陣為設(shè)ABCDA′B′C′D′㈠比例變換（縮放變換）⒈當(dāng)a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當(dāng)a≠d，圖形產(chǎn)生畸變有幾種特殊情況：

⑴當(dāng)a、d之一為1，圖形沿單方向放大或縮小

a=1，d≠1，圖形沿y方向放大或縮??；

d=1，a≠1，圖形沿x方向放大或縮小。⑵當(dāng)a、d之一為0，圖形變換為x軸或y軸上的線(xiàn)段

a＝0，d≠0，圖形變換為y軸上的線(xiàn)段；

d＝0，a≠0，圖形變換為x軸上的線(xiàn)段。⑶當(dāng)a、d均為0，圖形壓縮為一點(diǎn)（即原點(diǎn)）㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⑴對(duì)x軸的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取反。例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⑴對(duì)x軸的對(duì)稱(chēng)變換⑵對(duì)y軸的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)取反。例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⒉對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換

⑴對(duì)直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)互換。例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⒉對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換

⑴對(duì)直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)變換

⑵對(duì)直線(xiàn)y=－x的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)互換并取反。例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⒉對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換

⑴對(duì)直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)變換

⑵對(duì)直線(xiàn)y=－x的對(duì)稱(chēng)變換

⑶對(duì)任意直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換屬于一種組合變換，需要用多種基本變換組合完成。㈡對(duì)稱(chēng)變換包括三類(lèi)：對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換。

⒈對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換⒉對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換

⒊對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)均取反。例：設(shè)△ABC對(duì)應(yīng)的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒈沿x方向錯(cuò)切其中：c～錯(cuò)切系數(shù)。

cy～沿x方向的錯(cuò)切量（x坐標(biāo)沿x方向的移動(dòng)量）。cy>0，沿＋x方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；

cy<0，沿－x方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；

c=0即cy=0，不錯(cuò)切（恒等變換）。㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒈沿x方向錯(cuò)切例：設(shè)矩形ABCD對(duì)應(yīng)的矩陣為設(shè)T中的c＝2，對(duì)矩形ABCD進(jìn)行變換：ABCDD′A′B′C′㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒈沿x方向錯(cuò)切變換特點(diǎn)：①變換后點(diǎn)的y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)平移了cy；②平行于x軸的直線(xiàn)變換后仍平行于x軸；③平行于y軸的直線(xiàn)變換后，y=0的點(diǎn)不動(dòng)(不動(dòng)點(diǎn))，y≠0的點(diǎn)沿x方向平移了cy，形成與y軸夾角為θ的直線(xiàn)，且tgθ＝cy/y＝c。ABCDD′A′B′C′cyy㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒉沿y方向錯(cuò)切其中：b～錯(cuò)切系數(shù)。

bx～沿y方向的錯(cuò)切量（y坐標(biāo)沿y方向的移動(dòng)量）。bx>0，沿＋y方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；

bx<0，沿－y方向錯(cuò)切（移動(dòng)）；

b=0即bx=0，不錯(cuò)切（恒等變換）。㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒉沿y方向錯(cuò)切例：設(shè)矩形ABCD對(duì)應(yīng)的矩陣為設(shè)T中的b＝－2，對(duì)矩形ABCD進(jìn)行變換：D′A′B′C′ABCDD′A′B′C′ABCD㈢錯(cuò)切變換（可以理解為沿某個(gè)方向的移動(dòng)）包括兩種：沿x方向錯(cuò)切，沿y方向的錯(cuò)切。

⒉沿y方向錯(cuò)切變換特點(diǎn)：①變換后點(diǎn)的x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)平移了bx；②平行于y軸的直線(xiàn)變換后仍平行于y軸；③平行于x軸的直線(xiàn)變換后，x=0的點(diǎn)不動(dòng)(不動(dòng)點(diǎn))，x≠0的點(diǎn)沿y方向平移了bx，形成與x軸夾角為θ的直線(xiàn)，且tgθ＝bx/x＝b。bxx㈣旋轉(zhuǎn)變換二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：①逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)角度θ取正值；②順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)角度θ取負(fù)值。注意：繞非原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換屬于組合變換。㈣旋轉(zhuǎn)變換二維圖形的旋轉(zhuǎn)，一般是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。并規(guī)定：①逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)角度θ取正值；②順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)角度θ取負(fù)值。設(shè)θ=30°例：設(shè)矩形ABCD對(duì)應(yīng)的矩陣為ABCDD′A′B′C′旋轉(zhuǎn)變換后的矩陣為

對(duì)上述比例變換、對(duì)稱(chēng)變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：變換矩陣的一般形式為

比例變換當(dāng)a=d，圖形等比例縮放對(duì)稱(chēng)變換對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換對(duì)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換

當(dāng)a≠d，圖形畸變

對(duì)上述比例變換、對(duì)稱(chēng)變換、錯(cuò)切變換、旋轉(zhuǎn)變換四種基本變換進(jìn)行小結(jié)：變換矩陣的一般形式為

錯(cuò)切變換沿x方向錯(cuò)切旋轉(zhuǎn)變換

沿y方向錯(cuò)切

（五）齊次坐標(biāo)表示法和平移變換1.齊次坐標(biāo)表示法在變換矩陣

的條件下，討論了平面圖形的比例、對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)變換，為何沒(méi)有討論圖形的平移變換呢？原因是T不具備對(duì)圖形進(jìn)行平移變換的功能。欲想實(shí)現(xiàn)平面圖形的平移，那么圖形上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，平移前后的必須滿(mǎn)足：從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應(yīng)具有如下形式：令：，，則有為了得到

由上可知，把向量[xy]

改寫(xiě)為[xy1]，就可進(jìn)行平移變換了。在此將[xy1]稱(chēng)為平面坐標(biāo)點(diǎn)[xy]的齊次坐標(biāo)表示法。一般情況下：用n+1維向量表示n維向量，第n+1個(gè)分量取為常數(shù)（齊次項(xiàng)）的表示方法為齊次坐標(biāo)表示法。

標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法：若齊次項(xiàng)為1，則為標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示法。

變換矩陣，其中l(wèi)、m為平移參數(shù)。2.平移變換

對(duì)任意一點(diǎn)[xy1]，則[xy1]·=[x+l

y+m]

（注意：形式上與[xy1]并不統(tǒng)一）。一般將變換矩陣擴(kuò)充為T(mén)3×3，使其具備更多的功能，它的一般形式為：(比例、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換)(透視變換)(全比例變換)(平移變換)相應(yīng)的平移矩陣：，

引入

后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標(biāo)形式統(tǒng)一。

如果坐標(biāo)變換結(jié)果是非標(biāo)準(zhǔn)化齊次坐標(biāo)表示，應(yīng)將其化為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)表示。方法是所有項(xiàng)都除以齊次項(xiàng)。如：由此可知，當(dāng)：(全比例縮小)；(全比例放大)；(縮至原點(diǎn))。二、二維組合變換在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復(fù)雜的變換。我們稱(chēng)由多個(gè)二維基本變換組成的復(fù)雜變換為二維組合變換（二維基本變換的級(jí)聯(lián)）。已經(jīng)證明：任何二維組合變換均可分解為多個(gè)基本變換的乘積。二維組合變換矩陣T＝T1×T2×…×Tm（Ti是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進(jìn)行二維組合變換的關(guān)鍵問(wèn)題是求T（m個(gè)基本變換矩陣）。

下面通過(guò)兩個(gè)例子介紹組合變換：

⒈繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換θθ

⒈繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換可分解為：P(x0

y0)ABCDA′B′C′D′

⑴平移變換使旋轉(zhuǎn)中心P平移到坐標(biāo)原點(diǎn)。P(00)A′B′C′D′A′B′C′D′⑵旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角。

⒈繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)P(x0

y0)旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換可分解為：P(x0

y0)ABCD⑶平移變換使旋轉(zhuǎn)中心P回到原來(lái)的位置。θP(00)A′B′C′D′

組合變換矩陣T＝T1

·

T2·T3A′B′C′D′P(x0

y0)2.對(duì)任意直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換設(shè)直線(xiàn)方程為：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，直線(xiàn)在x軸上的截距為－C/A，在y軸上的截距為－C/B,直線(xiàn)與x軸的夾角α=arctg(－A/B)?？煞纸鉃椋孩牌揭谱儞Q沿x軸方向平移C/A，使直線(xiàn)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。A′B′C′ABC－C/B－C/A⑵旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-α角，使直線(xiàn)與x軸重合。⑶對(duì)x軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換⑷旋轉(zhuǎn)變換

繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)+α角。

⑸平移變換沿x方向平移－C/A，使直線(xiàn)回到原位置。

因此，對(duì)任意直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換矩陣T＝T1

·

T2·T3

·

T4·T5，即：

二維組合變換

1.繞坐標(biāo)原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。

2.對(duì)任意直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)變換。注意：

1.二維組合變換可分解為多個(gè)二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；

2.分解時(shí)，使用的基本變換類(lèi)型及其組合順序并不唯一。§3三維圖形變換

三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴(kuò)展，因此，它和二維圖形變換類(lèi)似。仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標(biāo)[x

y

z1]表示三維空間的點(diǎn)[x

y

z]，其變換形式為：三維基本變換（比例、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)）透視變換平移變換全比例變換一、三維基本變換

1.比例變換

當(dāng)

a=e=j≠1，各向等比例縮放a=e=j=1，恒等變換a≠e≠j，各向縮放比例不同，產(chǎn)生形變(畸變)0<s<1，全比例放大；s>1，全比例縮小;s<0，對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)加比例變換說(shuō)明：全比例變換也是一種比例變換。2.錯(cuò)切變換（錯(cuò)切變形）沿x軸：沿x軸含y錯(cuò)切，沿x軸含z錯(cuò)切沿y軸：沿y軸含x錯(cuò)切，沿y軸含z錯(cuò)切沿z軸：沿z軸含x錯(cuò)切，沿z軸含y錯(cuò)切⑴沿x軸含y錯(cuò)切

變換前變換后⑴沿x軸含y錯(cuò)切

變換前變換后

若把三維物體發(fā)生錯(cuò)切的表面稱(chēng)為錯(cuò)切面，那么可知：變換后特點(diǎn)：①沿x軸含y錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿x軸移動(dòng)并離開(kāi)y軸，移動(dòng)量為dy，但不離開(kāi)z軸；②錯(cuò)切面的y、z坐標(biāo)不變。⑵沿x軸含z錯(cuò)切：特點(diǎn)：①沿x軸含z錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿x軸移動(dòng)并離開(kāi)z軸，但不離開(kāi)y軸；②錯(cuò)切面的y、z坐標(biāo)不變。變換前變換后xozy⑶沿y軸含x錯(cuò)切：特點(diǎn)：①沿y軸含x錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿y軸移動(dòng)并離開(kāi)x軸，但不離開(kāi)z軸；②錯(cuò)切面的x、z坐標(biāo)不變。錯(cuò)切后錯(cuò)切前xyz⑷沿y軸含z錯(cuò)切特點(diǎn)：①沿y軸含z錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿y軸移動(dòng)并離開(kāi)z軸，但不離開(kāi)x軸；②錯(cuò)切面的x、z坐標(biāo)不變。錯(cuò)切后錯(cuò)切前xyz⑸沿z軸含x錯(cuò)切特點(diǎn)：①沿z軸含x錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿z軸移動(dòng)并離開(kāi)x軸，但不離開(kāi)y軸；②錯(cuò)切面的x、y坐標(biāo)不變。錯(cuò)切后錯(cuò)切前xyz⑹沿z軸含y錯(cuò)切：特點(diǎn)：①沿z軸含y錯(cuò)切是使錯(cuò)切面沿z軸移動(dòng)并離開(kāi)y軸，但不離開(kāi)x軸；②錯(cuò)切面的x、y坐標(biāo)不變。錯(cuò)切后錯(cuò)切前xyz3.對(duì)稱(chēng)變換對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換：x軸、y軸、z軸。對(duì)坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)變換：xoy平面、xoz平面、yoz平面。⑴對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換

規(guī)則：x、y、z坐標(biāo)取反。⑵對(duì)坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)變換①對(duì)x軸的對(duì)稱(chēng)變換xyz規(guī)則：x坐標(biāo)不變，y、z坐標(biāo)取反。②對(duì)y軸的對(duì)稱(chēng)變換：規(guī)則：y坐標(biāo)不變，x、z坐標(biāo)取反。xyzxyz③對(duì)z軸的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：z坐標(biāo)不變，x、y坐標(biāo)取反。⑶對(duì)坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)變換①對(duì)xoy平面的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x、y坐標(biāo)不變，z坐標(biāo)取反。②對(duì)xoz平面的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：x、z坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)取反。③對(duì)yoz平面的對(duì)稱(chēng)變換規(guī)則：y、z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)取反。5.旋轉(zhuǎn)變換

三維旋轉(zhuǎn)變換是指物體繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角，θ角的正負(fù)按右手規(guī)則確定。拇指指向坐標(biāo)軸的正向，其余四指指向正θ角方向。

⑴繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角特點(diǎn)：x坐標(biāo)不變，y、z坐標(biāo)改變。4.平移變換⑵繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角

特點(diǎn)：y坐標(biāo)不變，x、z坐標(biāo)改變。⑶繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角

特點(diǎn)：z坐標(biāo)不變，x、y坐標(biāo)改變。

三維基本變換小結(jié)：

比例變換（全比例變換）

錯(cuò)切變換：沿x軸(含y,含z)、沿y軸(含x,含z)、沿z軸(含x,含y)。

對(duì)稱(chēng)變換：對(duì)原點(diǎn)、對(duì)坐標(biāo)軸(x軸,y軸,

z軸)、對(duì)坐標(biāo)平面(xoy平面,xoz平面,

yoz平面)。

旋轉(zhuǎn)變換：x軸、y軸、z軸。二、三維組合變換與二維組合變換類(lèi)似，它是多個(gè)三維基本變換的有序組合；其組合變換矩陣是三維基本變換矩陣的乘積。具體的例子可參考教材p115。三、三維投影變換將三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過(guò)程稱(chēng)為投影變換。投影平行投影透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

根據(jù)投影中心（視點(diǎn)）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影。距離無(wú)窮大時(shí)為平行投影；距離有限時(shí)為透視投影。投影平行投影透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

投影方向垂直于投影平面時(shí)稱(chēng)為正平行投影，投影方向不垂直于投影平面時(shí)稱(chēng)為斜平行投影。

正投影是指視點(diǎn)分別位于三維物體的正前方、正側(cè)面、正上方所形成的投影視圖，也稱(chēng)為三視圖。投影平行投影透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

使正視圖、側(cè)視圖、俯視圖投影到同一個(gè)投影平面上稱(chēng)為軸側(cè)投影。根據(jù)軸向變形系數(shù)，軸側(cè)投影可分為等軸側(cè)、二軸側(cè)、三軸側(cè)、等等。投影平行投影透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影正軸側(cè)投影正投影(正視、側(cè)視、俯視)正三軸側(cè)正等軸側(cè)正二軸側(cè)

投影形成的二維圖形中不平行的線(xiàn)延長(zhǎng)后將匯聚于一點(diǎn)，稱(chēng)之為滅點(diǎn)。根據(jù)滅點(diǎn)的個(gè)數(shù)，透視投影可分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視、三點(diǎn)透視。投影平行投影透視投影一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視斜平行投影斜軸側(cè)斜二軸側(cè)斜等軸側(cè)正平行投影