統(tǒng)計學教案習題05方差分析

方差分析一、教學大綱要求（一）掌握內(nèi)容1．方差分析基本思想（1）多組計量資料總變異的分解，組間變異和組內(nèi)變異的概念。（2）多組均數(shù)比較的檢驗假設(shè)與F值的意義。（3）

方差分析的應(yīng)用條件。2．常見實驗設(shè)計資料的方差分析（1）完全隨機設(shè)計的單因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（2）隨機區(qū)組設(shè)計資料的兩因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（3）多個樣本均數(shù)間的多重比較方法：LSD-t檢驗法；Dunnett-t檢驗法；SNK-q檢驗法。（二）熟悉內(nèi)容多組資料的方差齊性檢驗、變量變換方法。（三）了解內(nèi)容兩因素析因設(shè)計方差分析、重復(fù)測量設(shè)計資料的方差分析。二、教學內(nèi)容精要(一)方差分析的基本思想基本思想方差分析（analysisofvariance，ANOVA）的基本思想就是根據(jù)資料的設(shè)計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總的離均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS）和自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的交互作用）加以解釋，如各組均數(shù)的變異SS組間可由處理因素的作用加以解釋。通過各變異來源的均方與誤差均方比值的大小，借助F分布作出統(tǒng)計推斷，判斷各因素對各組均數(shù)有無影響。2．分析三種變異（1）組間變異：各處理組均數(shù)之間不盡相同，這種變異叫做組間變異（variationamonggroups），組間變異反映了處理因素的作用（處理確有作用時），也包括了隨機誤差（包括個體差異及測定誤差）,其大小可用組間均方（MS組間）表示，即MS組間=，其中，SS組間=，=k-1為組間自由度。k表示處理組數(shù)。（2）組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)部觀察值之間不盡相同，這種變異叫做組內(nèi)變異(variationwithingroups)，組內(nèi)變異反映了隨機誤差的作用，其大小可用組內(nèi)均方()表示，，其中,，為組內(nèi)均方自由度。（3）總變異：所有觀察值之間的變異（不分組），這種變異叫做總變異(totalvariation)。其大小可用全體數(shù)據(jù)的方差表示，也稱總均方(MS總)。按方差的計算方法，MS總=，其中SS總=,k為處理組數(shù)，為第i組例數(shù)，=N-1為總的自由度，N表示總例數(shù)。（二）方差分析的應(yīng)用條件各樣本是相互獨立的隨機樣本，且來自正態(tài)分布總體。各樣本的總體方差相等，即方差齊性(homoscedasticity)。（三）不同設(shè)計資料的方差分析1．完全隨機設(shè)計的單因素方差分析（1）資料類型：完全隨機設(shè)計(completelyrandomdesign)是將受試對象完全隨機地分配到各個處理組。設(shè)計因素中只考慮一個處理因素，目的是比較各組平均值之間的差別是否由處理因素造成。(2)方差分析表：見表5-1。FF時，拒絕H0:。表5-1

完全隨機設(shè)計方差分析計算表來源SSMSF值組間SS組間MS組間=F=組內(nèi)(誤差)SS組內(nèi)=SS總－SS組間=-=N-kMS組內(nèi)=總計SS總=N－12．隨機區(qū)組設(shè)計的兩因素方差分析（1）資料類型：隨機區(qū)組設(shè)計（randomizedblockdesign）是將受試對象按自然屬性（如實驗動物的窩別、體重，病人的性別、年齡及病情等）相同或相近者組成單位組（區(qū)組），然后把每個組中的受試對象隨機地分配給不同處理。設(shè)計中有兩個因素，一個是處理因素，另一個是按自然屬性形成的單位組。單位組的選擇原則是“單位組間差別越大越好，單位組內(nèi)差別越小越好”。（2）方差分析表：見表5-2。F處理F時，拒絕H0:。表5-2隨機區(qū)組設(shè)計方差分析計算表變異來源SSMSF值處理組間SS處理=k-1MS處理=F處理=單位組間SS單位=b-1MS單位=F單位=誤差SS誤差=SS總-SS處理-SS單位=--=N-k-n+1MS誤差=總計SS總=N-13．多個樣本均數(shù)的多重比較如果方差分析結(jié)果表明各組間有顯著差別，則需要進一步進行兩兩比較，也稱均數(shù)間的多重比較（multiplecomparison）。進行兩兩比較的方法主要有：LSD-t檢驗：稱為最小顯著差異t檢驗。適用于k組中某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間差異的比較。檢驗統(tǒng)計量為t值，自由度為方差分析表中的誤差自由度，查t界值表。其中（5-1）Dunnett-t檢驗：它適用于k-1個試驗組與一個對照組均數(shù)差別的多重比較，檢驗統(tǒng)計量為t值，自由度為方差分析表中的誤差自由度，查Dunnet-t界值表。，其中=（5-2）（3）SNK-q檢驗：在方差分析結(jié)果拒絕H0時采用。適用于所有組均數(shù)的兩兩比較。檢驗統(tǒng)計量為q，自由度為比較組數(shù)a和方差分析表中的誤差自由度，查q界值表。其中，(5-3)4．多組資料方差起行檢驗當各組標準差相差較大（如倍）時，需檢驗資料是否滿足方差齊性的條件。5.變量變換當資料不能滿足方差分析的條件時，如果進行方差分析，可能造成錯誤的判斷。因此對于明顯偏離上述應(yīng)用條件的資料，可以通過變量變換的方法來加以改善。常用的變量變換方法有：（1）對數(shù)變換對數(shù)變換不僅可以將對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化，還能使數(shù)據(jù)方差達到齊性，特別是各樣本的標準差與均數(shù)成比例或變異系數(shù)接近于一個常數(shù)時。變換公式為：(5-4)當原始數(shù)據(jù)中有小值或零時，可用（2）平方根變換常用于使服從Possion分布的計數(shù)資料或輕度偏態(tài)的資料正態(tài)化；當各樣本的方差與均數(shù)呈正相關(guān)時，可使資料達到方差齊性。變換公式為：(5-5)當原始數(shù)據(jù)中有小值或零時，可用（3）倒數(shù)變換常用于數(shù)據(jù)兩端波動較大的資料，可使極端值的影響減小。變換公式為：(5-6)（4）平方根反正弦變換常用于服從二項分布的率或百分比資料。一般地，當總體率較?。?lt;30%）或較大（>70%）時，通過平方根反正弦變換，可使資料接近正態(tài)，且達到方差齊性的要求。變換公式為：(5-7)（5）秩轉(zhuǎn)換后，采用秩和檢驗比較組間差別（祥見第九章）。6．兩因素析因設(shè)計方差分析處理含有兩因素兩水平的全面組合。例如治療腫瘤術(shù)后病人，可采用4種方法：既不放療也不化療（a0b0）；放療不化療（a1b0）；不放療化療（a0b1）；既放療又化療（a1b1）。設(shè)放療為A因素（兩水平），化療為B因素（兩水平），則構(gòu)成22析因設(shè)計，目的是分析A的主效應(yīng)，B的主效應(yīng)及AB的交互作用。7．重復(fù)測量資料的方差分析受試對象隨機分組后，多次測量某一觀察指標，以比較處理效應(yīng)在不同時間點有無變化。如試驗組和對照組的輕度高血壓病人入院前、治療后1天、2天、3天、4天的血壓變化。設(shè)處理分組為A因素，重復(fù)測量的時間點為B因素，目的是分析A的主效應(yīng)和AB的交互作用。三、典型試題分析1．完全隨機設(shè)計資料的方差分析中，必然有（）A．SS組內(nèi)<SS組間B．MS組間<MS組內(nèi)C．MS總=MS組間+MS組內(nèi)D．SS總=SS組間+SS組內(nèi)答案：D[評析]本題考點：方差分析過程中離均差平方和的分解、離均差平方和與均方的關(guān)系。方差分析時總變異的來源有：組間變異和組內(nèi)變異，總離均差平方和等于組間離均差平方和與組內(nèi)離均差平方差之和，因此，等式SS總=SS組間+SS組內(nèi)是成立的。離均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式關(guān)系，因此C選項不成立。A、B選項不一定成立。D選項為正確答案。2．單因素方差分析中，當P<時，可認為（）。A．各樣本均數(shù)都不相等B．各總體均數(shù)不等或不全相等C．各總體均數(shù)都不相等D．各總體均數(shù)相等答案：B[評析]本題考點：方差分析的檢驗假設(shè)及統(tǒng)計推斷。方差分析用于多個樣本均數(shù)的比較，它的備擇假設(shè)（H1）是各總體均數(shù)不等或不全相等，當P<時，接受H1，即認為總體均數(shù)不等或不全相等。因此答案選B。3.以下說法中不正確的是（）A．方差除以其自由度就是均方B．方差分析時要求各樣本來自相互獨立的正態(tài)總體C．方差分析時要求各樣本所在總體的方差相等D．完全隨機設(shè)計的方差分析時，組內(nèi)均方就是誤差均方答案：A[評析]本題考點：方差分析的應(yīng)用條件及均方的概念。方差就是標準差的平方，也就是均方，因此選項A是錯誤的。選項B、C是方差分析對資料的要求，因此選項B和C都是正確的。在完全隨機設(shè)計的方差分析中，組內(nèi)均方就是誤差均方，D選項也是正確的。4.當組數(shù)等于2時，對于同一資料，方差分析結(jié)果與t檢驗結(jié)果（）。A.完全等價且F=tB.方差分析結(jié)果更準確檢驗結(jié)果更準確D.完全等價且答案：D[評析]本題考點：方差分析與t檢驗的區(qū)別與聯(lián)系。對于同一資料，當處理組數(shù)為2時，t檢驗和方差分析的結(jié)果一致且，因此，正確答案為D。5.完全隨機設(shè)計與隨機單位組設(shè)計相比較（）。A.兩種設(shè)計試驗效率一樣B.隨機單位組設(shè)計的誤差一定小于完全隨機設(shè)計C.隨機單位組設(shè)計的變異來源比完全隨機設(shè)計分得更細D.以上說法都不對答案：C。[評析]：本題考點：兩種設(shè)計及其方差分析的區(qū)別。兩種設(shè)計不同，隨機區(qū)組設(shè)計除處理因素外，還考慮了單位組因素。進行方差分析時，變異來源多分解出一項：單位組間變異。因此C選項為正確答案。四、習題名詞解釋1．均方2．方差分析基本思想3．總變異4．組間變異5．組內(nèi)變異6．完全隨機設(shè)計7．隨機區(qū)組設(shè)計單項選擇題兩樣本均數(shù)的比較，可用（）。A．方差分析B．t檢驗C．兩者均可D．方差齊性檢驗2．配伍組設(shè)計的方差分析中，配伍等于（）。A．總-誤差B．總-處理C．總-處理+誤差D．總-處理-誤差3．在均數(shù)為μ，標準差為σ的正態(tài)總體中隨機抽樣，（）的概率為5%。A．σB．C．D.4．當自由度（1,2）及顯著性水準都相同時，方差分析的界值比方差齊性檢驗的界值（）。A．大B．小C．相等D．不一定5．方差分析中變量變換的目的是（）。A．方差齊性化B．曲線直線化C．變量正態(tài)化D．以上都對6．下面說法中不正確的是（）。A．方差分析可以用于兩個樣本均數(shù)的比較B．完全隨機設(shè)計更適合實驗對象變異不太大的資料C．在隨機區(qū)組設(shè)計中，每一個區(qū)組內(nèi)的例數(shù)都等于處理數(shù)D．在隨機區(qū)組設(shè)計中，區(qū)組內(nèi)及區(qū)組間的差異都是越小越好7．隨機單位設(shè)計要求（）。A．單位組內(nèi)個體差異小，單位組間差異大B．單位組內(nèi)沒有個體差異，單位組間差異大C．單位組內(nèi)個體差異大，單位組間差異小D．單位組內(nèi)沒有個體差異，單位組間差異小8．完全隨機設(shè)計方差分析的檢驗假設(shè)是（）。A．各對比組樣本均數(shù)相等B．各對比組總體均數(shù)相等C．各對比組樣本均數(shù)不相等D．各對比組總體均數(shù)不相等9．完全隨機設(shè)計、隨機區(qū)組設(shè)計的SS和及自由度各分解為幾部分（）。A．2，2B．2，3C．2，4D．3，310．配對t檢驗可用哪種設(shè)計類型的方差分析來替代（）。A．完全隨機設(shè)計B．隨機區(qū)組設(shè)計C．兩種設(shè)計都可以D．AB都不行（三）簡答題1．t檢驗和方差分析的應(yīng)用條件

2．如何合理選擇檢驗水準

3．以t檢驗為例，說明檢驗假設(shè)中和P的區(qū)別。（四）計算題1．某湖水在不同季節(jié)氯化物含量測定值如表5-3所示。問不同季節(jié)氯化物含量有無差別若有差別，進行32個水平的兩兩比較。表5-3某湖水不同季節(jié)氯化物含量（mg/L）春夏秋冬

8

888

32

2．根據(jù)表5-4資料說明大白鼠感染脊髓灰質(zhì)炎病毒后，再做傷寒或百日咳接種是否影響生存日數(shù)若結(jié)論為“有影響”，請做多重比較（與對照組比）。表5-4各組大鼠接種后生存日數(shù)傷寒百日咳對照568769871098109810109111091211

1012111014121116928411228810101030886

732

130629243．有三種抗凝劑（A1，A2，A3）對一標本作紅細胞沉降速度（一小時值）測定，每種抗凝劑各作5次，問三種抗凝劑對紅細胞沉降速度的測定有無差別A1：1511131214A2：1316141715A3用Dunnett-t

法檢驗下表中四個處理組均數(shù)與對照組的均數(shù)的差別。表5-5家免腦損傷后大腦左半球組織水含量（%）試驗分組nS對照（未損傷）8損傷后小時5損傷后3小時5損傷后6小時8治療組95．將36只大白鼠按體重相近的原則配為12個單位組，各單位組的3只大白鼠隨機地分配到三個飼料組。一個月后觀察尿中氨基氮的排出量（mg）。經(jīng)初步計算，，，。試列出該實驗數(shù)據(jù)的方差分析表。6．將18名原發(fā)性血小板減少癥患者按年齡相近的原則配為6個單位組，每個單位組中的3名患者隨機分配到A、B、C三個治療組中，治療后的血小板升高見表5-6，問3種治療方法的療效有無差別表5-6不同人用鹿茸草后血小板的升高值（104/mm3）年齡組ABC1

234567．某研究人員以kg劑量純苯給大鼠皮下注射染毒，每周3次，經(jīng)45天后，使實驗動物白細胞總數(shù)下降至染毒前的50%左右，同時設(shè)置未染毒組。兩組大鼠均按照是否給予升高白細胞藥物分為給藥組和不給藥組，試驗結(jié)果見下表，試作統(tǒng)計分析。表5-7試驗效應(yīng)指標（吞噬指數(shù)）數(shù)據(jù)未染毒組染毒組不給藥給藥不給藥給藥習題答題要點名詞解釋1．均方：均方差（MS）或方差，是由離均差平方和被自由度相除而得。2．方差分析：方差分析（analysisofvariance，ANOVA）就是根據(jù)資料的設(shè)計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總的離均差平方和與自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的交互作用）加以解釋。通過各變異來源的均方與誤差均方比值的大小，借助F分布作出統(tǒng)計推斷，判斷各因素對觀測指標有無影響。3．總變異：樣本中全部實驗單位差異稱為總變異。其大小可以用全部觀察值的均方（方差）表示。4．組間變異：各處理組樣本均數(shù)之間的差異，受處理因素的影響，這種變異稱為組間變異，其大小可用組間均方表示。5．組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)部觀察值大小不等，這種變異稱為組內(nèi)變異，可用組內(nèi)均方表示。6．完全隨機設(shè)計：只考慮一個處理因素，將全部受試對象隨機分配到各處理組，然后觀察實驗效應(yīng)，這種設(shè)計叫做完全隨機設(shè)計。7．隨機區(qū)組設(shè)計：事先將全部受試對象按自然屬性分為若干區(qū)組，原則是各區(qū)組內(nèi)的受試對象的特征相同或相近，且受試對象數(shù)與處理因素的水平數(shù)相等。然后再將每個區(qū)組內(nèi)的觀察對象隨機地分配到各處理組，這種設(shè)計叫做隨機區(qū)組設(shè)計。單項選擇題（三）簡答題1．t檢驗和方差分析均要求各樣本來自相互獨立的正態(tài)總體且各總體方差齊。2．設(shè)置檢驗水準應(yīng)根據(jù)研究目的，結(jié)合專業(yè)知識和研究設(shè)計要求，在末獲得樣本信息之前決定，而不應(yīng)受到樣本結(jié)果的影響。3．以t檢驗為例，和P都是用t分布尾部面積大小表示，所不同的是：表示I型錯誤的概率，即H0為真而被錯誤地拒絕的概率值。是在統(tǒng)計分析時，根據(jù)I型錯誤危害的大小，預(yù)先規(guī)定的，即規(guī)定統(tǒng)計結(jié)果為“接受H1”時的誤判率的界限值為（即檢驗水準）。P值是由實際樣本得出的統(tǒng)計結(jié)果為“接受H1”時誤判率。根據(jù)P與的大小關(guān)系作出“不拒絕H0”或“拒絕H0”的統(tǒng)計推斷。（四）計算題1．完全隨機設(shè)計單因素芳差分析解：H0：4個季節(jié)湖水中氯化物含量相等，即μ1=μ2=μ3=μ4H1：4個季節(jié)湖水中氯化物含量不等或不全相等。α=表5-8方差分析表變異來源SSMSF總變異組間變異組內(nèi)變異31

328

查F界值表，。因F＞所以P<。按α=水準，拒絕H0，接受H1，認為不同季節(jié)湖水中氯化物含量不同或不全相同。用SNK-q檢驗進行各組均數(shù)間兩兩比較。H0：任意兩對比組的總體均數(shù)相等，μA=μBH1：μA≠μBα=表5-9四個樣本均數(shù)順序排序組別春夏秋冬位次

1

19.912

3

4表5-10四組均數(shù)兩兩比較q檢驗對比組兩均數(shù)之差組數(shù)q值P值1,41,31,22,42,33,44.834.501.083.303.420.334323226.0995.6824.7354.3190.417<<><<>春與夏、秋與冬湖水中氯化物含量P>，按α=水準，不拒絕H0，即不能認為春與夏、秋與冬季湖水中氯化物含量有差別。而其它4組均有P<，按α=水準，拒絕H0，接受H1，即認為春夏兩季湖水中氯化物含量高于秋冬兩季。2．完全隨機設(shè)計單因素芳差分析H0：大白鼠感染脊髓灰質(zhì)炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗生存日數(shù)相等．H1：大白鼠感染脊髓灰質(zhì)炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗生存日數(shù)不等或不全相等．α=表5-11方差分析表變異來源SSMSF總變異組間變異組內(nèi)變異29227查F界值表，。因F〉得P<，按α=水準，拒絕H0，接受H1，認為大白鼠感染脊髓灰質(zhì)炎病毒后，再接種傷寒或百日咳菌苗對生存日數(shù)有影響．用Dunnet-t檢驗方法進行均數(shù)間多重比較：H0：任一組與對照組總體均數(shù)相同

H1：任一組與對照組總體均數(shù)不同α=由Dunnett-t檢驗公式，傷寒與對照組比較：=27，查Dunnett-t檢驗界值表，得P<。按α=水準，拒絕H0，接受H1，故可認為接種傷寒菌苗組較對照組生存日數(shù)減少。百日咳與對照組比較：=27，查Dunnett-t檢驗界值表，得P<，按α=水準，拒絕H0，接受H1，認為接種百日咳菌苗組較對照組生存日數(shù)減少。3．完全隨機設(shè)計資料方差分析H0：三種抗凝劑所作血沉值之間沒有差別

H1：三種抗凝劑所作血沉值之間存在差別α=表5-12方差分析表變異來源SSMSF總變異4014組間變異組內(nèi)變異103021252查F界值表，所以P>，按α=水準，不能拒絕H0。即尚不能認為三種抗凝劑所作血沉值之間有差別。4．首先計算誤差均方（1）損傷后小時與對照組比H0：損傷后小時與對照組組織含水量相等H1：損傷后小時與對照組組織含水量不等α=以，處理數(shù)=4查Dunnett-t界值表，得界值，因t=<,所以P＞。在α=水